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이항 관계

二項關係, Binary relation

1 개요

두 대상이 이루는 관계를 말한다. 예를 들어 '1+1은 2와 같다', '5는 3보다 크다' 등이 이항 관계라고 할 수 있다.

2 정의

출발 집합 X와 도착 집합 Y사이의 이항 관계 R는 곱집합 X×Y={(x,y)|xX,yY}의 부분집합 G에 대해 순서모음 (X,Y,G)로 정의된다. 여기서 집합 G를 이항 관계 R의 그래프라 부른다. 또, 집합 X,Y 각각의 어떤 원소 x,y(x,y)G를 만족하는 것을 xRy로 나타낸다.

이항 관계 R의 정의역(domain), 치역(range), 역(field)은 다음과 같이 정의된다.

  • 정의역: (G의 원소들의 왼쪽 성분의 집합)={xX|yY:xRy}=domR
  • 치역: (G의 원소들의 오른쪽 성분의 집합)={yY|xX:xRy}=ranR
  • 역: (정의역과 치역의 합집합)=domRranR=fldR

이항 관계 R의 역관계 R1G의 모든 원소들을 좌우 순서를 바꾼 집합 G={(y,x)|(x,y)G}에 대하여 순서모음 (Y,X,G)을 말한다.

XY 사이의 이항 관계 R이 있고, YZ 사이의 이항 관계 S가 있다고 할 때 합성 이항 관계 SRH={(x,z)|yY:xRy and ySz}에 대하여 순서모음 (X,Z,H)로 정의된다.

X=Y인 경우, 즉 출발 집합과 도착 집합이 모두 X로 같은 이항 관계를 X 위의 이항 관계라 한다.

3 예시

  • 함수는 대표적인 이항 관계의 예이다. 함수 f:XY는 정의역이 X이고 정의역의 임의의 원소 x에 대하여 xRy가 성립하는 yY가 유일하게 존재하는 X,Y사이의 이항 관계 R와 같다.
  • X 위의 순서 관계는 다음의 두 가지 성질을 가지는 X 위의 이항 관계 R를 말한다.
    (반사성) 임의의 xX에 대해 xRx
    (추이성) 임의의 x,y,zX에 대해 xRy and yRzxRz