RLC회로

1 RLC회로의 구성

RLC회로는 문자 그대로 저항(R) L(유도기) C(축전기) 가 직렬로 교류전원에 연결된 회로이다. 세 저항요소에서 걸리는 전압의 위상이 제각각이기 때문에 일반적인 회로의 저항처럼 각각을 독립해 계산한 것을 그대로 적용시킬 수 없다. 즉 교류전원의 기전력의 그래프와 전체 전압의 그래프는 위상차를 가지게 된다.

1.1 저항형 회로

저항과 교류전원장치만으로 구성된 회로를 생각하자. 이 때 회로의 전압은 교류전원의 최대기전력

$$E_{m}$$ 과 각진동수 $$\omega_{d}$$ 에 대해 $$V\left( t\right) =E_{m}\sin \omega _{d}t$$ 으로 표현된다. 이 때, I=V/R에서 저항에 흐르는 전류는 $$I\left( t\right) =\dfrac {E_{m}}{R}\sin\omega _{d}t=I_{m}\sin \omega _{d}t$$ 이 된다. 여기서 주목할 점은 전압과 전류의 위상차가 없다는 것이다.

1.2 용량형 회로

축전기와 교류전원만이 있는 회로를 생각하자. 위와 같은 전원으로 취급할 때 축전기에 걸리는 전압은

$$V\left( t\right) =V_{C}\sin \omega _{d}t$$ 이다.
여기서 $$V_{C}$$ 는 축전기에 걸리는 최대전압이다. 이제 여기서 축전기에 걸리는 전류를 구하면, $$I=\dfrac {dq}{dt}$$ 와 축전기의 전하량 q=CV (C는 전기용량) 으로부터
$$I\left( t\right) =\dfrac {dq}{dt}=\dfrac {d}{dt}(CV_{c}\sin \omega _{d}t)=CV_{c}\omega _{d}\cos \omega _{d}t$$ 가 된다.
여기서 주목할 점은 전류의 위상이 전압의 위상보다 90도 앞선다는 것이다.(진상)
이 때 $$I(t)=\dfrac {V(t)}{R}$$ 로부터 R의 역할을 하는 축전기의 요소를 용량 리액턴스라 부르며 그 값은 $$X_{c}=\dfrac {1}{\omega _{d}C}$$ 과 같다.
따라서 $$V\left( t\right) =I\left( t\right) X_{c}$$ 이다.

1.3 유도형 회로

다음으로 유도기와 교류전원만으로 구성된 회로를 생각하자. 이 때 유도기에 걸리는 전압은

$$V\left( t\right) =V_{L}\sin \omega _{d}t$$ 이다.
여기서 유도기의 특성에 따라 유도기에 걸리는 전압은 또한 $$V\left( t\right) =L\dfrac {dI}{dt}$$ 과 같다. (L은 유도용량)
따라서 유도기에 걸리는 전류는 $$I\left( t\right) =\int dI\left( t\right) =\int \dfrac {V_{L}}{L}\sin \omega _{d}tdt=-\dfrac {V_{L}}{\omega _{d}L}\cos \omega _{d}t$$ 가 된다.
이 때 주목할 점은 유도기에 걸리는 전류의 위상이 전압의 위상보다 90도 뒤진다는 것이다.(지상)
여기서 $$I\left( t\right) =\dfrac {V\left( t\right) }{R}$$ 로부터 R의 역할을 하는 유도기의 저항요소를 유도 리액턴스라 하며 그 값은 $$X_{L}=\omega _{d}L$$ 이다. 따라서 $$V\left( t\right) =I\left( t\right) X_{L}$$ 을 만족한다.

1.4 임피던스

회로의 각 요소마다 전압의 위상이 다른만큼 회로 전체의 등가전압도 교류전원이 공급해주는 것과는 다르다. 따라서 등가전압을 고려하기 위해서 각각 저항, 유도기, 축전기에 걸리는 진동하는 전압이 한 회로 안에서 서로 영향을 주고 받으므로 마치 같은 매질을 통해 세개의 서로 다른 파동이 서로 간섭하고 있는 것처럼 생각해보자. (아마 상쇄와 보강이 있을 것이다.)

이 때 저항, 유도기, 축전기에 걸리는 각각의 전압을

$$V_{R}\left( t\right) ,V_{L}\left( t\right) ,V_{C}\left( t\right)$$
라 하면 직렬회로에서는 모든 요소에 걸리는 전류의 위상이 같으므로 전류를 기준으로 유도기는 전압의 위상이 90도 빠르고 저항은 같고 축전기는 90도 느리다. 이는 위에서 식으로써 보였으므로 바로 정리하면,
$$V_{R}\left( t\right) =V_{R}\sin \left( \omega _{d}t\right)$$
$$V_{L}\left( t\right) =V_{L}\sin \left( \omega _{d}t+\dfrac {\pi }{2}\right)$$
$$V_{c}\left( t\right) =V_{c}\sin \left( \omega _{d}t-\dfrac {\pi }{2}\right)$$ 가 된다.
이 때 세 전압의 합성진동
$$V'(t)=V_{R}\sin \left( \omega _{d}t\right) +\left( V_{L}-V_{c}\right) \cos \left( \omega _{d}t\right)$$ 의 계수는 고등학교 수학시간에 배우는 $$\alpha \sin x+\beta \cos x=\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}\sin \left( x+\theta \right)$$ 공식에 의해서
$$V'\left( t\right) =\sqrt {V^{2}_{R}+\left( V_{L}-V_{c}\right) ^{2}}\sin \left( \cdot \cdot \cdot \right)$$ 가 된다.
즉 회로의 최대 전압(등가전압의 최댓값)은 $$V=\sqrt {V^{2}_{R}+\left( V_{L}-V_{c}\right) ^{2}}$$ 이 되고 V=IR에 의해 위 식의 양변을 I로 나누면
$$\dfrac {V}{I}=Z=\sqrt {R^{2}+\left( X_{L}-X_{c}\right) ^{2}}$$ 이 된다. 이때 Z를 회로의 임피던스(온저항) 이라고 하고 회로의 등가저항과 같은 역할을 한다.

2 여담

서울대학교 전기전자공학부는 학과명답게 분반 명칭이 R반, L반, C반이다. 현재 L반이 룰루, 랄라반으로 나누어져 있다.