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RLC회로

(임피던스에서 넘어옴)

1 RLC회로의 구성

RLC회로는 문자 그대로 저항(R) L(유도기) C(축전기) 가 직렬교류전원에 연결된 회로이다. 세 저항요소에서 걸리는 전압위상이 제각각이기 때문에 일반적인 회로의 저항처럼 각각을 독립해 계산한 것을 그대로 적용시킬 수 없다. 즉 교류전원의 기전력의 그래프와 전체 전압의 그래프는 위상차를 가지게 된다.

1.1 저항형 회로

저항과 교류전원장치만으로 구성된 회로를 생각하자. 이 때 회로의 전압은 교류전원의 최대기전력Em 과 각진동수ωd 에 대해 V(t)=Emsinωdt으로 표현된다. 이 때, I=V/R에서 저항에 흐르는 전류I(t)=EmRsinωdt=Imsinωdt이 된다. 여기서 주목할 점은 전압과 전류의 위상차가 없다는 것이다.

1.2 용량형 회로

축전기와 교류전원만이 있는 회로를 생각하자. 위와 같은 전원으로 취급할 때 축전기에 걸리는 전압은 V(t)=VCsinωdt 이다.
여기서 VC는 축전기에 걸리는 최대전압이다. 이제 여기서 축전기에 걸리는 전류를 구하면,I=dqdt와 축전기의 전하량 q=CV (C는 전기용량) 으로부터
I(t)=dqdt=ddt(CVcsinωdt)=CVcωdcosωdt가 된다.
여기서 주목할 점은 전류의 위상이 전압의 위상보다 90도 앞선다는 것이다.(진상)[1]
이 때 I(t)=V(t)R로부터 R의 역할을 하는 축전기의 요소를 용량 리액턴스라 부르며 그 값은 Xc=1ωdC과 같다.
따라서 V(t)=I(t)Xc 이다.

1.3 유도형 회로

다음으로 유도기와 교류전원만으로 구성된 회로를 생각하자. 이 때 유도기에 걸리는 전압은 V(t)=VLsinωdt이다.
여기서 유도기의 특성에 따라 유도기에 걸리는 전압은 또한 V(t)=LdIdt과 같다. (L은 유도용량)
따라서 유도기에 걸리는 전류는 I(t)=dI(t)=VLLsinωdtdt=VLωdLcosωdt가 된다.
이 때 주목할 점은 유도기에 걸리는 전류의 위상이 전압의 위상보다 90도 뒤진다는 것이다.(지상)
여기서 I(t)=V(t)R 로부터 R의 역할을 하는 유도기의 저항요소를 유도 리액턴스라 하며 그 값은 XL=ωdL 이다. 따라서 V(t)=I(t)XL 을 만족한다.

1.4 임피던스

회로의 각 요소마다 전압의 위상이 다른만큼 회로 전체의 등가전압도 교류전원이 공급해주는 것과는 다르다. 따라서 등가전압을 고려하기 위해서 각각 저항, 유도기, 축전기에 걸리는 진동하는 전압이 한 회로 안에서 서로 영향을 주고 받으므로 마치 같은 매질을 통해 세개의 서로 다른 파동이 서로 간섭하고 있는 것처럼 생각해보자. (아마 상쇄와 보강이 있을 것이다.)

이 때 저항, 유도기, 축전기에 걸리는 각각의 전압을 VR(t),VL(t),VC(t)
라 하면 직렬회로에서는 모든 요소에 걸리는 전류의 위상이 같으므로 전류를 기준으로 유도기는 전압의 위상이 90도 빠르고 저항은 같고 축전기는 90도 느리다. 이는 위에서 식으로써 보였으므로 바로 정리하면,
VR(t)=VRsin(ωdt)
VL(t)=VLsin(ωdt+π2)
Vc(t)=Vcsin(ωdtπ2) 가 된다.
이 때 세 전압의 합성진동
V(t)=VRsin(ωdt)+(VLVc)cos(ωdt)의 계수는 고등학교 수학시간에 배우는αsinx+βcosx=α2+β2sin(x+θ)공식에 의해서
V(t)=V2R+(VLVc)2sin() 가 된다.
즉 회로의 최대 전압(등가전압의 최댓값)은 V=V2R+(VLVc)2 이 되고 V=IR에 의해 위 식의 양변을 I로 나누면
VI=Z=R2+(XLXc)2이 된다. 이때 Z를 회로의 임피던스(온저항) 이라고 하고 회로의 등가저항과 같은 역할을 한다.

2 여담

서울대학교 전기전자공학부는 학과명답게 분반 명칭이 R반, L반, C반이다. 현재 L반이 룰루, 랄라반으로 나누어져 있다.
  1. 이동 다음 단락의 표현도 그렇지만, 전압과 전류의 관계를 바꿔서 생각하는 게 명확할 것이다. 전압의 위상이 전류보다 느린데 앞서 나간다는 뜻의 진상이란 단어를 쓰면 혼란스러울 수 있다. 전압을 기준으로 전류의 위상이 어떠한지를 따져서 진상이나 지상이라는 표현을 쓴다.