초한기수

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초한기수(超限基數)Transfinite cardinality.

1 개요

무한집합의 원소의 개수. 다들 '자연수의 집합과 정수의 집합, 유리수의 집합은 모두 원소의 개수가 같고, 실수의 집합은 이들 개수보다 원소의 개수가 많다'는 이야기는 들어봤을 것이다. 이 때 쓰이는 개념이 초한기수이다.
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상식적으로는 "무한집합이란 원소의 숫자가 무한대인 집합" 이라고 생각하기 쉽지만, 수학에서의 정의는 그 반대라서 "무한대란 무한집합의 원소의 수"로 정의한다. 무한대를 무한집합으로 정의한다고 하면 특이하게 보일 수 있지만, 수학기초론에서는 자연수 역시 원소의 숫자로 정의한다. 즉 원소가 한 개밖에 없는 집합을 만들어 그 원소의 수를 1로, 원소가 두 개밖에 없는 집합을 만들어 그 원소의 수를 2로 정의하는 식이다.

물론 이 때 무한집합을 '원소의 숫자가 무한히 많은 집합'으로 정의하면 동어반복이 되어버리므로, 무한집합은 "자기 자신의 진부분집합과 일대일 대응이 존재하는 집합"으로 정의된다. 예컨대 자연수의 집합은 그 진부분집합인 짝수의 집합과 일대일대응이 가능하므로, 자연수의 집합은 무한집합이다.

초한기수를 정의할 때는 서수를 이용한다. 칸토어는 1단계-2단계-3단계-...의 단계들을 모두 지난 다음에도 계속해서 끊임없이 순서대로 이어지는 수학적 과정의 개념을 만들어내었고, ...의 다음에도 이어지는 단계들을 모두 표현하기 위하여 서수를 도입했다.(자연수 다음에 이어지는 것이 초한서수들.)

이제 이 서수 개념과 여러가지 집합론의 정리들를 이용하면, 무한집합들을 원소의 개수가 적은 것부터 하나씩 순서대로 빠짐없이 찾을 수 있다. 무한집합의 원소의 개수의 종류도 무수히 많기 때문에, 빠짐없이 찾는다는 것은 빠짐없이 찾아낼 수 있는 점화식(또는 점화 관계, Recursive Relation)을 찾았다는 것을 의미한다.

이제 위 내용을 이용해서 무한집합의 크기(cardinality)는 '[math] \aleph [/math]'로 나타낸다. 자연수의 집합의 크기는 [math] \aleph_0 [/math], 바로 다음은 [math] \aleph_1 [/math], 바로 다음은 [math] \aleph_2 [/math], ..., [math] \aleph_{ \omega } [/math], ... 과 같은 식으로 정의한다.([math] \omega [/math]는 모든 자연수 다음에 바로 나오는 서수)

칸토어가 탐구한 대표적인 무한집합은 두 개가 있다. 하나는 수 체계이고, 다른 하나는 차원이다. 칸토어는 n차원에 있는 점의 개수는 1차원 선 위에 있는 점의 개수와 같다는 것을 증명했다. 그는 이 것을 증명한 뒤, Je le vois, mais je ne le crois pas(나는 그것을 안다. 그러나 그것을 믿지는 않는다.) 나는 내 성적이 바닥을 치는 것을 안다. 하지만 그것을 믿지는 않는다 그래도 현실은 바뀌지 않는다 라는 말을 했다.

연속체 가설을 일반화한 일반 연속체 가설을 가정할 경우, [math] \aleph_n [/math]과 [math] \aleph_{ n + 1 } [/math] 사이에 멱집합에 의한 관계가 생겨서 좀 더 이해하기 쉬워진다. 어떤 집합의 멱집합이란 그 집합의 모든 부분집합을 원소로 갖는 집합을 말한다. 예를 들어 [math] \left \{ 1 , 2 \right \} [/math]라는 집합이 있다고 하면, 이의 멱집합은 [math] \left \{ \emptyset, \left \{ 1 \right \}, \left \{ 2 \right \}, \left \{ 1 , 2 \right \} \right \} [/math]가 된다.

그런데 어떠한 집합도 그 자신의 원소들과 멱집합의 원소들을 일대일로 대응시킬 수 없다는 것이 증명되어 있다. 즉 멱집합의 원소의 숫자가 원래 집합의 원소의 수보다 항상 더 많다. 한 집합의 원소의 수를 n 이라고 하면 멱집합의 원소의 수는 2의 n 제곱이 되므로 유한집합에서 멱집합의 원소의 수가 더 많은 것은 당연하겠지만, 재미있는 점은 이 성질이 무한집합에서도 항상 성립한다는 것이다.

따라서 자연수의 집합이라는 무한집합에서 시작해서 자연수의 집합의 멱집합을 정의하면 자연수보다 원소가 많은 무한집합을 만들 수 있다. 다시 그 멱집합, 또다시 그 멱집합을 정의할 수 있기 때문에 무한집합의 '계층'은 무한히 많다.

칸토어는 실수의 집합의 원소의 수가 [math] 2^{ \aleph_0 } [/math]라는 것을 밝혀 내었는데, 그러자 칸토어는 그것이 [math] \aleph_0 [/math] 바로 다음의 초한기수, 즉 [math] \aleph_1 [/math]이 아닌가 하는 추측을 하였고, 이를 연속체 가설로 명명했으며, 아예 일반화해서 [math] \aleph_n [/math] 바로 다음의 초한기수 [math] \aleph_{ n + 1 } [/math]은 [math] 2^{ \aleph_n } [/math]이다는 것을 일반연속체 가설이라고 명명했다.([math] n [/math]은 서수) 이 둘은 대표적으로 사용되는 체르멜로-프랑켈 공리계로부터 증명할 수도 반증할 수도 없다는 것이 증명되었다. 불완전성 정리 참조. 그러나 윌리엄 휴 우딘이 오메가 논리를 도입하여 연속체 가설이 거짓이며, [math] 2^{ \aleph_0 } [/math]이 [math] \aleph_2 [/math] 임을 증명하였다고 알려져 있으며, 이는 오늘날에도 계속 논란이 되고 있다고 한다.(수학적인 증명은 아니라 카더라) 또, 고유 강제법 공리(proper forcing axiom)을 가정하면 마찬가지로 [math] 2^{ \aleph_0 } [/math]이 [math] \aleph_2 [/math] 가 되기 때문에, 연속체 가설은 거짓이라고 한다.

2 기수별 집합 예시

각 초한기수에 해당하는 집합들의 예시들은 다음과 같다.

[math] \aleph_0 [/math] : 자연수, 정수, 유리수

[math]\displaystyle \beth_1=2^{\aleph_0} [/math] : 무리수, 실수, 복소수, 유클리드 공간([math]\mathbb{R} ^n[/math]), [math]\mathbb{C} ^n[/math], 자연수열의 집합, 실수열의 집합, 실수의 표준 위상구조(실수의 열린 부분집합들의 집합), [math]\mathbb{R} ^n \to \mathbb{R}^n[/math] 연속함수들의 집합

[math] \beth_2=2^{\beth_1} [/math] : [math]\mathbb{R} ^n \to \mathbb{R}^n[/math] 함수들의 집합

보다시피, 우리가 다루는 웬만한 집합은 [math] 2^{\aleph_0} [/math]이다.