- 관련 항목 : 수학 관련 정보
1 설명
실해석학의 기초
1.1 측도의 의미
측도(測度, measure)는 어떤 집합의 크기를 재는 방법이다. 흔히 어떤 집합의 측도를 '잰다'라고도 많이 한다. 그리고 실제로 재는 것이 맞기도 하고,
엄밀하고도 쉽게 말하면, 어떤 '잴 수 있는 집합'의 함수 값이다. 단, 다음의 조건이 만족되어야 한다.[1]
i. 공집합의 측도는 0이다.
i. '겹치지 않는 집합'의 합의 측도는 각 집합의 측도의 합과 같다
우리가 쓰는 '길이', '질량', '부피', '개수', '확률' 등 많은 것들이 '측도'가 될 수 있다. 만약 위의 조건 중 두 번째 조건이 성립 안하고 다음의 조건이 대신 성립한다면 외측도(outer measure)라 한다.[2]
i. 공집합의 측도는 0이다.
i. 큰 집합은 측도도 크다.
i. 합집합의 측도는 각 집합의 측도의 합보다 작다
1.2 용도
- 가장 흔하고도 많이 쓰이는 측도는 '길이'일 것이다. 이를 르벡 측도(Lebesgue measure)라 하며 르베그 적분의 중요한 요소이다. 르벡 측도의 여러 성질을 이용하면 우리가 쉽게 생각하지 못하는 놈의 길이도 잴 수 있다. 예를 들어, '0과 1 사이의 유리수로 된 집합의 길이'는 얼마인가? 르벡 측도는 숫자 하나에 대해선 값이 0이다.
점은 당연히 길이가 0이다게다가 유리수는 셀 수 있는 집합이므로 0을 무한 번 더한 것이 르벡 측도가 된다. 따라서 그 값은 0.
- 이렇듯 측도론은 어지간한 집합에 대해서는 그 값을 알려 줄 수 있지만 잴 수 없는 집합도 존재한다.
물론 그런게 있는지 몰라도 사는데 지장 없다대표적인 예가 비탈리 집합(Vitali set)이다. 비탈리 집합이란 다음과 같다.
1. 어떤 두 수 [math]x, y[/math]에 대해 [math]x-y[/math]가 유리수면 x와 y를 동등하다고 정의한다.
2. x와 동등한 모든 수 중에 대표하는 한 수를 고른다.
3. 0부터 1까지의 수 중 위의 과정을 통해 수를 고른다
이처럼 만든 집합이 왜 잴 수 없는지 증명은 생략하겠다. 다만 비탈리 집합은 무리수 집합보단 작음을 알 수 있다. 증명하다보면 르벡 측도가 0이면서 동시에 0보다 커야되는 모순이 생긴다.
바탈리 집합이 비가측이라는 것은 선택공리(Axiom Of Choice)의 결과 중 하나이다.
추가 바람
2 사용 예
- 측도는 실해석학의 기본으로 확률쪽에서 굉장히 많이 쓰인다. 측도를 통해 르벡 스틸체스 적분이나 미적분학의 극한 정리를 유도할 수 있다.
경제나 물리 전산에도 쓰이는 것 같은데 추가바람