컴팩트성

• Compact : '자그마한', '빽빽한' 이라는 의미.
• 상위 문서 : 수학 관련 정보, 위상 공간

1 개요

처음 해석학을 공부하게 되면 미적분학의 엡실론 델타 다음으로 마주치게 되는 비직관적인 개념이다. 이에 대해 직관적으로 이해하려면 해석학이나 위상수학을 필히 어느 정도 공부해야 한다. 특히 해석학을 처음 배우는데 어떤 집합이 컴팩트인 걸 정의만으로 직접 보이라고 하면 고역이다.

연속함수의 컴팩트 집합의 보존에서 컴팩트 집합의 정의에 대한 동기를 유추할 수 있다.
컴팩트의 개념없이 다루는 일변수함수의 최대 최소 정리를 잘 살펴보면 닫힌 집합 [a, b]의 볼차노-바이어슈트라스 정리(닫힌 구간의 무한 부분집합은 극한점(집적점)을 닫힌 구간 내에서 가진다는것)를 이용하는 것이 핵심임을 살펴볼 수 있는데 이 볼차노-바이어슈트라스 정리가 의미하는 것이 점렬 컴팩트성이고 이것이 일반화 된것이 컴팩트 집합이다. 후술하겠지만 거리공간만 다룰때는 컴팩트의 정의가 점렬 컴팩트와 동치이다.
정의의 역사적인 내용을 알고싶다면 여기를 참고하라.

2 정의

실해석학에서는 다음과 같이 정의된다.

어떤 [math]A \subset \mathbb{R}[/math]에 대하여, 임의의 [math]A[/math]의 열린 덮개(open cover) 가 유한 부분덮개(finite subcover)를 가질 때, [math]A[/math]를 컴팩트 집합(compact set)이라고 한다.

이게 무슨 소리야
대한수학회에서는 '옹골집합'으로 번역할 것을 권장하며, Rudin 한국어 번역본이나 김김계 등에서 이 용어를 사용한다. 번역명에 대해서는 호불호가 갈리는 편. 국소 옹골 하우스도르프 공간, 국소 경로 연결공간 이런거 하다보면 한글이 좀 어색해진다...

위상수학에서는 더 일반적으로 정의한다.

어떤 위상공간 [math]T[/math]에 대하여, 임의의 [math]T[/math]의 열린 덮개(open cover)가 유한 부분덮개(finite subcover)를 가질 때, [math]T[/math]를 컴팩트공간 (compact space)라고 한다.

위상공간에서 compact의 개념은 공간 자체의 성질이다. 즉, subspace topology 등을 생각해도 불변한다는 것. open set은 open relative to Y 라는 개념이 존재하지만, compact에서는 이러한 개념이 불필요하다.

3 직관적인 이해

컴팩트는 말그대로 '작다'는 의미이다. '유계(bounded)'라는 개념을 일반화했다고 보면 된다. 예를 들어 구나 토러스(torus)는 컴팩트인데 반해, 직선이나 평면은 컴팩트가 아니다. 위상공간에는 거리라는 것이 없으므로 유계라는 개념을 이렇게 복잡하게 확장할 수 밖에 없는 것이다.
실해석학 수준에서는 어느 정도 예를 들 수 있다. 그러니까 [math]\left(0,1\right)[/math]와 같은 집합을 보면, [math]\left(0,1/2\right),\left(0,2/3\right),\left(0,3/4\right),\cdots[/math]와 같은 집합들을 생각하면, 이 집합들을 모두 합집합했을 때 [math]\left(0,1\right)[/math]를 덮으므로 열린 덮개가 되지만, 유한 개만 뽑아서 [math]\left(0,1\right)[/math]을 덮을 수는 없다. 또 다른 식의 설명으로는, 점을 계속 찍었을 때 극한을 취해서 이 집합 안에서 극한을 가지지 않을 수 있느냐는 것으로도 볼 수 있다. 예를 들어 [math]\left(0,1\right)[/math]에서는 간단히 [math]1/2,1/3,1/4,\cdots[/math]와 같은 수열을 취하면 [math]\left(0,1\right)[/math]의 안에서 수렴하지 않는다. 하지만 [math]\left[0,1\right][/math]에서는 백날 점을 찍어봐도 바깥으로 나갈 수가 없다. 이러한 공간을 극한점 컴팩트 공간(limit point compact space)라고 부르는데, 정의는 다음과 같다.

어떤 위상공간 [math]T[/math]에 대하여, 임의의 [math]T[/math] 안에서 정의된 무한 수열이 [math]T[/math] 안에서 극한점을 갖는다면 [math]T[/math]를 극한점 컴팩트 공간(limit point compact space)라고 한다.

거리화 가능 공간(metrizable space)이면 컴팩트, 점렬 컴팩트, 극한점 컴팩트가 모두 동치라는 것이 알려져 있다.

사실상 우리가 자주 접하는 실수에서 compact 하다는 것은 closed and bouded와 동일하므로 [0,1]과 같은 집합이 compact하다고 생각하면 편하다. 물론 실수가 아닌 임의의 공간에서는 성립하지 않는다.

4 하이네 보렐 정리

유클리드 공간 [math]\mathbb{R}^n[/math]의 부분집합이 닫혀있고 유계이기만 하면 컴팩트라는 정리이다. 증명을 간단히 요약하면 먼저 컴팩트 집합이 닫혀있고 유계인 것을 보이는 건 비교적 쉽다(간단하게 유한 부분덮개가 없는 열린 덮개를 찾으면 된다). 반대 방향을 보이기 위해 우선 [math]n[/math]차원 상자, 즉 유계 닫힌 구간 [math]n[/math]개의 데카르트곱이 컴팩트임을 보여야 한다. 그러고 나면 닫혀있고 유계인 [math]\mathbb{R}^n[/math]의 부분집합은 적당한 [math]n[/math]차원 상자에 포함되고, 따라서 컴팩트집합의 닫힌 부분집합이 컴팩트인 것을 증명하면 끝난다.
일반적인 거리공간에서는 이 정리가 더 이상 성립하지 않으나, 완비이고 완전유계인 거리공간은 컴팩트공간이라는 일반화된 하이네 보렐 정리가 있다. 한편, 연속함수공간에서는 아젤라-아스콜리 정리(Arzelà-Ascoli Theorem)라는 것이 알려져 있다.

5 티호노프 정리

컴팩트 집합들 [math]C_\alpha \left(\alpha\in I\right)[/math]들의 곱공간 [math] \prod_{\alpha\in I}C_\alpha[/math]도 컴팩트라는 것을 의미한다. (비가산개일 수도 있음에 유의). 선택 공리와 동치이다. 증명은 보통 tube lemma와 zorn's lemma를 사용하는데, 이해하고 나면 어렵지는 않지만 증명과정이 길고 귀찮다.