1 개요
하위헌스의 원리(Huygens' Principle)는 파동이 어떻게 진행하는가를 나타내는 원리이다. 빛이 아니더라도 역학적 파동의 경우도 이 원리로써 접근할 수 있다.
2 정성적인 접근
이미지 출처
파면 위에서 위상(phase)이 같은 지점들을 파원으로 간주한다. 일정 시간동안 퍼져나간 파동들에 접하는 곡선을 찾는다. 이것이 다음 위상의 파면이 되며, 새로운 파원이 된다.
3 정량적인 접근
파동의 진행을 정확하게 알아보기 위해서는 파원을 충분히 많이 그려야 하지만 여기서는 간략한 맥락으로 서술한다.
3.1 반사의 법칙
위 그림은 반사하는 파동이 진행하는 모습을 나타낸 것이다. 편의상 [math] O,P,Q [/math]세 지점을 기준으로 살펴보면 아래와 같다.
- [math] O,P'',Q'' [/math]과 [math] O',P',Q [/math]의 위상은 각각 같다.
- [math] O,P,Q [/math]는 동일한 위상차를 두고 있다.
위 두 사실에 근거하면 아래와 같은 관계를 유추할 수 있다. 파동의 진행속도가 언제나 일정하기 때문이다.
- [math] \bar{OP}=\bar{PQ},\bar{Q''Q}=2\bar{P''P}=\bar{OO'}=2\bar{PP'} [/math]
그림의 초록색 선은 위상이 같은 지점들을 이은 파면이다. 이 파면은 파동의 진행방향과 수직이다. [math]\triangle OO'Q,\triangle QQ''O[/math]는 서로 합동이기 때문에 그림에 표시된 두 각은 동일하다.
즉 [math]\theta=\theta ' [/math]
따라서 법선과 이루는 각인 입사각과 반사각은 같으며, 이는 반사의 법칙을 이끌어낸다.
3.2 굴절의 법칙
위 그림은 반사하는 파동이 진행하는 모습을 나타낸 것이다. 마찬가지로 편의상 [math] O,P,Q [/math]세 지점을 기준으로 살펴보면 아래와 같다.
- [math] O,P'',Q'' [/math]과 [math] O',P',Q [/math]의 위상은 각각 같다.
- [math] O,P,Q [/math]는 동일한 위상차를 두고 있다. [math] O, Q [/math] 사이의 시간차는 [math]\Delta t[/math]라 한다.
그림에서 경계선 위쪽 영역의 파동의 진행속도를 [math]v_1[/math], 아래쪽은 [math]v_2[/math]라 두면 아래 관계식이 성립한다. 여기서
- [math] \bar{OP}=\bar{PQ}[/math]
- [math] \bar{Q''Q}=2\bar{P''P}=\bar{OQ}\sin\theta=v_1 \Delta t, \bar{OO'}=2\bar{PP'}=\bar{OQ}\sin\theta'=v_2 \Delta t [/math]
그림의 초록색 선은 위상이 같은 지점들을 이은 파면이다. 이 파면은 파동의 진행방향과 수직이다. 위 식에서 길이의 비를 유추할 수 있다.
[math]\displaystyle {\bar{Q''Q} \over \bar{OO'}} = {\sin\theta \over \sin\theta'} = {v_1 \over v_2}[/math]
따라서 법선과 이루는 각인 입사각과 굴절각은 굴절의 법칙(스넬의 법칙)을 만족하게 된다.