문서 편집 권한이 없습니다. 다음 이유를 확인해주세요: 요청한 명령은 다음 권한을 가진 사용자에게 제한됩니다: 사용자. 문서의 원본을 보거나 복사할 수 있습니다. * 상위항목 : [[수학]], [[수학 관련 정보]], [[미적분]] 曲線, curve [목차] == 개요 == 곡선은 휜 선을 의미한다. 분야에 따라 다른 여러 정의가 있는데 기본적으로는 무언가 직선같으면서 꼭 직선일 필요는 없는 적당히 휜 선들을 말한다. 좀 더 엄밀하게 말하자면 '''[[연속함수|연속]]적인 순서쌍의 집합'''이나 선으로 동형사상이 있는 위상 공간 정도일 것이다. 조금 더 이해하기 쉽게 우리에게 친숙한 xy-평면인 <math>R^{2}</math> 공간으로 생각한다면, 평면 위의 곡선은 어떠한 [[연속함수]] <math>\varphi:\left[0,1\right]\to R^2</math>가 있어서 <math>S=\left\{\left(x,y\right)\in R^{2}\big|\left(x,y\right)\in\varphi\left(\left[0,1\right]\right)\right\}</math>의 형태로 나타내어지는 순서쌍의 집합으로 나타낼 수 있겠다.[* 임의의 폐구간 <math>\left[a,b\right]</math>로 나타내는 경우가 많지만, 보통 적절한 사상을 통하여 <math>\left[0,1\right]</math>로 표현할 수 있다.] 물리학적인 의미를 생각하자면 입자가 이동한 자취가 곡선이라고 생각할 수 있다. [[커브볼]]의 위치를 시간 <math>t</math> 에 대한 함수로 기록하면[* 공을 던진지 1초 후에 투수로부터 3m앞을 2m 높이로 지났다면 <math>r\left(1\right)=\left<3,2\right></math>라고 쓰는식이다. 시간을 <math>t</math>로, 투수로부터 거리를 <math>f\left(t\right)</math>로, 공의 높이를 <math>h\left(t\right)</math>로 바꾸면 <math>r\left(t\right) = \left<f\left(t\right),h\left(t\right)\right></math>. <math>t</math>를 매개체로 위치와 높이를 표현해서 매개화했다고 부르는 것이다.] 그런 함수를 <math>t</math>에 대해 매개화된 곡선이라고 부른다. 이런 물리학적인 의미를 생각할 때 보통 곡선은 [[매끄러움|매끄러우며]] 3차원 공간 또는 평면 상에서 그려지게 된다. --물론 수학변태들은 [[위상수학|이상한 공간]]에서의 곡선을 고민한다.-- 외적이나 내적같은 개념을 이용하기 위해 좌표보다는 위치 벡터를 이용해 기술하는 경우가 많은데, 행성의 운동을 벡터 함수로 기록해놓았다면 어떤 순간의 행성의 속도, 즉 빠르기와 방향을 구하고 아름답게 표현하고 싶은 욕구가 솟구칠 것이다. 이런 맥락에서 벡터 함수에는 미적분, 길이, [[곡률]], [[접선|접선 벡터]], 접촉 평면[* osculating plane의 번역어이다(...) osculation은 키스라는 의미도 있는 단어로, osculating circle이 곡선에 아름답게 키스하는 장면이 연상된다면 당신은 훌륭한 미분기하덕후!], 법선 벡터, 이중 접선[* binormal vector] 벡터, 법면 등이 잘 정의되어 있다. == 벡터 함수 == [[2차원|2차원 평면]]에서 접선이 할선의 극한으로 정의되듯이 3차원의 접선도 두 점 <math>P</math>, <math>Q</math>와 그 위치 벡터 <math>r\left(t\right)</math>, <math>r\left(t+h\right)</math>를 잡고 <math>Q</math>를 <math>P</math>에 가깝게 <math>h</math>를 <math>0</math>에 가깝게 하여 할선을 접선에 가깝게 만들어서 구한다. 즉 벡터 함수 <math>r\left(t\right)</math>의 도함수 <math>r'\left(t\right)</math>는 ><math>\frac{d\vec{r}}{ds} = \vec{r}'\left(t\right) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\vec{r}\left(t+h\right)-\vec{r}\left(t\right)}{h}</math> 이다. 원리가 원리인지라 <math>r'\left(t\right)</math>는 접선의 의미를 가지므로 <math>r\left(t\right)</math>의 '''접선벡터함수'''라고 부른다. 그런데 접선의 크기를 고르게 맞춰줘야 한다면 [* 방향만 생각하고 싶다던가 하는 경우가 생길 수 있다.] 당연히 절댓값 씌워서 나눠주면 된다. ><math>\vec{T}\left(t\right) = \frac{\vec{r}'\left(t\right)}{\left|\vec{r}\left(t\right)\right|}</math> 위처럼 [[A라고 쓰고 B라고 읽는다|<math>T\\left(t\\right)</math>라고 쓰고 단위 접선 벡터라고 부르는데]] 접선은 표기가 <math>r</math> 미분한건데 단위 접선--따위--가 <math>T</math>라고 이름을 가져서 [[하극상]]아닌가 싶을 수도 있지만 그냥 사람들이 단위 접선을 더 많이 쓰기 때문에 이름이 있는 것 뿐이다.--하극상 맞네-- <math>r'\left(t\right)</math>를 구하는 방법은 직관적인 정의와 부합하게도 각각의 성분함수를 미분해주면 된다. ><math>\vec{r}'\left(t\right)= \left<f'\left(t\right), g'\left(t\right), h'\left(t\right)\right> = f'\left(t\right)\vec{i}+g'\left(t\right)\vec{j}+h'\left(t\right)\vec{k}</math> 정말 편리하다. --미분만 잘 할줄 안다면 말이지-- 게다가 합, 스칼라 곱, 합성함수의 미분이 보통 함수의 미분 규칙이 적용되며, 심지어는 내적이나 외적의 미분도 일반함수의 곱의 미분처럼 다루면 된다!--물론 계산해보면 당연하다는 걸 알 수 있다(...)-- 정리하자면 다음과 같다. ><math>\frac{d}{dt}\left(\vec{u}\left(t\right) + \vec{v}\left(t\right)\right) = \vec{u}'\left(t\right) + \vec{v}'\left(t\right)</math> [br] <math>\frac{d}{dt}\left(f\left(t\right)\vec{u}\left(t\right)\right) = f'\left(t\right)\vec{u}\left(t\right) + f\left(t\right)\vec{u}'\left(t\right)</math> [br] <math>\frac{d}{dt}\left(\vec{u}\left(t\right)\cdot \vec{v}\left(t\right)\right) = \vec{u}'\left(t\right)\cdot \vec{v}\left(t\right) + \vec{u}\left(t\right)\cdot \vec{v}'\left(t\right)</math> [br] <math>\frac{d}{dt}\left(\vec{u}\left(t\right)\times \vec{v}\left(t\right)\right) = \vec{u}'\left(t\right)\times \vec{v}\left(t\right) + \vec{u}\left(t\right)\times \vec{v}'\left(t\right)</math> [br] <math>\frac{d}{dt}\left(\vec{u}\left(f\left(t\right)\right)\right) =f'\left(t\right)\vec{u}'\left(f\left(t\right)\right)</math> 적분은 직관과 정의가 일치하기는 하지만 적분이 언제나 그렇듯 그다지 쉽지는 않다. ><math>\int_a^b \vec{r}\left(t\right) \, dt = \left(\int_a^b f\left(t\right) \, dt\right)\vec{i}+\left(\int_a^b g\left(t\right) \, dt\right)\vec{j}+\left(\int_a^b h\left(t\right) \, dt\right)\vec{k}</math> == 길이 == 곡선의 길이는 곡선을 잘 폈을 때 만들어지는 곡선과 같은 모양이어야 할 것이다. [[미적분학|이 바닥]]이 언제나 그렇듯 곡선을 충분히 잘게 쪼개면 직선과 비슷해진다는 점을 이용해서 길이를 정의한다. 3차원 직선의 경우 피타고라스의 정리로 맞모금[* 같은 평면 위에 있지 않은 두 점을 잇는 직선]의 길이를 구할 수 있으므로 그를 참고한다. ><math>L = \int_a^b \sqrt{f'\left(t\right)^2+g'\left(t\right)^2+h'\left(t\right)^2}\, dt = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}\, dt</math> 조건은 <math>f,g,h</math>의 미분이 연속이고, 곡선이 정칙곡선[* 가다가 중간에 멈추지 않는 곡선. 수학적으로는 <math>\left|r'\left(t\right)\right| > 0 \forall t</math>] 이어야 한다. n차원으로 일반화하면 이렇게 정리할 수 있다. ><math>L = \int_a^b \left|\vec{r}'\left(t\right)\right|\, dt</math> 같은 곡선을 다양하게 매개화해도 변하지 않는 값이기 때문에 길이는 중요한 의미를 가진다. 예를 들어 <math>\left<t,t^2,t^3\right></math>은 <math>\left<e^u, e^{2u}, e^{3u}\right></math>와 같은 곡선을 다르게 매개화한 것이지만 길이는 변하지 않는다. 뭔가 당연한 것 같지만 증명이 필요하다! 이런 특성 때문에 매개화된 곡선을 길이에 대해 다시 매개화[* 길이를 함숫값으로 주면 시작점부터 그 길이만큼 진행한 점의 위치를 뱉는 함수로]하는 경우가 있다. 이런 것을 재매개화라고 한다.--완전 편해보인다.-- 하지만 계산해보면 미분한 것의 제곱의 합의 루트의 적분의 역함수를 원래 곡선의 식에 대입하는 짓거리를 해야한다. 아무튼 결과는 정말 쓸만하다. 길이의 개념은 [[곡률]]을 정의할 때도 기준단위로서 유용하게 쓰인다. == 예시 == * 수학적으로 직선은 곡률이 0인 곡선이다. * [[원뿔곡선]] * [[타원곡선]] --타원이 아닌 것 같다-- * [[정규분포]] ([[상대평가]] 시의 성적분포곡선) 곡선 문서로 돌아갑니다.