곡선

曲線, curve

1 개요

곡선은 휜 선을 의미한다. 분야에 따라 다른 여러 정의가 있는데 기본적으로는 무언가 직선같으면서 꼭 직선일 필요는 없는 적당히 휜 선들을 말한다. 좀 더 엄밀하게 말하자면 연속적인 순서쌍의 집합이나 선으로 동형사상이 있는 위상 공간 정도일 것이다. 조금 더 이해하기 쉽게 우리에게 친숙한 xy-평면인 [math]R^{2}[/math] 공간으로 생각한다면, 평면 위의 곡선은 어떠한 연속함수 [math]\varphi:\left[0,1\right]\to R^2[/math]가 있어서 [math]S=\left\{\left(x,y\right)\in R^{2}\big|\left(x,y\right)\in\varphi\left(\left[0,1\right]\right)\right\}[/math]의 형태로 나타내어지는 순서쌍의 집합으로 나타낼 수 있겠다.[1]

물리학적인 의미를 생각하자면 입자가 이동한 자취가 곡선이라고 생각할 수 있다. 커브볼의 위치를 시간 [math]t[/math] 에 대한 함수로 기록하면[2] 그런 함수를 [math]t[/math]에 대해 매개화된 곡선이라고 부른다. 이런 물리학적인 의미를 생각할 때 보통 곡선은 매끄러우며 3차원 공간 또는 평면 상에서 그려지게 된다. 물론 수학변태들은 이상한 공간에서의 곡선을 고민한다. 외적이나 내적같은 개념을 이용하기 위해 좌표보다는 위치 벡터를 이용해 기술하는 경우가 많은데, 행성의 운동을 벡터 함수로 기록해놓았다면 어떤 순간의 행성의 속도, 즉 빠르기와 방향을 구하고 아름답게 표현하고 싶은 욕구가 솟구칠 것이다. 이런 맥락에서 벡터 함수에는 미적분, 길이, 곡률, 접선 벡터, 접촉 평면[3], 법선 벡터, 이중 접선[4] 벡터, 법면 등이 잘 정의되어 있다.

2 벡터 함수

2차원 평면에서 접선이 할선의 극한으로 정의되듯이 3차원의 접선도 두 점 [math]P[/math], [math]Q[/math]와 그 위치 벡터 [math]r\left(t\right)[/math], [math]r\left(t+h\right)[/math]를 잡고 [math]Q[/math]를 [math]P[/math]에 가깝게 [math]h[/math]를 [math]0[/math]에 가깝게 하여 할선을 접선에 가깝게 만들어서 구한다. 즉 벡터 함수 [math]r\left(t\right)[/math]의 도함수 [math]r'\left(t\right)[/math]는

[math]\frac{d\vec{r}}{ds} = \vec{r}'\left(t\right) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\vec{r}\left(t+h\right)-\vec{r}\left(t\right)}{h}[/math]

이다. 원리가 원리인지라 [math]r'\left(t\right)[/math]는 접선의 의미를 가지므로 [math]r\left(t\right)[/math]의 접선벡터함수라고 부른다. 그런데 접선의 크기를 고르게 맞춰줘야 한다면 [5] 당연히 절댓값 씌워서 나눠주면 된다.

[math]\vec{T}\left(t\right) = \frac{\vec{r}'\left(t\right)}{\left|\vec{r}\left(t\right)\right|}[/math]

위처럼 [math]T\\left(t\\right)[/math]라고 쓰고 단위 접선 벡터라고 부르는데 접선은 표기가 [math]r[/math] 미분한건데 단위 접선따위가 [math]T[/math]라고 이름을 가져서 하극상아닌가 싶을 수도 있지만 그냥 사람들이 단위 접선을 더 많이 쓰기 때문에 이름이 있는 것 뿐이다.하극상 맞네
[math]r'\left(t\right)[/math]를 구하는 방법은 직관적인 정의와 부합하게도 각각의 성분함수를 미분해주면 된다.

[math]\vec{r}'\left(t\right)= \left\ltf'\left(t\right), g'\left(t\right), h'\left(t\right)\right\gt = f'\left(t\right)\vec{i}+g'\left(t\right)\vec{j}+h'\left(t\right)\vec{k}[/math]

정말 편리하다. 미분만 잘 할줄 안다면 말이지 게다가 합, 스칼라 곱, 합성함수의 미분이 보통 함수의 미분 규칙이 적용되며, 심지어는 내적이나 외적의 미분도 일반함수의 곱의 미분처럼 다루면 된다!물론 계산해보면 당연하다는 걸 알 수 있다(...)
정리하자면 다음과 같다.

[math]\frac{d}{dt}\left(\vec{u}\left(t\right) + \vec{v}\left(t\right)\right) = \vec{u}'\left(t\right) + \vec{v}'\left(t\right)[/math]
[math]\frac{d}{dt}\left(f\left(t\right)\vec{u}\left(t\right)\right) = f'\left(t\right)\vec{u}\left(t\right) + f\left(t\right)\vec{u}'\left(t\right)[/math]
[math]\frac{d}{dt}\left(\vec{u}\left(t\right)\cdot \vec{v}\left(t\right)\right) = \vec{u}'\left(t\right)\cdot \vec{v}\left(t\right) + \vec{u}\left(t\right)\cdot \vec{v}'\left(t\right)[/math]
[math]\frac{d}{dt}\left(\vec{u}\left(t\right)\times \vec{v}\left(t\right)\right) = \vec{u}'\left(t\right)\times \vec{v}\left(t\right) + \vec{u}\left(t\right)\times \vec{v}'\left(t\right)[/math]
[math]\frac{d}{dt}\left(\vec{u}\left(f\left(t\right)\right)\right) =f'\left(t\right)\vec{u}'\left(f\left(t\right)\right)[/math]

적분은 직관과 정의가 일치하기는 하지만 적분이 언제나 그렇듯 그다지 쉽지는 않다.

[math]\int_a^b \vec{r}\left(t\right) \, dt = \left(\int_a^b f\left(t\right) \, dt\right)\vec{i}+\left(\int_a^b g\left(t\right) \, dt\right)\vec{j}+\left(\int_a^b h\left(t\right) \, dt\right)\vec{k}[/math]

3 길이

곡선의 길이는 곡선을 잘 폈을 때 만들어지는 곡선과 같은 모양이어야 할 것이다. 이 바닥이 언제나 그렇듯 곡선을 충분히 잘게 쪼개면 직선과 비슷해진다는 점을 이용해서 길이를 정의한다. 3차원 직선의 경우 피타고라스의 정리로 맞모금[6]의 길이를 구할 수 있으므로 그를 참고한다.

[math]L = \int_a^b \sqrt{f'\left(t\right)^2+g'\left(t\right)^2+h'\left(t\right)^2}\, dt = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}\, dt[/math]

조건은 [math]f,g,h[/math]의 미분이 연속이고, 곡선이 정칙곡선[7] 이어야 한다. n차원으로 일반화하면 이렇게 정리할 수 있다.

[math]L = \int_a^b \left|\vec{r}'\left(t\right)\right|\, dt[/math]

같은 곡선을 다양하게 매개화해도 변하지 않는 값이기 때문에 길이는 중요한 의미를 가진다. 예를 들어 [math]\left\ltt,t^2,t^3\right\gt[/math]은 [math]\left\lte^u, e^{2u}, e^{3u}\right\gt[/math]와 같은 곡선을 다르게 매개화한 것이지만 길이는 변하지 않는다. 뭔가 당연한 것 같지만 증명이 필요하다! 이런 특성 때문에 매개화된 곡선을 길이에 대해 다시 매개화[8]하는 경우가 있다. 이런 것을 재매개화라고 한다.완전 편해보인다. 하지만 계산해보면 미분한 것의 제곱의 합의 루트의 적분의 역함수를 원래 곡선의 식에 대입하는 짓거리를 해야한다. 아무튼 결과는 정말 쓸만하다. 길이의 개념은 곡률을 정의할 때도 기준단위로서 유용하게 쓰인다.

4 예시

  1. ↑ 임의의 폐구간 [math]\left[a,b\right][/math]로 나타내는 경우가 많지만, 보통 적절한 사상을 통하여 [math]\left[0,1\right][/math]로 표현할 수 있다.
  2. ↑ 공을 던진지 1초 후에 투수로부터 3m앞을 2m 높이로 지났다면 [math]r\left(1\right)=\left\lt3,2\right\gt[/math]라고 쓰는식이다. 시간을 [math]t[/math]로, 투수로부터 거리를 [math]f\left(t\right)[/math]로, 공의 높이를 [math]h\left(t\right)[/math]로 바꾸면 [math]r\left(t\right) = \left\ltf\left(t\right),h\left(t\right)\right\gt[/math]. [math]t[/math]를 매개체로 위치와 높이를 표현해서 매개화했다고 부르는 것이다.
  3. ↑ osculating plane의 번역어이다(...) osculation은 키스라는 의미도 있는 단어로, osculating circle이 곡선에 아름답게 키스하는 장면이 연상된다면 당신은 훌륭한 미분기하덕후!
  4. ↑ binormal vector
  5. ↑ 방향만 생각하고 싶다던가 하는 경우가 생길 수 있다.
  6. ↑ 같은 평면 위에 있지 않은 두 점을 잇는 직선
  7. ↑ 가다가 중간에 멈추지 않는 곡선. 수학적으로는 [math]\left|r'\left(t\right)\right| \gt 0 \forall t[/math]
  8. ↑ 길이를 함숫값으로 주면 시작점부터 그 길이만큼 진행한 점의 위치를 뱉는 함수로