노름(수학) 문서 원본 보기

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== 개요 ==
[[수학]] 용어. 노음이라고 하는 경우도 있다. 대한수학회의 표준용어로는 [[노름]]이다. 하지만 대부분은 그냥 '놂'이라고 발음한다. 
본 문서에서는 대한수학회의 표준용어를 따라 노름으로 표기하기로 한다.
간단하게 설명하자면 좌표 공간 사이에서 거리를 나타내는 함수를 일반적인 위상 공간으로 확장시킨 것이다.

== 정의 ==
<math>V</math>가 [[복소수]][[체]] <math>F</math> 위의 [[벡터공간]]일 때, 함수 <math>f:V \rightarrow \mathbb{R}</math>가 다음을 모두 만족할 때,
> 복소수체 <math>F</math>의 임의의 원소 <math>a</math>와 벡터공간 <math>V</math>의 임의의 원소 <math>\bold{u}, \bold{v}</math>에 대하여
> 1. <math>f(a\bold{u}) = |a| \cdot f(\bold{u})</math>
> 2. <math>f(\bold{u} + \bold{v}) \le f(\bold{u}) + f(\bold{v})</math>[* 흔히 '삼각부등식'이라고 부르는 놈.]
> 3. 만약 <math>f(\bold{u})=0</math>이면 <math>\bold{u}</math>는 영벡터이다.
이 함수 <math>f</math>를 (V 위에서의) '''노름'''(''norm'' on V)라고 부른다.
이때, 노름을 나타내는 함수는 <math>f</math>보다는 <math>\left\| \cdot \right\|</math>로 표기하는 경우가 많다. 즉, <math>f(\bold{u}) = \left\| \bold{u} \right\|</math> 로 표기.

== 성질 ==
정의 문단의 3번에 의해, <math>f(\bold{0})=0</math>이고, 1번에 의해 <math>f(-\bold{u}) = f(\bold{u})</math>임을 --쉽게-- 알 수 있으므로,[* <math>a=-1</math>을 대입하면 된다.]
2번의 삼각부등식에 위 두 사실을 대입하면 <math>f(\bold{u}) \ge 0</math> 임을 유도할 수 있다.[* (증명) <math>\bold{u} = -\bold{v}</math>를 대입하면 좌변은 <math>f(\bold{0})</math>이 되고, 우변은 <math>f(-\bold{v}) + f(\bold{v})</math>가 되므로  <math> 0 \le 2 \cdot f(\bold{u})</math> ■ ]

== 예시 ==
=== 절댓값 노름 ===
우리가 흔히 알고 있는 a의 절댓값 <math>|a|</math>은 1차원 [[유클리드 공간]](=수직선)에서의 노름으로 볼 수 있다.
즉, <math>a \in \mathbb{R}</math>에 대하여, <math>|a| = \left\| a \right\|</math>이다.[* 어떻게 보면 노름은 절댓값의 개념을 확장시켰다고 볼 수도 있기 때문에 당연하다고 볼 수 있다.]

=== 유클리드 노름 ===
n차원 유클리드 공간(=좌표평면)에서의 노름은 '''유클리드 노름'''(Euclidean norm)이라고 부르고 다음과 같이 정의한다.
> <math>\displaystyle \left\|\bold{x}\right\| = \sqrt{{x_1}^2 + {x_2}^2 + \cdots + {x_n}^2} = \sqrt{ \sum_{k=1}^{n} {x_k}^2 }</math>
어디서 많이 본 듯한 모양이라면 정답이다. 평면좌표(n=2)나 공간좌표(n=3)에서 원점과 점 <math>\bold{x} = \left( x_1, x_2, \cdots, x_n \right)</math> 사이의 거리이다.

=== 택시 노름 ===
Taxicab norm. 다른 이름은 '''맨허튼 노름'''(Manhattan norm)으로, 다음과 같이 정의한다.
> <math>\left\|\bold{x}\right\|_1 = |x_1| + |x_2| + \cdots + |x_n| = \sum_{k=1}^{n} {|x_k|}</math>
덧붙여 설명하자면, (0, 0)에서 (1, 1)까지 움직이고 싶을 때 대각선으로 가로질러 가는 거리 유클리드 노름으로 계산하지만, 만약에 그 사이에 밑면의 한 변의 크기가 1인 정사각형 모양의 빌딩이 있고 田자 모양의 도로망이 있을 때에는 ㄱ자 형태로 가로 1, 세로 1만큼, 총 2의 거리를 가야 한다. 이 거리를 계산하는 방법이 택시 노름이다.[* 맨허튼의 도로 구조가 위와 같이 격자 모양에 가까워 다른 이름이 맨허튼 노름인 것.]
[각주]
[include(틀:문서 가져옴,title=놈,version=47)]
[[분류:해석학]][[분류:대수학]]