Norm
1 개요
수학 용어. 노음이라고 하는 경우도 있다. 대한수학회의 표준용어로는 노름이다. 하지만 대부분은 그냥 '놂'이라고 발음한다.
본 문서에서는 대한수학회의 표준용어를 따라 노름으로 표기하기로 한다.
간단하게 설명하자면 좌표 공간 사이에서 거리를 나타내는 함수를 일반적인 위상 공간으로 확장시킨 것이다.
2 정의
V가 복소수체 F 위의 벡터공간일 때, 함수 f:V→R가 다음을 모두 만족할 때,
복소수체 F의 임의의 원소 a와 벡터공간 V의 임의의 원소 \boldu,\boldv에 대하여1. f(a\boldu)=|a|⋅f(\boldu)
2. f(\boldu+\boldv)≤f(\boldu)+f(\boldv)[1]
3. 만약 f(\boldu)=0이면 \boldu는 영벡터이다.
이 함수 f를 (V 위에서의) 노름(norm on V)라고 부른다.
이때, 노름을 나타내는 함수는 f보다는 ‖⋅‖로 표기하는 경우가 많다. 즉, f(\boldu)=‖\boldu‖ 로 표기.
3 성질
정의 문단의 3번에 의해, f(\bold0)=0이고, 1번에 의해 f(−\boldu)=f(\boldu)임을 쉽게 알 수 있으므로,[2]
2번의 삼각부등식에 위 두 사실을 대입하면 f(\boldu)≥0 임을 유도할 수 있다.[3]
4 예시
4.1 절댓값 노름
우리가 흔히 알고 있는 a의 절댓값 |a|은 1차원 유클리드 공간(=수직선)에서의 노름으로 볼 수 있다.
즉, a∈R에 대하여, |a|=‖a‖이다.[4]
4.2 유클리드 노름
n차원 유클리드 공간(=좌표평면)에서의 노름은 유클리드 노름(Euclidean norm)이라고 부르고 다음과 같이 정의한다.
‖\boldx‖=√x12+x22+⋯+xn2=√n∑k=1xk2
어디서 많이 본 듯한 모양이라면 정답이다. 평면좌표(n=2)나 공간좌표(n=3)에서 원점과 점 \boldx=(x1,x2,⋯,xn) 사이의 거리이다.
4.3 택시 노름
Taxicab norm. 다른 이름은 맨허튼 노름(Manhattan norm)으로, 다음과 같이 정의한다.
‖\boldx‖1=|x1|+|x2|+⋯+|xn|=n∑k=1|xk|
덧붙여 설명하자면, (0, 0)에서 (1, 1)까지 움직이고 싶을 때 대각선으로 가로질러 가는 거리 유클리드 노름으로 계산하지만, 만약에 그 사이에 밑면의 한 변의 크기가 1인 정사각형 모양의 빌딩이 있고 田자 모양의 도로망이 있을 때에는 ㄱ자 형태로 가로 1, 세로 1만큼, 총 2의 거리를 가야 한다. 이 거리를 계산하는 방법이 택시 노름이다.[5]
- 이동 ↑ 흔히 '삼각부등식'이라고 부르는 놈.
- 이동 ↑ a=−1을 대입하면 된다.
- 이동 ↑ (증명) \boldu=−\boldv를 대입하면 좌변은 f(\bold0)이 되고, 우변은 f(−\boldv)+f(\boldv)가 되므로 0≤2⋅f(\boldu) ■
- 이동 ↑ 어떻게 보면 노름은 절댓값의 개념을 확장시켰다고 볼 수도 있기 때문에 당연하다고 볼 수 있다.
- 이동 ↑ 맨허튼의 도로 구조가 위와 같이 격자 모양에 가까워 다른 이름이 맨허튼 노름인 것.
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