노름(수학)

Norm

1 개요

수학 용어. 노음이라고 하는 경우도 있다. 대한수학회의 표준용어로는 노름이다. 하지만 대부분은 그냥 '놂'이라고 발음한다.
본 문서에서는 대한수학회의 표준용어를 따라 노름으로 표기하기로 한다.
간단하게 설명하자면 좌표 공간 사이에서 거리를 나타내는 함수를 일반적인 위상 공간으로 확장시킨 것이다.

2 정의

[math]V[/math]가 복소수체 [math]F[/math] 위의 벡터공간일 때, 함수 [math]f:V \rightarrow \mathbb{R}[/math]가 다음을 모두 만족할 때,

복소수체 [math]F[/math]의 임의의 원소 [math]a[/math]와 벡터공간 [math]V[/math]의 임의의 원소 [math]\bold{u}, \bold{v}[/math]에 대하여

1. [math]f(a\bold{u}) = |a| \cdot f(\bold{u})[/math]
2. [math]f(\bold{u} + \bold{v}) \le f(\bold{u}) + f(\bold{v})[/math]
3. 만약 [math]f(\bold{u})=0[/math]이면 [math]\bold{u}[/math]는 영벡터이다.

이 함수 [math]f[/math]를 (V 위에서의) 노름(norm on V)라고 부른다.
이때, 노름을 나타내는 함수는 [math]f[/math]보다는 [math]\left\| \cdot \right\|[/math]로 표기하는 경우가 많다. 즉, [math]f(\bold{u}) = \left\| \bold{u} \right\|[/math] 로 표기.

3 성질

정의 문단의 3번에 의해, [math]f(\bold{0})=0[/math]이고, 1번에 의해 [math]f(-\bold{u}) = f(\bold{u})[/math]임을 쉽게 알 수 있으므로,
2번의 삼각부등식에 위 두 사실을 대입하면 [math]f(\bold{u}) \ge 0[/math] 임을 유도할 수 있다.

4 예시

4.1 절댓값 노름

우리가 흔히 알고 있는 a의 절댓값 [math]|a|[/math]은 1차원 유클리드 공간(=수직선)에서의 노름으로 볼 수 있다.
즉, [math]a \in \mathbb{R}[/math]에 대하여, [math]|a| = \left\| a \right\|[/math]이다.

4.2 유클리드 노름

n차원 유클리드 공간(=좌표평면)에서의 노름은 유클리드 노름(Euclidean norm)이라고 부르고 다음과 같이 정의한다.

[math]\displaystyle \left\|\bold{x}\right\| = \sqrt{{x_1}^2 + {x_2}^2 + \cdots + {x_n}^2} = \sqrt{ \sum_{k=1}^{n} {x_k}^2 }[/math]

어디서 많이 본 듯한 모양이라면 정답이다. 평면좌표(n=2)나 공간좌표(n=3)에서 원점과 점 [math]\bold{x} = \left( x_1, x_2, \cdots, x_n \right)[/math] 사이의 거리이다.

4.3 택시 노름

Taxicab norm. 다른 이름은 맨허튼 노름(Manhattan norm)으로, 다음과 같이 정의한다.

[math]\left\|\bold{x}\right\|_1 = |x_1| + |x_2| + \cdots + |x_n| = \sum_{k=1}^{n} {|x_k|}[/math]

덧붙여 설명하자면, (0, 0)에서 (1, 1)까지 움직이고 싶을 때 대각선으로 가로질러 가는 거리 유클리드 노름으로 계산하지만, 만약에 그 사이에 밑면의 한 변의 크기가 1인 정사각형 모양의 빌딩이 있고 田자 모양의 도로망이 있을 때에는 ㄱ자 형태로 가로 1, 세로 1만큼, 총 2의 거리를 가야 한다. 이 거리를 계산하는 방법이 택시 노름이다.

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