뉴튼-랩슨 법 문서 원본 보기

[include(틀:프로젝트 문서,프로젝트=나무위키 수학 프로젝트)]
Newton–Raphson method
[목차]
== 개요 ==
미분가능한 함수 <math>f:\left[a, b\right]\to\mathbb{R}</math>에 대해 x에 대한 방정식 <math>f\left(x\right)=0</math>의 근을 구하는 [[알고리듬]]

구간 <math>\left[a, b\right]</math>에서 임의로 원소 <math>x_0</math>를 택하고 다음과 같은 점화식을 정의한다.
 <math>\displaystyle x_{n}=x_{n-1}-\frac{f\left ( x_{n-1} \right )}{f'\left ( x_{n-1} \right )}</math>
그러면 특정 조건 하에서는 극한값 <math>\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n</math>이 존재하고 그 극한값이 방정식의 근이 된다.
== 예시 ==
1. <math>\sqrt{2}</math>의 근삿값 구하기

<math>\sqrt{2}</math>는 방정식 <math>{x}^{2}-2=0</math>의 한 근이다. <math>f\left ( x \right )=x^{2}-2</math>로 놓으면 <math>f'\left(x\right)=2x</math>이므로 점화식은 다음과 같다.
 <math>\displaystyle x_{n}=x_{n-1}-\frac{{x_{n-1}}^{2}-2}{2x_{n-1}}</math>
<math>x_0=2</math>라고 하면 다음과 같이 계산된다.
||<:>n||<:><math>x_n</math>||<:><math>{x_n}^2-2</math>||
||<:>0||<:>2||<:>2||
||<:>1||<:>1.5||<:>0.25||
||<:>2||<:>1.41666666666667||<:>0.0069444444||
||<:>3||<:>1.41421568627451||<:>6.00730488287127E-06||
||<:>4||<:>1.41421356237469||<:>4.51061410444709E-12||
 근에 빠른 속도로 수렴하는 것을 볼 수 있다.


2. <math>e^{x}-5x-13=0</math>의 근의 근삿값 구하기

<math>\begin{cases}f\left ( x \right )=e^{x}-5x-13 \\ f'\left ( x \right )= e^{x}-5\end{cases}</math>로 놓자.
그러면 점화식은 다음과 같다.
 <math>\displaystyle x_{n}=x_{n-1}-\frac{e^{x_{n-1}}-5x_{n-1}-13}{e^{x_{n-1}}-5}</math>
<math>x_0=2.5</math>라 하면
||<:>n||<:><math>x_n</math>||<:><math>\left|e^{x}-5x-13\right|</math>||
||<:>0||<:>2.5||<:>13.3175||
||<:>1||<:>4.3541618151241957988511789941322||<:>43.030776811062596188056120322497020||
||<:>2||<:>3.7630925920163304376431444439869738||<:>11.265990571927481514206244917402415032||
||<:>3||<:>3.4672532915952495618147864796317871818||<:>1.712326841620949317395497471413015541809||
||<:>4||<:>3.40394771327349450824407029106235922737880||<:>0.0628849509258462182263701163275309881038890||
||<:>5||<:>3.401440601093522986200834613223549883787152058||<:>0.00009446488073375744283276244278720823295292082||
||<:>6||<:>3.4014368236009392407427035232821017243471934192803||<:>2.14093549169697551824648081631141180381787×10^-10||
||<:>7||<:>3.40143682359237795898632530877173633488429622077225499||<:>1.0996964616094947860323883001994399×10^-21||
||<:>8||<:>3.401436823592377958986281333550199112038679107111090952638||<:>2.901424803461507×10^-44||
[[분류:해석학]]

== 주의할 점 ==
 * 초기값을 설정하는데 공을 들일 필요가 있다. 영 좋지 않은 초기값을 선택하면 근을 찾는데 많은 시간이 소모될 수 있음은 물론, 값이 수렴하지 않고 발산하는 경우도 생길 수 있다.