대칭군 문서 원본 보기

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 [[대칭군|대칭군(Symmetric group)]]이란 [[군]]의 일종으로, 어떤 집합 S에 대해 S에서 자기 자신으로 가는 '''일대일 대응 함수(bijective function)'''[* 고등학교 교과서에 나오는 그 일대일 대응 맞다, 전단사 함수라고도 한다] 들을 원소로 갖는 [[군]]이다. [[군]]이론에서 가장 기본이 되는 [[군]]이면서 중요한 [[군]]이므로 [[대수학]]을 공부할 학생이라면 대칭군의 성질을 잘 알아놓도록 하자 
~~모든 군은 치환군의 부분일 뿐~~

== 정의 ==
어떤 집합 <math>A</math>가 주어졌을 때, 그 집합 <math>A</math>의 [[치환]](transition)[* 자기자신으로의 일대일 대응 함수들을 치환이라고 한다]들로 만들어지는 것을 모두 모은것을 대칭군이라 한다. 


보다 자세한 대칭군의 성질을 논하자면 다음과 같다.

 * [[치환]]의 [[합성]]에 대해 [[군]]을 이룬다.[* 치환은 함수이므로, 치환함수의 합성을 군에서의 연산으로 대응시킬 수 있다 ]
 * [[치환]]의 [[합성]]에 대한 [[군론|항등원]]은 항등함수<math>i</math>[* 자기 자신으로의 항등함수, 즉 가만히 놔두는 연산]이다.
 * [[치환]]의 [[합성]]에 대한 [[군론|역원]]은 역함수이다.

집합 <math>A</math>에서 유도된 대칭군을 <math>S_{A}</math>와 같이 표현한다.[* S는 대칭군의 영어 표현인 symmetric group에서 따온 것이다.] 또 <math>\left|A\right|=n</math>이면 <math>S_{n}</math>으로 표현하고[* 어차피 두 집합이 서로 다를지라도 원소의 수만 똑같다면 유도되는 군은 같은 대칭군이다], "<math>n</math>차 대칭군"이라 부른다.

== 대칭군의 성질 ==

=== 대칭군의 직관적인 이해 ===
[[군]](Group) 문서에서 본것같이 모든 군은 어떤 수학적 대상의 "대칭 구조"에서 자연스럽게 나온 대상이다.~~어렵게 생각하지 말자~~

대칭군은 이 중에서도 가장 기본적인 수학적 대상인 집합에서 유도된 구조이고, 모든 수학적 구조는 집합 위에서 정의되므로~~카테고리는 생각하지 말자~~ 
모둔 [[군]]이 대칭군의 일부(부분군)으로 표현될 수 있다, 

예를들어서 정사각형에서 유도되는  [[군|이면군]]을 생각해보자
정사각형의 각 꼭지점을 오른쪽 꼭지점부터 반시계방향으로  <math>\left(1,2,3,4\right)</math>로 표현하면 돌려서 <math>\left(2,3,4,1\right)</math>과 같은 정사각형을 만들수 있지만 <math>\left(2,1,4,3\right)</math>과 같은 배열을 갖는 정사각형은 좌우를 뒤집어야만 만들 수 있다.
또한 아무리 뒤집거나 돌려서 <math>\left(1,3,2,4\right)</math>와 같은 배열은 만들 수 없다[* <math>1</math>과 <math>3</math>은 서로 대각선 관계에 있으므로 돌리거나 뒤집어서 옆에 오도록 만들 수 없다]

하지만 <math>\left(1,2,3,4\right)</math>를 단순히 점들의 집합으로 본다면 <math>\left(1,3,2,4\right)</math>같은것을 포함한 모든 배열이 가능하다.

즉, 모든 [[군|이면군]]은 대칭군의 부분군으로 생각할 수 있는것이다.
 
여기서 알 수 있듯, 대칭군은 어떠한 규칙도 없이 집합의 원소를 섞는 것으로 만들어진다는것을 알 수 있다.[* <math>1</math> 옆에 <math>2</math>, <math>2</math> 옆에 <math>3</math>, <math>3</math> 옆에 <math>4</math>, <math>4</math> 옆에 <math>1</math> 등의 규칙을 가지고 섞으면 이면군이 만들어진다]

일상생활에서 '''카드섞기''' 같은것을 생각해보면 카드를 섞는 것이 [[대칭군]] 구조를 가진다는것을 알 수 있다. [* 카드섞는것은 어떻게 섞여야한다는 규칙이 없으므로]

수학적 대상을 생각한다면 <math>n</math>-simplex(단체)에서 유도되는 군이 <math>S_{n}</math>, <math>A_{n}</math>임을 알 수 있다.

=== 대칭군 원소의 표기법 ===
위에 인수를, 아래에 치환된 결과를 적는 다음과 같은 방법을 쓴다.
{{{+3 <math>\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\5 & 1 & 3 & 2 & 4\end{array}\right)</math>}}}

==== 순환(cycle) ====
어떤 한 치환이 순환이라 함은, 변하는 원소들의 모임이 꼭 하나뿐인 것이다. 예를 들어보자. 위의 예에서 변하는 원소들의 모임은 <math>\left\{1,\,5,\,4,\,2\right\}</math>뿐이다. 따라서 순환이다. 그러나. <math>\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\2 & 1 & 3 & 5 & 4\end{array}\right)</math>에서 변하는 원소들의 모임은 <math>\left\{4,\,5\right\}</math>, <math>\left\{1,\,2\right\}</math>이므로 순환이 아니다.

모든 순환은 <math>\left(\begin{array}{cccc}1 & 5 & 4 & 2\end{array}\right)</math>와 같은 꼴로 표현될 수 있다. 이 표현이 나타내는 치환은, <math>1</math>를 <math>5</math>, <math>5</math>을 <math>4</math>, <math>4</math>를 <math>2</math>, <math>2</math>를 <math>1</math>을 교환하는 치환을 나타낸다. 나머지 원소는 그대로 둔다. 예를 더 들자면, <math>\left(\begin{array}{cc}2 & 3\end{array}\right)</math>은 <math>2</math>와 <math>3</math>을 맞교환한다.

이와 같은 표현에서 쓰인 원소의 갯수를 순환의 길이라 한다. <math>\left(\begin{array}{ccccc}1 & 5 & 4 & 2\end{array}\right)</math>는 길이 4짜리 순환, <math>\left(\begin{array}{cc}2 & 3\end{array}\right)</math>은 길이 2짜리 순환이다. 또한, 이런 표현에 쓰이는 원소가 겹치지 않는 두 순환을 서로소라 한다. 모든 치환은 서로소인 치환들의 곱으로 표현된다.

=== 호환(tranposition)과 짝치환 홀치환 ===
<math>\left(\begin{array}{cc}2 & 3\end{array}\right)</math>와 같이 두 원소를 맞교환하는 치환[* 달리 말해, 길이 2짜리 순환 ]을 호환이라 한다. 모든 치환은 호환들의 곱으로 표현된다. 단, 이 표현은 유일하진 않다.[* 항등치환은 <math>\left(\begin{array}{cc}2 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2 & 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1 & 2\end{array}\right)</math>이다. ] 그러나, 여기서도 표현에 필요한 호환의 갯수의 기우성은 일정하다. 즉, 3개의 호환으로 표현되는 치환은 2개의 치환으로는 표현될 수 없다. 따라서, 치환에 기우성을 부여할 수 있고, 짝수개의 호환들의 곱으로 표현되는 치환을 짝치환이라 한다.

=== 교대군 ===
<math>S_{n}</math>에서 짝치환을 꼽으면 군을 이루는데, 이를 교대군이라 하며 <math>A_{n}</math>로 표시한다 <math>n\ge 5</math>일 때, 단순군이다.

자세한 사항은 추가바람

=== 기본적인 유한 대칭군의 성질 ===
<math>S_{n}</math>에 대해[* 세번째 것은 예외 ],
 *원소의 갯수는 <math>n!</math>개이다. (<math>n</math>개 원소를 나열하는 갯수가 n!개이므로 자명하다)
 * [[정규부분군]]은 자기 자신과 <math>\left\{i\right\}</math>, 교대군<math>A_{n}</math> [* 짝치환들로만 이루어진 [[군]]] 뿐이다.
 * [[치환#s-2.2.1|짝치환]]의 개수와 [[치환#s-2.2.1|홀치환]]의 개수는 같다.[* 증명은 매우 쉽다. 짝치환에 임의의 호환 하나만 합성하면 홀치환이 되고, 이것에 다시 같은 호환을 합성하면 짝치환이 되는 것을 이용한다.(물논, 같은 쪽에 합성해야지.)] 즉, 둘의 개수는 모두 <math>n!/2</math>이다.
 * <math>A_{n}</math>의 모든 원소는 3-순회치환[[치환#s-1]]의 곱으로 표현된다.
 * <math>n\ge 5</math>에 대해, <math>A_{n}</math>은 단순군이다.[* <math>\left\{i,\,\left(12\right)\left(34\right),\,\left(13\right)\left(24\right),\,\left(14\right)\left(23\right)\right\}=V_{4}\vartriangleleft A_{4}</math> ]
 * [[치환#s-2.2.1|호환]][* 두개의 원소만 바꾸는 연산]의 역원은 자기 자신이다. 
 * [[서로소]] [* 치환에서 서로소라 함은 바뀌는 원소가 겹치지 않는 것을 의미한다. 가령, <math>\left(12345\right)\mapsto\left(21345\right)</math>와 <math>\left(12345\right)\mapsto\left(12354\right)</math>는 서로소이다.]인 두 치환은 교환적이다.
 * <math>n\ge3</math>이면 비가환군이다.
 * '''모든 군은 치환군의 부분군이다'''[* 다음에 소개되는 정리의 따름 정리인 듯 보이지만, 오히려 그 반대이다. 즉, 후자를 증명하는 데에 이것이 필요하다. ]
 * '''모든 군은 교대군의 부분군이다'''


[[추가바람]]