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대칭군

대칭군(Symmetric group)이란 의 일종으로, 어떤 집합 S에 대해 S에서 자기 자신으로 가는 일대일 대응 함수(bijective function)[1] 들을 원소로 갖는 이다. 이론에서 가장 기본이 되는 이면서 중요한 이므로 대수학을 공부할 학생이라면 대칭군의 성질을 잘 알아놓도록 하자

모든 군은 치환군의 부분일 뿐

1 정의

어떤 집합 A가 주어졌을 때, 그 집합 A치환(transition)[2]들로 만들어지는 것을 모두 모은것을 대칭군이라 한다.


보다 자세한 대칭군의 성질을 논하자면 다음과 같다.

집합 A에서 유도된 대칭군을 SA와 같이 표현한다.[5]|A|=n이면 Sn으로 표현하고[6], "n차 대칭군"이라 부른다.

2 대칭군의 성질

2.1 대칭군의 직관적인 이해

(Group) 문서에서 본것같이 모든 군은 어떤 수학적 대상의 "대칭 구조"에서 자연스럽게 나온 대상이다.어렵게 생각하지 말자

대칭군은 이 중에서도 가장 기본적인 수학적 대상인 집합에서 유도된 구조이고, 모든 수학적 구조는 집합 위에서 정의되므로카테고리는 생각하지 말자
모둔 이 대칭군의 일부(부분군)으로 표현될 수 있다,

예를들어서 정사각형에서 유도되는 이면군을 생각해보자
정사각형의 각 꼭지점을 오른쪽 꼭지점부터 반시계방향으로 (1,2,3,4)로 표현하면 돌려서 (2,3,4,1)과 같은 정사각형을 만들수 있지만 (2,1,4,3)과 같은 배열을 갖는 정사각형은 좌우를 뒤집어야만 만들 수 있다.
또한 아무리 뒤집거나 돌려서 (1,3,2,4)와 같은 배열은 만들 수 없다[7]

하지만 (1,2,3,4)를 단순히 점들의 집합으로 본다면 (1,3,2,4)같은것을 포함한 모든 배열이 가능하다.

즉, 모든 이면군은 대칭군의 부분군으로 생각할 수 있는것이다.

여기서 알 수 있듯, 대칭군은 어떠한 규칙도 없이 집합의 원소를 섞는 것으로 만들어진다는것을 알 수 있다.[8]

일상생활에서 카드섞기 같은것을 생각해보면 카드를 섞는 것이 대칭군 구조를 가진다는것을 알 수 있다. [9]

수학적 대상을 생각한다면 n-simplex(단체)에서 유도되는 군이 Sn, An임을 알 수 있다.

2.2 대칭군 원소의 표기법

위에 인수를, 아래에 치환된 결과를 적는 다음과 같은 방법을 쓴다.
(1234551324)

2.2.1 순환(cycle)

어떤 한 치환이 순환이라 함은, 변하는 원소들의 모임이 꼭 하나뿐인 것이다. 예를 들어보자. 위의 예에서 변하는 원소들의 모임은 {1,5,4,2}뿐이다. 따라서 순환이다. 그러나. (1234521354)에서 변하는 원소들의 모임은 {4,5}, {1,2}이므로 순환이 아니다.

모든 순환은 (1542)와 같은 꼴로 표현될 수 있다. 이 표현이 나타내는 치환은, 15, 54, 42, 21을 교환하는 치환을 나타낸다. 나머지 원소는 그대로 둔다. 예를 더 들자면, (23)23을 맞교환한다.

이와 같은 표현에서 쓰인 원소의 갯수를 순환의 길이라 한다. (1542)는 길이 4짜리 순환, (23)은 길이 2짜리 순환이다. 또한, 이런 표현에 쓰이는 원소가 겹치지 않는 두 순환을 서로소라 한다. 모든 치환은 서로소인 치환들의 곱으로 표현된다.

2.3 호환(tranposition)과 짝치환 홀치환

(23)와 같이 두 원소를 맞교환하는 치환[10]을 호환이라 한다. 모든 치환은 호환들의 곱으로 표현된다. 단, 이 표현은 유일하진 않다.[11] 그러나, 여기서도 표현에 필요한 호환의 갯수의 기우성은 일정하다. 즉, 3개의 호환으로 표현되는 치환은 2개의 치환으로는 표현될 수 없다. 따라서, 치환에 기우성을 부여할 수 있고, 짝수개의 호환들의 곱으로 표현되는 치환을 짝치환이라 한다.

2.4 교대군

Sn에서 짝치환을 꼽으면 군을 이루는데, 이를 교대군이라 하며 An로 표시한다 n5일 때, 단순군이다.

자세한 사항은 추가바람

2.5 기본적인 유한 대칭군의 성질

Sn에 대해[12],

  • 원소의 갯수는 n!개이다. (n개 원소를 나열하는 갯수가 n!개이므로 자명하다)
  • 정규부분군은 자기 자신과 {i}, 교대군An [13] 뿐이다.
  • 짝치환의 개수와 홀치환의 개수는 같다.[14] 즉, 둘의 개수는 모두 n!/2이다.
  • An의 모든 원소는 3-순회치환치환#s-1의 곱으로 표현된다.
  • n5에 대해, An은 단순군이다.[15]
  • 호환[16]의 역원은 자기 자신이다.
  • 서로소 [17]인 두 치환은 교환적이다.
  • n3이면 비가환군이다.
  • 모든 군은 치환군의 부분군이다[18]
  • 모든 군은 교대군의 부분군이다
추가바람
  1. 이동 고등학교 교과서에 나오는 그 일대일 대응 맞다, 전단사 함수라고도 한다
  2. 이동 자기자신으로의 일대일 대응 함수들을 치환이라고 한다
  3. 이동 치환은 함수이므로, 치환함수의 합성을 군에서의 연산으로 대응시킬 수 있다
  4. 이동 자기 자신으로의 항등함수, 즉 가만히 놔두는 연산
  5. 이동 S는 대칭군의 영어 표현인 symmetric group에서 따온 것이다.
  6. 이동 어차피 두 집합이 서로 다를지라도 원소의 수만 똑같다면 유도되는 군은 같은 대칭군이다
  7. 이동 13은 서로 대각선 관계에 있으므로 돌리거나 뒤집어서 옆에 오도록 만들 수 없다
  8. 이동 1 옆에 2, 2 옆에 3, 3 옆에 4, 4 옆에 1 등의 규칙을 가지고 섞으면 이면군이 만들어진다
  9. 이동 카드섞는것은 어떻게 섞여야한다는 규칙이 없으므로
  10. 이동 달리 말해, 길이 2짜리 순환
  11. 이동 항등치환은 (23)(23)=(12)(12)이다.
  12. 이동 세번째 것은 예외
  13. 이동 짝치환들로만 이루어진
  14. 이동 증명은 매우 쉽다. 짝치환에 임의의 호환 하나만 합성하면 홀치환이 되고, 이것에 다시 같은 호환을 합성하면 짝치환이 되는 것을 이용한다.(물논, 같은 쪽에 합성해야지.)
  15. 이동 {i,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}=V4
  16. 이동 두개의 원소만 바꾸는 연산
  17. 이동 치환에서 서로소라 함은 바뀌는 원소가 겹치지 않는 것을 의미한다. 가령, \left(12345\right)\mapsto\left(21345\right)\left(12345\right)\mapsto\left(12354\right)는 서로소이다.
  18. 이동 다음에 소개되는 정리의 따름 정리인 듯 보이지만, 오히려 그 반대이다. 즉, 후자를 증명하는 데에 이것이 필요하다.