대칭군

대칭군(Symmetric group)이란 군의 일종으로, 어떤 집합 S에 대해 S에서 자기 자신으로 가는 일대일 대응 함수(bijective function)[1] 들을 원소로 갖는 군이다. 군이론에서 가장 기본이 되는 군이면서 중요한 군이므로 대수학을 공부할 학생이라면 대칭군의 성질을 잘 알아놓도록 하자

모든 군은 치환군의 부분일 뿐

1 정의

어떤 집합 [math]A[/math]가 주어졌을 때, 그 집합 [math]A[/math]의 치환(transition)[2]들로 만들어지는 것을 모두 모은것을 대칭군이라 한다.


보다 자세한 대칭군의 성질을 논하자면 다음과 같다.

집합 [math]A[/math]에서 유도된 대칭군을 [math]S_{A}[/math]와 같이 표현한다.[5] 또 [math]\left|A\right|=n[/math]이면 [math]S_{n}[/math]으로 표현하고[6], "[math]n[/math]차 대칭군"이라 부른다.

2 대칭군의 성질

2.1 대칭군의 직관적인 이해

군(Group) 문서에서 본것같이 모든 군은 어떤 수학적 대상의 "대칭 구조"에서 자연스럽게 나온 대상이다.어렵게 생각하지 말자

대칭군은 이 중에서도 가장 기본적인 수학적 대상인 집합에서 유도된 구조이고, 모든 수학적 구조는 집합 위에서 정의되므로카테고리는 생각하지 말자
모둔 군이 대칭군의 일부(부분군)으로 표현될 수 있다,

예를들어서 정사각형에서 유도되는 이면군을 생각해보자
정사각형의 각 꼭지점을 오른쪽 꼭지점부터 반시계방향으로 [math]\left(1,2,3,4\right)[/math]로 표현하면 돌려서 [math]\left(2,3,4,1\right)[/math]과 같은 정사각형을 만들수 있지만 [math]\left(2,1,4,3\right)[/math]과 같은 배열을 갖는 정사각형은 좌우를 뒤집어야만 만들 수 있다.
또한 아무리 뒤집거나 돌려서 [math]\left(1,3,2,4\right)[/math]와 같은 배열은 만들 수 없다[7]

하지만 [math]\left(1,2,3,4\right)[/math]를 단순히 점들의 집합으로 본다면 [math]\left(1,3,2,4\right)[/math]같은것을 포함한 모든 배열이 가능하다.

즉, 모든 이면군은 대칭군의 부분군으로 생각할 수 있는것이다.

여기서 알 수 있듯, 대칭군은 어떠한 규칙도 없이 집합의 원소를 섞는 것으로 만들어진다는것을 알 수 있다.[8]

일상생활에서 카드섞기 같은것을 생각해보면 카드를 섞는 것이 대칭군 구조를 가진다는것을 알 수 있다. [9]

수학적 대상을 생각한다면 [math]n[/math]-simplex(단체)에서 유도되는 군이 [math]S_{n}[/math], [math]A_{n}[/math]임을 알 수 있다.

2.2 대칭군 원소의 표기법

위에 인수를, 아래에 치환된 결과를 적는 다음과 같은 방법을 쓴다.
[math]\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\5 & 1 & 3 & 2 & 4\end{array}\right)[/math]

2.2.1 순환(cycle)

어떤 한 치환이 순환이라 함은, 변하는 원소들의 모임이 꼭 하나뿐인 것이다. 예를 들어보자. 위의 예에서 변하는 원소들의 모임은 [math]\left\{1,\,5,\,4,\,2\right\}[/math]뿐이다. 따라서 순환이다. 그러나. [math]\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\2 & 1 & 3 & 5 & 4\end{array}\right)[/math]에서 변하는 원소들의 모임은 [math]\left\{4,\,5\right\}[/math], [math]\left\{1,\,2\right\}[/math]이므로 순환이 아니다.

모든 순환은 [math]\left(\begin{array}{cccc}1 & 5 & 4 & 2\end{array}\right)[/math]와 같은 꼴로 표현될 수 있다. 이 표현이 나타내는 치환은, [math]1[/math]를 [math]5[/math], [math]5[/math]을 [math]4[/math], [math]4[/math]를 [math]2[/math], [math]2[/math]를 [math]1[/math]을 교환하는 치환을 나타낸다. 나머지 원소는 그대로 둔다. 예를 더 들자면, [math]\left(\begin{array}{cc}2 & 3\end{array}\right)[/math]은 [math]2[/math]와 [math]3[/math]을 맞교환한다.

이와 같은 표현에서 쓰인 원소의 갯수를 순환의 길이라 한다. [math]\left(\begin{array}{ccccc}1 & 5 & 4 & 2\end{array}\right)[/math]는 길이 4짜리 순환, [math]\left(\begin{array}{cc}2 & 3\end{array}\right)[/math]은 길이 2짜리 순환이다. 또한, 이런 표현에 쓰이는 원소가 겹치지 않는 두 순환을 서로소라 한다. 모든 치환은 서로소인 치환들의 곱으로 표현된다.

2.3 호환(tranposition)과 짝치환 홀치환

[math]\left(\begin{array}{cc}2 & 3\end{array}\right)[/math]와 같이 두 원소를 맞교환하는 치환[10]을 호환이라 한다. 모든 치환은 호환들의 곱으로 표현된다. 단, 이 표현은 유일하진 않다.[11] 그러나, 여기서도 표현에 필요한 호환의 갯수의 기우성은 일정하다. 즉, 3개의 호환으로 표현되는 치환은 2개의 치환으로는 표현될 수 없다. 따라서, 치환에 기우성을 부여할 수 있고, 짝수개의 호환들의 곱으로 표현되는 치환을 짝치환이라 한다.

2.4 교대군

[math]S_{n}[/math]에서 짝치환을 꼽으면 군을 이루는데, 이를 교대군이라 하며 [math]A_{n}[/math]로 표시한다 [math]n\ge 5[/math]일 때, 단순군이다.

자세한 사항은 추가바람

2.5 기본적인 유한 대칭군의 성질

[math]S_{n}[/math]에 대해[12],

  • 원소의 갯수는 [math]n![/math]개이다. ([math]n[/math]개 원소를 나열하는 갯수가 n!개이므로 자명하다)
  • 정규부분군은 자기 자신과 [math]\left\{i\right\}[/math], 교대군[math]A_{n}[/math] [13] 뿐이다.
  • 짝치환의 개수와 홀치환의 개수는 같다.[14] 즉, 둘의 개수는 모두 [math]n!/2[/math]이다.
  • [math]A_{n}[/math]의 모든 원소는 3-순회치환치환#s-1의 곱으로 표현된다.
  • [math]n\ge 5[/math]에 대해, [math]A_{n}[/math]은 단순군이다.[15]
  • 호환[16]의 역원은 자기 자신이다.
  • 서로소 [17]인 두 치환은 교환적이다.
  • [math]n\ge3[/math]이면 비가환군이다.
  • 모든 군은 치환군의 부분군이다[18]
  • 모든 군은 교대군의 부분군이다
추가바람
  1. ↑ 고등학교 교과서에 나오는 그 일대일 대응 맞다, 전단사 함수라고도 한다
  2. ↑ 자기자신으로의 일대일 대응 함수들을 치환이라고 한다
  3. ↑ 치환은 함수이므로, 치환함수의 합성을 군에서의 연산으로 대응시킬 수 있다
  4. ↑ 자기 자신으로의 항등함수, 즉 가만히 놔두는 연산
  5. ↑ S는 대칭군의 영어 표현인 symmetric group에서 따온 것이다.
  6. ↑ 어차피 두 집합이 서로 다를지라도 원소의 수만 똑같다면 유도되는 군은 같은 대칭군이다
  7. ↑ [math]1[/math]과 [math]3[/math]은 서로 대각선 관계에 있으므로 돌리거나 뒤집어서 옆에 오도록 만들 수 없다
  8. ↑ [math]1[/math] 옆에 [math]2[/math], [math]2[/math] 옆에 [math]3[/math], [math]3[/math] 옆에 [math]4[/math], [math]4[/math] 옆에 [math]1[/math] 등의 규칙을 가지고 섞으면 이면군이 만들어진다
  9. ↑ 카드섞는것은 어떻게 섞여야한다는 규칙이 없으므로
  10. ↑ 달리 말해, 길이 2짜리 순환
  11. ↑ 항등치환은 [math]\left(\begin{array}{cc}2 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2 & 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1 & 2\end{array}\right)[/math]이다.
  12. ↑ 세번째 것은 예외
  13. ↑ 짝치환들로만 이루어진 군
  14. ↑ 증명은 매우 쉽다. 짝치환에 임의의 호환 하나만 합성하면 홀치환이 되고, 이것에 다시 같은 호환을 합성하면 짝치환이 되는 것을 이용한다.(물논, 같은 쪽에 합성해야지.)
  15. ↑ [math]\left\{i,\,\left(12\right)\left(34\right),\,\left(13\right)\left(24\right),\,\left(14\right)\left(23\right)\right\}=V_{4}\vartriangleleft A_{4}[/math]
  16. ↑ 두개의 원소만 바꾸는 연산
  17. ↑ 치환에서 서로소라 함은 바뀌는 원소가 겹치지 않는 것을 의미한다. 가령, [math]\left(12345\right)\mapsto\left(21345\right)[/math]와 [math]\left(12345\right)\mapsto\left(12354\right)[/math]는 서로소이다.
  18. ↑ 다음에 소개되는 정리의 따름 정리인 듯 보이지만, 오히려 그 반대이다. 즉, 후자를 증명하는 데에 이것이 필요하다.