등가속도 운동 문서 원본 보기

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*관련 항목:[[등속 원운동]],[[등속직선운동]]
[목차]


== 개요 ==
가속도가 일정한 운동을 등가속도 운동이라고 한다. [[원운동]]과 함께 물체의 운동을 기술할 때 많이 나타나는 운동이기에 별도의 항목에서 서술한다.
주변에서 볼 수 있는 많은 운동은 가속도가 일정한 상황으로 가정할 수 있다. 자동차나 열차의 가감속이나, 엘리베이터의 상하운동, 허공에서 떨어지는 물체나 추사체, 공의 낙하운동이 그것이다.

== 직선 상의 운동 ==
직선 상에서는 위치를 나타내는 변수가 하나이며, 속도와 가속도 역시 한 가지 값인 스칼라로 다룰 수 있다.
=== 등가속도 운동 공식 ===
이 등가속도 운동의 경우 유용하게 사용할 수 있는 공식들이 있다. 다만 생각없이 이런 공식에 넣고 돌리다보면 틀리기 쉽다. 중요한 건 맞닥뜨린 문제가 무엇인지를 잡아내고 나갈 방향을 판단하는 물리적 직관이지, 수식을 외우는 게 아니라는 것.[* 물론 [[수학]]적인 완벽함이나 수학적인 미(…)를 추구하는 것은 미덕이다. 그러나 당연히 공식 암기는 그것과 배치되는 악덕이다……. 뭐 대학을 가든 실험실에 들어가든 당면한 문제를 빠르게 해결하려면 뭔가 외우긴 해야 하지만.] 그게 충분하다는 가정 하에서는 편의를 위해 외워도 좋긴 하다. 가급적이면 밑의 유도를 잘 읽고 직접 해보면서 ~~실생활~~문제를 푸는게 좋다.
 
 * {{{+1 <math>v=v_0+at</math>}}}
  * 속도 = 처음 속도 + 가속도×시간
 * {{{+1 <math>\displaystyle x=x_0+\frac{1}{2}(v_0+v)t </math>}}}
  * 변위는 걸린 시간과 평균 속도의 곱
 * {{{+1 <math>\displaystyle x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2</math>}}}
  * 위치 = 처음 위치 + 처음 속도×시간 + ½×가속도×시간의 제곱
  * 일반적인 공식. 처음 속도와 가속도를 알고 있으면 변위를 알 수 있다.
 * {{{+1 <math>\displaystyle x=x_0+vt-\frac{1}{2}at^2</math>}}}
  * 이 공식은 반대로 나중 속도를 알고 있을 때 쓸 수 있다.
 * {{{+1 <math>v^2-v_0^2=2as</math>}}}
  * 속력의 제곱 － 처음 속력의 제곱 = 2×가속도×변위 [* 속도는 벡터이므로, 제곱은 그 크기(속력)의 제곱과 같다.]
  * 참고로 이 관계식은 [[운동에너지]]의 변화와 관련이 있다.

v는 [[속도]]이며, a는 가속도, t는 [[시간]]이고 s는 2번째 식에서는 위치, 3번째 식에서는 변위이다.
2번째 식의 경우, <math>\displaystyle s=v_0t+\frac{1}{2}at^2 </math>로 쓰는 경우도 있는데, <math> x-x_0 </math>를 변위 <math> s </math> 로 놓은 경우이다.
이 공식은 '''등가속도일때만''' 성립한다는 것에 주의하여야 한다. 일반적인 운동을 기술하려면 [[적분]]과 [[미분방정식]]을 알아야 가능하다. 이 공식들은 힘이 일정할 때에 대한 '''가장 간단한 [[미분방정식]]의 풀이일 뿐'''이다.

사실 위의 공식은 시간과 가속도의 정확한 정의만 알면 그래프나 [[미적분]]을 활용해 --퍽이나--쉽게 구할 수 있다.
=== 그래프를 통한 유도 ===
[[파일:등가속도 운동 그래프.png]]
위 그림은 등가속도 운동을 시간-속도 그래프로 나타낸 것이다. 속도가 시간의 일차함수이므로 그래프의 모양은 직선이다.
그림에서 연두색 영역(①+②+③)이 시간 <math>t_1</math>동안 움직인 변위이며, <math>v_1=v_0+at_1</math>이 성립한다.

맨 아래 주황색 선을 기준으로 자르면 ①+(②+③)
<math>\displaystyle s=v_0\cdot t_1+\frac{1}{2}\cdot t_1 \cdot at_1 = v_0t_1+\frac{1}{2}\cdot at_1^2</math>
맨 위 파란색 선을 기준으로 하여 ②+③을 뺄 수 있다.
<math>\displaystyle s=v_1\cdot t_1-\frac{1}{2}\cdot t_1 \cdot at_1 = v_1t_1-\frac{1}{2}\cdot at_1^2</math>
가운데 빨간색 선을 기준으로 할 수도 있다.
<math>\displaystyle s=\frac{v_0+v_1}{2}\cdot t_1 =  \frac{1}{2}(v_0+v_1)t_1</math>

이 관계식들은 시간과 속도가 <math>t_1,v_1</math>인 경우다. 일반적인 <math>t, v</math>로 다시 치환하면 위 공식 세 개가 도출된다.
=== 적분을 통한 유도 ===
> <math>v = v_0 + at</math>
 가속도의 정의에서, <math>\displaystyle a = {dv \over dt} </math>
 <math> dt </math> 를 양변에 곱해주자.
 <math> dv = adt </math> 이고, 양변을 0초부터 t초까지 적분한다.
 <math>\displaystyle \int_{v_0}^v dv = \int_0^t adt </math> 계산해주면,
 <math> v - v_0 = at </math> 정리하면,
 <math> v = v_0 + at </math>

> <math>\displaystyle s=s_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2</math>
 속도의 정의에서, <math>\displaystyle v = {ds \over dt} </math>
 위의 공식을 적용하면 <math>\displaystyle v = v_0+at = {ds \over dt} </math>
 <math> dt </math> 를 양변에 곱해주자.
 <math> ds = (v_0 + at)dt </math> 적분하면,
 <math>\displaystyle \int_{s_0}^s ds = \int_0^t (v_0 + at) dt </math> 계산하면,
 <math>\displaystyle s - s_0 = v_0t + {1 \over 2}at^2 </math> 정리하면,
 <math>\displaystyle s= s_0 + v_0t + {1 \over 2}at^2 </math>

> <math>v^2-v_0^2=2as</math>
 <math> s </math>를 변위 <math> s-s_0 </math>로 놓자. 그러면,
 <math>\displaystyle s = v_0t + {1 \over 2}at^2 </math> 이다.
 첫번째 공식을 변형하면,
 <math>\displaystyle t = {v-v_0 \over a} </math> 이다. <math> s </math>에 대입하자.
 <math>\displaystyle s = v_0{v-v_0 \over a}+{1 \over 2}a\left({v-v_0 \over a}\right)^2 </math>
 양변에 2a를 곱해 [[적절]]히 정리해 주면,
 <math> 2as = v^2 - v_0^2 </math>
 
위 유도 과정에서 <math> dt </math> 를 양변에 곱해주었다. 만약 이 과정이 심히 불쾌하다면(...) 양변을 t에 대해 적분해 주고 치환 적분법을 사용한 것으로 이해해도 좋다.

== 포물선 운동 ==
등가속도 운동을 2차원 이상으로 확장하면 포물선 모양이 그려진다. 이 경우 위치와 속도, 그리고 가속도가 [[벡터]]로 나타난다.
위 직선운동에서 나온 식들을 각각 <math>x, y, z</math> 좌표로 나누어서 생각할 수 있다.
우선 <math>x</math>방향 성분은 아래와 같이 써진다.
 * {{{+1 <math>v_x=v_{x0}+a_xt</math>}}}
 * {{{+1 <math>\displaystyle x=x_0+v_{x0}t+\frac{1}{2}a_xt^2</math>}}}
 * {{{+1 <math>v_x^2-v_{x0}^2=2a_x(x-x_0)</math>}}}
이는 <math>y, z</math>성분도 마찬가지로 적용된다. 이 세 성분을 하나로 묶어서 다음과 같이 나타낼 수 있다.
 * {{{+1 <math>\vec{v}=\vec{v_0}+\vec{a}t</math>}}}
 * {{{+1 <math>\displaystyle \vec{r}=\vec{r_0}+\vec{v_0}t+\frac{1}{2}\vec{a}t^2, \vec{r}=x\hat{\text{i}}+y\hat{\text{j}}+x\hat{\text{k}}</math>}}}
 * {{{+1 <math>|\vec{v}|^2-|\vec{v_0}|^2=2\vec{a}\cdot(\vec{r}-\vec{r_0})</math>}}}

=== 낙하운동 ===
평면이나 공간 상에서 등가속도 운동을 하는 대표적인 예로 투사체(projectile)의 낙하운동이 있다.
낙하운동의 경우 보통 평면 상에서 이루어지므로 두 좌표로 충분하다. <math>x</math>는 수평방향, <math>y</math>는 연직방향(위가 +, 아래가 -)으로 두면 아래와 같은 방정식이 세워진다. <math>g</math>는 중력가속도이다.
 * {{{+1 <math>x=x_0+v_{x0}t, v_x=v_{x0}=\text{const} </math>}}}
 * {{{+1 <math>v_y=v_{y0}-gt </math>}}}
 * {{{+1 <math>\displaystyle y=y_0+v_{y0}t-\frac{1}{2}gt^2 </math>}}}

사실 위와 같은 식 보다는 '''초기 __속력__과 발사각'''을 기준으로 많이 쓴다. 이는 투사체가 쏘아올려지는 순간 요구되는 [[운동에너지]]가 이 속력과 관계가 있기 때문이다. 그리고 발사각은 대포라든지, 던지는 손과 같은 주체가 조절하는 방향을 뜻한다. 위 식은 다시 아래와 같이 써진다. <math>v(=|\vec{v}|)</math>는 속력, <math>\theta</math>는 초기 발사각이다. 그리고 대개 편의상 시작점(<math>t=0</math>)을 원점(<math>x_0=y_0=0</math>)으로 잡는다.  
 * {{{+1 <math>v_{x0}=v\cos{\theta}, v_{y0}=v\sin{\theta} </math>}}}
 * {{{+1 <math>x=vt\cos{\theta} </math>}}}
 * {{{+1 <math>\displaystyle y=vt\sin{\theta}-\frac{1}{2}gt^2 </math>}}}

한편 시간에 따른 투사체의 위치보다 '''궤적의 모양'''에 초점을 맞추어서 서술할 때가 많다. 그리고 최대 상승 높이가 얼마인지, 최대 수평이동 거리를 구하고자 할 때도 있는데, 이 때 시간 <math>\displaystyle t\left(=\frac{x}{v\cos{\theta}}\right)</math>는 관심의 대상이 아니어서 소거하기도 한다.
그러면 위 세 번째 식은 아래와 같이 x와 y의 관계식으로 써진다.
>{{{+1 <math>\displaystyle y=x\tan{\theta}-\frac{g}{2v^2\cos^2{\theta}}x^2 </math>}}}

[include(틀:문서 가져옴, title=가속도, version=25)]