1 개요
가속도가 일정한 운동을 등가속도 운동이라고 한다. 원운동과 함께 물체의 운동을 기술할 때 많이 나타나는 운동이기에 별도의 항목에서 서술한다.
주변에서 볼 수 있는 많은 운동은 가속도가 일정한 상황으로 가정할 수 있다. 자동차나 열차의 가감속이나, 엘리베이터의 상하운동, 허공에서 떨어지는 물체나 추사체, 공의 낙하운동이 그것이다.
2 직선 상의 운동
직선 상에서는 위치를 나타내는 변수가 하나이며, 속도와 가속도 역시 한 가지 값인 스칼라로 다룰 수 있다.
2.1 등가속도 운동 공식
이 등가속도 운동의 경우 유용하게 사용할 수 있는 공식들이 있다. 다만 생각없이 이런 공식에 넣고 돌리다보면 틀리기 쉽다. 중요한 건 맞닥뜨린 문제가 무엇인지를 잡아내고 나갈 방향을 판단하는 물리적 직관이지, 수식을 외우는 게 아니라는 것.[1] 그게 충분하다는 가정 하에서는 편의를 위해 외워도 좋긴 하다. 가급적이면 밑의 유도를 잘 읽고 직접 해보면서 실생활문제를 푸는게 좋다.
- [math]v=v_0+at[/math]
- 속도 = 처음 속도 + 가속도×시간
- [math]\displaystyle x=x_0+\frac{1}{2}(v_0+v)t [/math]
- 변위는 걸린 시간과 평균 속도의 곱
- [math]\displaystyle x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2[/math]
- 위치 = 처음 위치 + 처음 속도×시간 + ½×가속도×시간의 제곱
- 일반적인 공식. 처음 속도와 가속도를 알고 있으면 변위를 알 수 있다.
- [math]\displaystyle x=x_0+vt-\frac{1}{2}at^2[/math]
- 이 공식은 반대로 나중 속도를 알고 있을 때 쓸 수 있다.
- [math]v^2-v_0^2=2as[/math]
v는 속도이며, a는 가속도, t는 시간이고 s는 2번째 식에서는 위치, 3번째 식에서는 변위이다.
2번째 식의 경우, [math]\displaystyle s=v_0t+\frac{1}{2}at^2 [/math]로 쓰는 경우도 있는데, [math] x-x_0 [/math]를 변위 [math] s [/math] 로 놓은 경우이다.
이 공식은 등가속도일때만 성립한다는 것에 주의하여야 한다. 일반적인 운동을 기술하려면 적분과 미분방정식을 알아야 가능하다. 이 공식들은 힘이 일정할 때에 대한 가장 간단한 미분방정식의 풀이일 뿐이다.
사실 위의 공식은 시간과 가속도의 정확한 정의만 알면 그래프나 미적분을 활용해 퍽이나쉽게 구할 수 있다.
2.2 그래프를 통한 유도
파일:등가속도 운동 그래프.png
위 그림은 등가속도 운동을 시간-속도 그래프로 나타낸 것이다. 속도가 시간의 일차함수이므로 그래프의 모양은 직선이다.
그림에서 연두색 영역(①+②+③)이 시간 [math]t_1[/math]동안 움직인 변위이며, [math]v_1=v_0+at_1[/math]이 성립한다.
맨 아래 주황색 선을 기준으로 자르면 ①+(②+③)
[math]\displaystyle s=v_0\cdot t_1+\frac{1}{2}\cdot t_1 \cdot at_1 = v_0t_1+\frac{1}{2}\cdot at_1^2[/math]
맨 위 파란색 선을 기준으로 하여 ②+③을 뺄 수 있다.
[math]\displaystyle s=v_1\cdot t_1-\frac{1}{2}\cdot t_1 \cdot at_1 = v_1t_1-\frac{1}{2}\cdot at_1^2[/math]
가운데 빨간색 선을 기준으로 할 수도 있다.
[math]\displaystyle s=\frac{v_0+v_1}{2}\cdot t_1 = \frac{1}{2}(v_0+v_1)t_1[/math]
이 관계식들은 시간과 속도가 [math]t_1,v_1[/math]인 경우다. 일반적인 [math]t, v[/math]로 다시 치환하면 위 공식 세 개가 도출된다.
2.3 적분을 통한 유도
[math]v = v_0 + at[/math]
- 가속도의 정의에서, [math]\displaystyle a = {dv \over dt} [/math]
- [math] dt [/math] 를 양변에 곱해주자.
- [math] dv = adt [/math] 이고, 양변을 0초부터 t초까지 적분한다.
- [math]\displaystyle \int_{v_0}^v dv = \int_0^t adt [/math] 계산해주면,
- [math] v - v_0 = at [/math] 정리하면,
- [math] v = v_0 + at [/math]
[math]\displaystyle s=s_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2[/math]
- 속도의 정의에서, [math]\displaystyle v = {ds \over dt} [/math]
- 위의 공식을 적용하면 [math]\displaystyle v = v_0+at = {ds \over dt} [/math]
- [math] dt [/math] 를 양변에 곱해주자.
- [math] ds = (v_0 + at)dt [/math] 적분하면,
- [math]\displaystyle \int_{s_0}^s ds = \int_0^t (v_0 + at) dt [/math] 계산하면,
- [math]\displaystyle s - s_0 = v_0t + {1 \over 2}at^2 [/math] 정리하면,
- [math]\displaystyle s= s_0 + v_0t + {1 \over 2}at^2 [/math]
[math]v^2-v_0^2=2as[/math]
- [math] s [/math]를 변위 [math] s-s_0 [/math]로 놓자. 그러면,
- [math]\displaystyle s = v_0t + {1 \over 2}at^2 [/math] 이다.
- 첫번째 공식을 변형하면,
- [math]\displaystyle t = {v-v_0 \over a} [/math] 이다. [math] s [/math]에 대입하자.
- [math]\displaystyle s = v_0{v-v_0 \over a}+{1 \over 2}a\left({v-v_0 \over a}\right)^2 [/math]
- 양변에 2a를 곱해 적절히 정리해 주면,
- [math] 2as = v^2 - v_0^2 [/math]
위 유도 과정에서 [math] dt [/math] 를 양변에 곱해주었다. 만약 이 과정이 심히 불쾌하다면(...) 양변을 t에 대해 적분해 주고 치환 적분법을 사용한 것으로 이해해도 좋다.
3 포물선 운동
등가속도 운동을 2차원 이상으로 확장하면 포물선 모양이 그려진다. 이 경우 위치와 속도, 그리고 가속도가 벡터로 나타난다.
위 직선운동에서 나온 식들을 각각 [math]x, y, z[/math] 좌표로 나누어서 생각할 수 있다.
우선 [math]x[/math]방향 성분은 아래와 같이 써진다.
- [math]v_x=v_{x0}+a_xt[/math]
- [math]\displaystyle x=x_0+v_{x0}t+\frac{1}{2}a_xt^2[/math]
- [math]v_x^2-v_{x0}^2=2a_x(x-x_0)[/math]
이는 [math]y, z[/math]성분도 마찬가지로 적용된다. 이 세 성분을 하나로 묶어서 다음과 같이 나타낼 수 있다.
- [math]\vec{v}=\vec{v_0}+\vec{a}t[/math]
- [math]\displaystyle \vec{r}=\vec{r_0}+\vec{v_0}t+\frac{1}{2}\vec{a}t^2, \vec{r}=x\hat{\text{i}}+y\hat{\text{j}}+x\hat{\text{k}}[/math]
- [math]|\vec{v}|^2-|\vec{v_0}|^2=2\vec{a}\cdot(\vec{r}-\vec{r_0})[/math]
3.1 낙하운동
평면이나 공간 상에서 등가속도 운동을 하는 대표적인 예로 투사체(projectile)의 낙하운동이 있다.
낙하운동의 경우 보통 평면 상에서 이루어지므로 두 좌표로 충분하다. [math]x[/math]는 수평방향, [math]y[/math]는 연직방향(위가 +, 아래가 -)으로 두면 아래와 같은 방정식이 세워진다. [math]g[/math]는 중력가속도이다.
- [math]x=x_0+v_{x0}t, v_x=v_{x0}=\text{const} [/math]
- [math]v_y=v_{y0}-gt [/math]
- [math]\displaystyle y=y_0+v_{y0}t-\frac{1}{2}gt^2 [/math]
사실 위와 같은 식 보다는 초기 속력과 발사각을 기준으로 많이 쓴다. 이는 투사체가 쏘아올려지는 순간 요구되는 운동에너지가 이 속력과 관계가 있기 때문이다. 그리고 발사각은 대포라든지, 던지는 손과 같은 주체가 조절하는 방향을 뜻한다. 위 식은 다시 아래와 같이 써진다. [math]v(=|\vec{v}|)[/math]는 속력, [math]\theta[/math]는 초기 발사각이다. 그리고 대개 편의상 시작점([math]t=0[/math])을 원점([math]x_0=y_0=0[/math])으로 잡는다.
- [math]v_{x0}=v\cos{\theta}, v_{y0}=v\sin{\theta} [/math]
- [math]x=vt\cos{\theta} [/math]
- [math]\displaystyle y=vt\sin{\theta}-\frac{1}{2}gt^2 [/math]
한편 시간에 따른 투사체의 위치보다 궤적의 모양에 초점을 맞추어서 서술할 때가 많다. 그리고 최대 상승 높이가 얼마인지, 최대 수평이동 거리를 구하고자 할 때도 있는데, 이 때 시간 [math]\displaystyle t\left(=\frac{x}{v\cos{\theta}}\right)[/math]는 관심의 대상이 아니어서 소거하기도 한다.
그러면 위 세 번째 식은 아래와 같이 x와 y의 관계식으로 써진다.
[math]\displaystyle y=x\tan{\theta}-\frac{g}{2v^2\cos^2{\theta}}x^2 [/math]
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