라플라스 변환 문서 원본 보기

 * [[수학 관련 정보]]

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[[라플라스]]가 1785년에 만든 함수 변환 기법.
{{{+1 <math>\displaystyle F\left(s\right)=\mathcal{L}\left\{ f\right\} \left(s\right)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f\left(t\right)dt</math>}}}[* 라플라스 변환을 나타내는 기호는 <math>\mathcal{L}</math>이다.]

== 개요 ==
간단하게 설명하자면 미분방정식을 다른 '공간'으로 변환시켜 더 단순하게 만든 후, 이를 풀어내는 기법. 미분방정식의 eigenvalue만 따서 계산하는 기법이라고 할 수 있다.

원래 라플라스 변환은 자연계의 운동들, 예를 들면 포락선(envelope)같은 감쇄현상을 설명하기 위해 고안된 개념이다. 위 공식에서 <math>s = \sigma+j\omega</math>라는 걸 생각해보자. <math>s</math>는 자연대수 <math>e</math>의 지수형태로 표현되어있는데, 이를 분리해서 보면 상수와 허수부로 분리할 수 있다. 상수부분은 감쇄를, 허수부는 오일러 공식에 의해 정현파[* 사인파와 코사인파를 생각하면 된다.]형태로 표현되게 된다. 이 실수부와 허수부를 곱하게 되면 감쇄하는 진동운동이 표현된다.[* 실수부를 <math>0</math>으로 만들면 [[푸리에 변환]]이 되는데, 이는 감쇄하지 않는 진동운동을 의미한다.]

변환 과정에 들어있는 자세한 수학적 증명 등을 제외하고 전체적인 개념을 설명하면

1. t-공간에서의 복잡한 미분 방정식
2. 1.의 방정식을 적절히(!?) 라플라스 변환
3. s-공간에서의 '''위 식보다는''' 간단한[* '''농담이 아니고 진짜로''' 간단하다. 위에서 주어진 식이 간단하면 라플라스 쓰지 말고 그냥 푸는 게 빠르다] 산술 방정식 혹은 미분방정식(1의 미분방정식보다는 간단하다.)
4. 3.의 해를 다시 적절히(!?) 라플라스 '''역'''변환
5. t-공간에서의 미분 방정식의 해

t-공간에서의 결과물을 얻기 위해, s-공간에서 무언가를 수행하는 방법 이라 하겠다.

하지만 이렇게 해서 풀 수 있는 것은 어디까지나 선형 미분방정식에 국한된다. 비선형 방정식은? 특별한 경우가 아닌 이상은 [[수치해석]]만 믿을 수밖에.

== 사용 ==
[[미분방정식]]은 그 차수가 높아질수록 그 문제의 해를 구하기란 거의 불가능 하기 때문에[* 당장 2차에서 3차로만 넘겨도 배는 넘게 어려워 진다. 멀리가지 말고 당장 sinx/x를 적분해보자...] 라플라스 변환은 [[미분방정식]]을 쉽게 풀기 위해 필요한 방법이다. 정확히 말하면 '일정 주기를 갖고 반복되는 함수형'일 경우 해를 사칙연산을 사용하여(!) 구할 수 있다. 반복되는 신호처리 등에 대단히 유용한 만큼, 공정제어나 전기신호 등의 표현에 필수적으로 사용된다. 이 목적을 위하여 원래함수 - 변환된함수를 세트로 모아놓은 표도 있다. 이름하여 라플라스 변환표. 표 안에 30개정도 있다.

보통 라플라스 변환을 배우면 다음에 나오는 물건은 [[푸리에 변환]]. 라플라스 변환과 매우 닮은 꼴이다. 편미분방정식으로 넘어가면 어지간해서는 이걸 쓰게 된다.

푸리에 변환과 다르게 라플라스 변환에선 일반화된 역변환을 배우지 않는데, 이는 복소변수함수를 알아야 하고 그다지 쓸 만하지 않아서이다. 하지만 나중에 요상한 함수의 역변환을 구할때 컴퓨터에 때려넣는 방식으로 쓰이긴 한다.

어짜피 나중에 [[MATLAB]]이라든가 컴퓨터 프로그램써서 계산하면 된다. 공대생들은 이거 배운다고 너무 스트레스 받지 않기를. 물론 상미분방정식 과목에서 선형미방 푸는 걸 하나도 못 알아먹었더라도 이것만 열심히 하면 어느 정도 학점을 메꿀 수 있다( ..)

[[화학공학과]] 등에서 배우는 '공정제어'과목의 필수적 내용이기도 하다.

== 구하는 방법 ==
만약에 당신이 수학과라면 변환과 역변환의 과정을 직접 계산해서 보여야 할 일이 많을 것이다. 이 문단에선 라플라스 변환 및 역변환에 관한 기술을 설명한다.

=== 일반적인 공식 ===
'''~~[[https://namu.wiki/w/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:%EB%9D%BC%ED%94%8C%EB%9D%BC%EC%8A%A4%20%EB%B3%80%ED%99%98.jpg|표를]]~~외운다''': 농담이 아니다! 설령 테이블이 주어진다고 해도 계산을 빨리 해야 할 경우 기본적인 변환 및 역변환은 암기해 두는것이 좋다. 특히 교수가 테이블을 주지 않는 경우에는... 물론 전부 외울 필요는 없고 중요한 몇 가지만 외우면 된다.
> {{{+1 <math>\displaystyle \mathcal{L}\left\{t^{n}\right\} = \frac{n!}{s^{n+1}}</math>}}}
> {{{+1 <math>\displaystyle \mathcal{L}\left\{e^{at}\right\} = \frac{1}{s-a}</math>}}}: <math> f(t)=1</math>의 변환된 함수를 a만큼 평행이동 시킨 것이다. {{{+1 <math>\displaystyle \mathcal{L}\left\{1\right\} = \frac{1}{s}</math>}}}, 3번 기술 참조
> {{{+1 <math>\displaystyle \mathcal{L}\left\{\sin\left(wt\right)\right\} = \frac{w}{s^2 + w^2}</math>}}}
> {{{+1 <math>\displaystyle \mathcal{L}\left\{\cos\left(wt\right)\right\} = \frac{s}{s^2 + w^2}</math>}}}

=== 함수와 다항식의 곱 ===
>{{{+1 <math>\mathcal{L}\left\{-tf\left(t\right)\right\} = F'\left(s\right)</math>}}}
>예시: {{{+1 <math>\displaystyle \mathcal{L}\left\{te^{at}\right\} = -\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s-a}\right) = \frac{1}{\left(s-a\right)^2}</math>}}}
증명
{{| <math>\displaystyle F\left(s\right) = \int_{0}^{\infty}e^{-st}f\left(t\right)dt</math> [br] <math>\displaystyle F'\left(s\right) = \int_{0}^{\infty} (-t)e^{-st} f(t) dt = \mathcal{L}\left\{-tf\left(t\right)\right\}</math> |}}

이를 일반화한 식은 다음과 같다. 증명은 생략. 
{{{+1 <math>\displaystyle \mathcal{L}\left\{t^{n} f(t)\right\} = (-1)^{n}\frac{d^{n}}{ds^{n}}F(s)</math>}}}

아래와 같이 변형할 수도 있다.
> {{{+1 <math>\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = f(t) = -\frac{1}{t}\mathcal{L}^{-1} \left\{ F'(s) \right\}</math>}}}
>예시: {{{+1 <math>\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\left\{\ln\left(1-\frac{a^2}{s^2}\right)\right\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{\ln\left(s^2-a^2\right)-2\ln s\right\} = -\frac{2}{t}-\frac{2\cosh\left(at\right)}{t}</math>}}}

=== 평행이동 ===
>{{{+1 <math>\displaystyle \mathcal{L}\left\{e^{at}f(t)\right\} = F(s-a)</math>}}}
>예시: {{{+1 <math>\displaystyle \mathcal{L}\left\{e^{at}\sin\left(wt\right)\right\} = \frac{w}{\left(s-a\right)^2 +w^2}</math>}}}
증명
{{| <math>\displaystyle \mathcal{L}\left\{e^{at}f(t)\right\} = \int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{at}f(t)dt = \int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)} f(t)dt = F(s-a)</math>|}}

=== 몫 형태 ===
>함수 <math>f(t)</math>의 라플라스 변환과 <math>\displaystyle \lim_{t \to 0}\frac{f\left(t\right)}{t}</math>가 존재하면
> {{{+1 <math>\displaystyle \mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t} \right\} = \int_{s}^{\infty} F(u)du </math>}}}
>예시: {{{+1 <math>\displaystyle \mathcal{L}\left\{\frac{\cos(at)-1}{t} \right\} = \int_{s}^{\infty}\frac{u}{u^2+a^2}-\frac{1}{u}du = -\ln\sqrt{1+\frac{a^2}{s^2}}</math>}}}[* <math>a\neq0</math>일경우. 또한 극한값이 존재한다는 것도 따로 보여야 한다]

증명
{{| <math>\displaystyle \int_{s}^{\infty} F(u)du = \int_{s}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-ut} f(t) dtdu = \int_{0}^{\infty} \int_{s}^{\infty}e^{-ut} f(t) dudt = \int_{0}^{\infty} f(t) \int_{s}^{\infty} e^{-ut} dudt = \int_{0}^{\infty}\frac{1}{t}e^{-st} f(t) dt = \mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\}</math>[* [[푸비니의 정리]]를 사용한다]|}}

=== 합성곱(Convolution) ===
함수 <math>f, g</math>가 주어졌을 때, Convolution <math>\left(f*g\right)\left(t\right)</math>를 <math>\displaystyle \int_{0}^{t}f\left(t-u\right)g\left(u\right)du</math>로 정의한다.

이 convolution은 몇 가지 성질이 있는데 다음과 같다.
 1. {{{+1 <math>f*0 = 0 = 0*f</math>}}} (영원)
 1. {{{+1 <math>f*g = g*f</math>}}} ([[교환법칙]])
 1. {{{+1 <math>f*(g+h) = f*g + f*h</math>}}} ([[분배법칙]])
 1. {{{+1 <math>f*(g*h) = (f*g)*h</math>}}} ([[결합법칙]])

특히 중요한 것은 아래 정리로, 라플라스 역변환을 할 때 자주 쓰인다.

>정리: {{{+1 <math>\mathcal{L}\left\{f*g\right\} = \mathcal{L}\left\{f\right\}\times \mathcal{L}\left\{g\right\}</math>}}}
>예시: {{{+1 <math>\displaystyle \frac{1}{\left(s^2+1\right)^2} = \mathcal{L}\left\{\sin t \right\}\times \mathcal{L}\left\{ \sin t \right\} = \mathcal{L}\left\{(\sin *\sin) t \right\}</math>}}}
>{{{+1 <math>\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left\{\frac{1}{ \left(s^2+1\right)^2} \right\} = \int_{0}^{t}\sin\left(t-u\right)\sin u du = \frac{\sin t-t\cos t}{2}</math>}}}
증명
{{|좌변 = <math>\displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-st}\int_{0}^{t} f(t-u) g(u) dudt = \int_{0}^{\infty}\int_{u}^{\infty}e^{-su}g(u) e^{-s(t-u)} f(t-u) dtdu = \int_{0}^{\infty}e^{-su}g(u) \int_{u}^{\infty}e^{-s(t-u)} f(t-u) dtdu</math> [* 적분 순서의 변경과 푸비니의 정리 사용] [br] <math>\xi = t-u</math>라 치환하면, <math>\displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-su} g(u) \int_{0}^{\infty}e^{-s\xi} f(\xi) d\xi du</math> = 우변|}}

[[분류:해석학]]