라플라스 변환

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라플라스가 1785년에 만든 함수 변환 기법.
[math]\displaystyle F\left(s\right)=\mathcal{L}\left\{ f\right\} \left(s\right)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f\left(t\right)dt[/math]

1 개요

간단하게 설명하자면 미분방정식을 다른 '공간'으로 변환시켜 더 단순하게 만든 후, 이를 풀어내는 기법. 미분방정식의 eigenvalue만 따서 계산하는 기법이라고 할 수 있다.

원래 라플라스 변환은 자연계의 운동들, 예를 들면 포락선(envelope)같은 감쇄현상을 설명하기 위해 고안된 개념이다. 위 공식에서 [math]s = \sigma+j\omega[/math]라는 걸 생각해보자. [math]s[/math]는 자연대수 [math]e[/math]의 지수형태로 표현되어있는데, 이를 분리해서 보면 상수와 허수부로 분리할 수 있다. 상수부분은 감쇄를, 허수부는 오일러 공식에 의해 정현파형태로 표현되게 된다. 이 실수부와 허수부를 곱하게 되면 감쇄하는 진동운동이 표현된다.

변환 과정에 들어있는 자세한 수학적 증명 등을 제외하고 전체적인 개념을 설명하면

1. t-공간에서의 복잡한 미분 방정식
2. 1.의 방정식을 적절히(!?) 라플라스 변환
3. s-공간에서의 위 식보다는 간단한 산술 방정식 혹은 미분방정식(1의 미분방정식보다는 간단하다.)
4. 3.의 해를 다시 적절히(!?) 라플라스 역변환
5. t-공간에서의 미분 방정식의 해

t-공간에서의 결과물을 얻기 위해, s-공간에서 무언가를 수행하는 방법 이라 하겠다.

하지만 이렇게 해서 풀 수 있는 것은 어디까지나 선형 미분방정식에 국한된다. 비선형 방정식은? 특별한 경우가 아닌 이상은 수치해석만 믿을 수밖에.

2 사용

미분방정식은 그 차수가 높아질수록 그 문제의 해를 구하기란 거의 불가능 하기 때문에 라플라스 변환은 미분방정식을 쉽게 풀기 위해 필요한 방법이다. 정확히 말하면 '일정 주기를 갖고 반복되는 함수형'일 경우 해를 사칙연산을 사용하여(!) 구할 수 있다. 반복되는 신호처리 등에 대단히 유용한 만큼, 공정제어나 전기신호 등의 표현에 필수적으로 사용된다. 이 목적을 위하여 원래함수 - 변환된함수를 세트로 모아놓은 표도 있다. 이름하여 라플라스 변환표. 표 안에 30개정도 있다.

보통 라플라스 변환을 배우면 다음에 나오는 물건은 푸리에 변환. 라플라스 변환과 매우 닮은 꼴이다. 편미분방정식으로 넘어가면 어지간해서는 이걸 쓰게 된다.

푸리에 변환과 다르게 라플라스 변환에선 일반화된 역변환을 배우지 않는데, 이는 복소변수함수를 알아야 하고 그다지 쓸 만하지 않아서이다. 하지만 나중에 요상한 함수의 역변환을 구할때 컴퓨터에 때려넣는 방식으로 쓰이긴 한다.

어짜피 나중에 MATLAB이라든가 컴퓨터 프로그램써서 계산하면 된다. 공대생들은 이거 배운다고 너무 스트레스 받지 않기를. 물론 상미분방정식 과목에서 선형미방 푸는 걸 하나도 못 알아먹었더라도 이것만 열심히 하면 어느 정도 학점을 메꿀 수 있다( ..)

화학공학과 등에서 배우는 '공정제어'과목의 필수적 내용이기도 하다.

3 구하는 방법

만약에 당신이 수학과라면 변환과 역변환의 과정을 직접 계산해서 보여야 할 일이 많을 것이다. 이 문단에선 라플라스 변환 및 역변환에 관한 기술을 설명한다.

3.1 일반적인 공식

표를외운다: 농담이 아니다! 설령 테이블이 주어진다고 해도 계산을 빨리 해야 할 경우 기본적인 변환 및 역변환은 암기해 두는것이 좋다. 특히 교수가 테이블을 주지 않는 경우에는... 물론 전부 외울 필요는 없고 중요한 몇 가지만 외우면 된다.

[math]\displaystyle \mathcal{L}\left\{t^{n}\right\} = \frac{n!}{s^{n+1}}[/math]

[math]\displaystyle \mathcal{L}\left\{e^{at}\right\} = \frac{1}{s-a}[/math]: [math] f(t)=1[/math]의 변환된 함수를 a만큼 평행이동 시킨 것이다. [math]\displaystyle \mathcal{L}\left\{1\right\} = \frac{1}{s}[/math], 3번 기술 참조
[math]\displaystyle \mathcal{L}\left\{\sin\left(wt\right)\right\} = \frac{w}{s^2 + w^2}[/math]
[math]\displaystyle \mathcal{L}\left\{\cos\left(wt\right)\right\} = \frac{s}{s^2 + w^2}[/math]

3.2 함수와 다항식의 곱

[math]\mathcal{L}\left\{-tf\left(t\right)\right\} = F'\left(s\right)[/math]

예시: [math]\displaystyle \mathcal{L}\left\{te^{at}\right\} = -\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s-a}\right) = \frac{1}{\left(s-a\right)^2}[/math]

증명

 [math]\displaystyle F\left(s\right) = \int_{0}^{\infty}e^{-st}f\left(t\right)dt[/math]
[math]\displaystyle F'\left(s\right) = \int_{0}^{\infty} (-t)e^{-st} f(t) dt = \mathcal{L}\left\{-tf\left(t\right)\right\}[/math]

이를 일반화한 식은 다음과 같다. 증명은 생략.
[math]\displaystyle \mathcal{L}\left\{t^{n} f(t)\right\} = (-1)^{n}\frac{d^{n}}{ds^{n}}F(s)[/math]

아래와 같이 변형할 수도 있다.

[math]\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = f(t) = -\frac{1}{t}\mathcal{L}^{-1} \left\{ F'(s) \right\}[/math]

예시: [math]\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\left\{\ln\left(1-\frac{a^2}{s^2}\right)\right\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{\ln\left(s^2-a^2\right)-2\ln s\right\} = -\frac{2}{t}-\frac{2\cosh\left(at\right)}{t}[/math]

3.3 평행이동

[math]\displaystyle \mathcal{L}\left\{e^{at}f(t)\right\} = F(s-a)[/math]

예시: [math]\displaystyle \mathcal{L}\left\{e^{at}\sin\left(wt\right)\right\} = \frac{w}{\left(s-a\right)^2 +w^2}[/math]

증명

 [math]\displaystyle \mathcal{L}\left\{e^{at}f(t)\right\} = \int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{at}f(t)dt = \int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)} f(t)dt = F(s-a)[/math]

3.4 몫 형태

함수 [math]f(t)[/math]의 라플라스 변환과 [math]\displaystyle \lim_{t \to 0}\frac{f\left(t\right)}{t}[/math]가 존재하면

[math]\displaystyle \mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t} \right\} = \int_{s}^{\infty} F(u)du [/math]
예시: [math]\displaystyle \mathcal{L}\left\{\frac{\cos(at)-1}{t} \right\} = \int_{s}^{\infty}\frac{u}{u^2+a^2}-\frac{1}{u}du = -\ln\sqrt{1+\frac{a^2}{s^2}}[/math]

증명

 [math]\displaystyle \int_{s}^{\infty} F(u)du = \int_{s}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-ut} f(t) dtdu = \int_{0}^{\infty} \int_{s}^{\infty}e^{-ut} f(t) dudt = \int_{0}^{\infty} f(t) \int_{s}^{\infty} e^{-ut} dudt = \int_{0}^{\infty}\frac{1}{t}e^{-st} f(t) dt = \mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\}[/math]

3.5 합성곱(Convolution)

함수 [math]f, g[/math]가 주어졌을 때, Convolution [math]\left(f*g\right)\left(t\right)[/math]를 [math]\displaystyle \int_{0}^{t}f\left(t-u\right)g\left(u\right)du[/math]로 정의한다.

이 convolution은 몇 가지 성질이 있는데 다음과 같다.

1. [math]f*0 = 0 = 0*f[/math] (영원)
2. [math]f*g = g*f[/math] (교환법칙)
3. [math]f*(g+h) = f*g + f*h[/math] (분배법칙)
4. [math]f*(g*h) = (f*g)*h[/math] (결합법칙)

특히 중요한 것은 아래 정리로, 라플라스 역변환을 할 때 자주 쓰인다.

정리: [math]\mathcal{L}\left\{f*g\right\} = \mathcal{L}\left\{f\right\}\times \mathcal{L}\left\{g\right\}[/math]

예시: [math]\displaystyle \frac{1}{\left(s^2+1\right)^2} = \mathcal{L}\left\{\sin t \right\}\times \mathcal{L}\left\{ \sin t \right\} = \mathcal{L}\left\{(\sin *\sin) t \right\}[/math]
[math]\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left\{\frac{1}{ \left(s^2+1\right)^2} \right\} = \int_{0}^{t}\sin\left(t-u\right)\sin u du = \frac{\sin t-t\cos t}{2}[/math]

증명

좌변 = [math]\displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-st}\int_{0}^{t} f(t-u) g(u) dudt = \int_{0}^{\infty}\int_{u}^{\infty}e^{-su}g(u) e^{-s(t-u)} f(t-u) dtdu = \int_{0}^{\infty}e^{-su}g(u) \int_{u}^{\infty}e^{-s(t-u)} f(t-u) dtdu[/math]
[math]\xi = t-u[/math]라 치환하면, [math]\displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-su} g(u) \int_{0}^{\infty}e^{-s\xi} f(\xi) d\xi du[/math] = 우변