맥스웰 변형 텐서 문서 원본 보기

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== 개요 ==
맥스웰 변형 텐서 또는 맥스웰 스트레스 텐서(Maxwell stress Tensor)는 물질 외부에서 작용하는 전자기력에 의해 물질이 받는 변형력을 2차 텐서(2nd rank tensor)로 간단하게 나타낸 것이다. 쉽게 말해서 물체 외부의 [[전자기장]]과 물체가 받는 [[응력]] 즉 역학적 모멘텀의 상관관계를 나타내었다 할 수 있다.

어떤 물체의 내부에 전하와 전류밀도가 존재한다면 당연히 외부의 전자기장에 의해서 힘을 받게 될 것이다. 허나 물질의 형태나 전자기장의 방향 등등에 의해서 그 응력의 크기와 방향은 다 다를 것이다. 따라서 '이 놈이 어느 방향 전자기장에 의해서 어느 방향으로 얼만큼 응력을 받는 것이냐?'를 표하려면 바로 이 맥스웰 변형 텐서를 사용해야 한다. 

== 수식 ==
전자기장으로 인해 전하밀도와 전류밀도를 가진 물체가 단위 부피당 받는 힘을 [[로렌츠 힘]]을 사용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있게 된다.

{{{+1 <math>\mathbf{f} = \rho \mathbf{E} + \mathbf{j} \times \mathbf{B}</math> }}}

이것을 [[맥스웰 방정식]]을 이용하여 오직 <math>\mathbf{E}</math>와 <math>\mathbf{B}</math>만의 함수로 표현하면 다음과 같은 --[[나비에-스톡스 방정식]] 뺨치는-- 복잡한 수식이 나온다. [* 유도는 위 식에 가우스 법칙과 맥스웰-앙페르 법칙을 대입하고 벡터 미분 항등식을 쓰면 쉽게(?) 유도된다.]

{{{+1 <math>\mathbf{f} =\epsilon_{0}\left [ \left ( \mathbf{\nabla  \cdot E}\right)  \mathbf{E} + \left( \mathbf{E \cdot \nabla} \right) \mathbf{E} - \frac{1}{2}\mathbf{\nabla}E^{2}\right ] + \frac{1}{\mu_{0}}\left [ \left ( \mathbf{\nabla  \cdot B}\right)  \mathbf{B} + \left( \mathbf{B \cdot \nabla} \right) \mathbf{B} - \frac{1}{2}\mathbf{\nabla}B^{2}\right ]-\epsilon_{0} \frac{\partial }{\partial t} \left( \mathbf{E \times B}\right)</math> }}}

음... 굉장히 지저분해 보이니 여기서 다음과 같은 식을 정의하자.

{{{+1 <math>\sigma_{ij}\equiv \epsilon_{0}\left ( E_{i}E_{j} - \frac{1}{2} \delta_{ij} E^{2} \right ) + \frac{1}{\mu_{0}} \left (B_{i}B_{j}- \frac{1}{2}\delta_{ij}B^{2} \right )</math> }}}

이 때 <math>\sigma_{ij}</math>가 바로 '''맥스웰 변형 텐서'''이다. 이것을 이용하면 위의 난잡한 수식을 다음과 같이 깔끔하게 정리할 수 있다.

{{{+1 <math>\mathbf{f} = \mathbf{\nabla \cdot \sigma} - \epsilon_{0} \frac{\partial}{\partial t} \left( \mathbf{E \times B}\right)</math> }}}

마지막 항을 전자기장이 단위 시간, 단위 면적당 전달하는 에너지를 나타내는 [[포인팅 벡터]] <math> \mathbf{S} \equiv \frac{1}{\mu_{0}} \left( \mathbf{E \times B} \right) </math> 를 사용하여 나타내면

{{{+1 <math>\mathbf{f} = \mathbf{\nabla \cdot \sigma} - \epsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial \mathbf{S}}{\partial t}</math> }}}

과 같이 된다.
== 활용 ==
이 맥스웰 변형 텐서를 사용하는 대표적인 예로는 압전소자의 역압전 효과를 들 수 있다. Pb(Zr,Ti)O3같은 몇몇 압전 소자들은 결정 내부의 전하분포가 비대칭적인데, 이 때 외부에서 전기장이 가해지는 경우 비대칭적인 전하분포로 인해 결정의 격자상수가 변화하면서 실제로 물체의 형태가 변화하게 된다. 이러한 현상을 통해서 STM의 팁 거리를 조정하는 것과 같이 작은 단위의 길이도 세밀하게 조정할 수 있게 된다.
[[분류:물리학]]