맥스웰 변형 텐서

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1 개요

맥스웰 변형 텐서 또는 맥스웰 스트레스 텐서(Maxwell stress Tensor)는 물질 외부에서 작용하는 전자기력에 의해 물질이 받는 변형력을 2차 텐서(2nd rank tensor)로 간단하게 나타낸 것이다. 쉽게 말해서 물체 외부의 전자기장과 물체가 받는 응력 즉 역학적 모멘텀의 상관관계를 나타내었다 할 수 있다.

어떤 물체의 내부에 전하와 전류밀도가 존재한다면 당연히 외부의 전자기장에 의해서 힘을 받게 될 것이다. 허나 물질의 형태나 전자기장의 방향 등등에 의해서 그 응력의 크기와 방향은 다 다를 것이다. 따라서 '이 놈이 어느 방향 전자기장에 의해서 어느 방향으로 얼만큼 응력을 받는 것이냐?'를 표하려면 바로 이 맥스웰 변형 텐서를 사용해야 한다.

2 수식

전자기장으로 인해 전하밀도와 전류밀도를 가진 물체가 단위 부피당 받는 힘을 로렌츠 힘을 사용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있게 된다.

[math]\mathbf{f} = \rho \mathbf{E} + \mathbf{j} \times \mathbf{B}[/math]

이것을 맥스웰 방정식을 이용하여 오직 [math]\mathbf{E}[/math]와 [math]\mathbf{B}[/math]만의 함수로 표현하면 다음과 같은 나비에-스톡스 방정식 뺨치는 복잡한 수식이 나온다.

[math]\mathbf{f} =\epsilon_{0}\left [ \left ( \mathbf{\nabla \cdot E}\right) \mathbf{E} + \left( \mathbf{E \cdot \nabla} \right) \mathbf{E} - \frac{1}{2}\mathbf{\nabla}E^{2}\right ] + \frac{1}{\mu_{0}}\left [ \left ( \mathbf{\nabla \cdot B}\right) \mathbf{B} + \left( \mathbf{B \cdot \nabla} \right) \mathbf{B} - \frac{1}{2}\mathbf{\nabla}B^{2}\right ]-\epsilon_{0} \frac{\partial }{\partial t} \left( \mathbf{E \times B}\right)[/math]

음... 굉장히 지저분해 보이니 여기서 다음과 같은 식을 정의하자.

[math]\sigma_{ij}\equiv \epsilon_{0}\left ( E_{i}E_{j} - \frac{1}{2} \delta_{ij} E^{2} \right ) + \frac{1}{\mu_{0}} \left (B_{i}B_{j}- \frac{1}{2}\delta_{ij}B^{2} \right )[/math]

이 때 [math]\sigma_{ij}[/math]가 바로 맥스웰 변형 텐서이다. 이것을 이용하면 위의 난잡한 수식을 다음과 같이 깔끔하게 정리할 수 있다.

[math]\mathbf{f} = \mathbf{\nabla \cdot \sigma} - \epsilon_{0} \frac{\partial}{\partial t} \left( \mathbf{E \times B}\right)[/math]

마지막 항을 전자기장이 단위 시간, 단위 면적당 전달하는 에너지를 나타내는 포인팅 벡터 [math] \mathbf{S} \equiv \frac{1}{\mu_{0}} \left( \mathbf{E \times B} \right) [/math] 를 사용하여 나타내면

[math]\mathbf{f} = \mathbf{\nabla \cdot \sigma} - \epsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial \mathbf{S}}{\partial t}[/math]

과 같이 된다.

3 활용

이 맥스웰 변형 텐서를 사용하는 대표적인 예로는 압전소자의 역압전 효과를 들 수 있다. Pb(Zr,Ti)O3같은 몇몇 압전 소자들은 결정 내부의 전하분포가 비대칭적인데, 이 때 외부에서 전기장이 가해지는 경우 비대칭적인 전하분포로 인해 결정의 격자상수가 변화하면서 실제로 물체의 형태가 변화하게 된다. 이러한 현상을 통해서 STM의 팁 거리를 조정하는 것과 같이 작은 단위의 길이도 세밀하게 조정할 수 있게 된다.