문서 편집 권한이 없습니다. 다음 이유를 확인해주세요: 요청한 명령은 다음 권한을 가진 사용자에게 제한됩니다: 사용자. 문서의 원본을 보거나 복사할 수 있습니다. * 상위 문서: [[밀레니엄 문제]] [include(틀:밀레니엄 문제)] Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture[* Bryan Birch와 Peter Swinnerton-Dyer 두 사람이다. 하이픈(-)이 빠지면 안 되는 이유.] [목차] == 개요 == [[밀레니엄 문제]] 중 하나. ||수체(number field) <math>K</math> 위에서의 타원곡선 <math>E</math>의 모델-베유 군(Mordell-Weil group) <math>E\left(K\right)</math>의 계수(rank)는, <math>E</math>의 하세-베유 <math>L</math>-함수(Hasse-Weil L-function) <math>L\left(E,s\right)</math>가 <math>s = 1</math>에서 갖는 근의 차수와 같다. || --이게 도대체 무슨 소리야!-- 대중문화에 많이 소개된 [[리만 가설]], [[푸앵카레 추측]] 등의 형제 문제들과는 다르게, 이 문제는 최소한의 이해를 위해 요구하는 배경의 수준마저도 훨씬 높다. 이 정리가 다루는 대상인 타원곡선은 [[수학과]] 학부과정에서 배울까 말까하는 수준이고, 그 성질의 이해는 수학자들도 전공분야가 아니면 깊게 공부하지 않는다. --그런 걸 여기에다 쓰고있을 정도로 한가한 전공자 위키러가 있다는 거다-- 즉, 어쩌다 여기에 들어오게 된 위키러들은 이 글이나 [[호지 추측]]이 이해가 되지 않더라도 '''절대 좌절할 필요가 없다.''' == 배경지식 및 해설 == === 디오판토스 방정식 === [[정수론]]의 가장 중요한 문제 중 하나는 [[방정식]]의 [[정수]]해 또는 [[유리수]]해를 찾는 것이다. 간단한 예로 다음 문제를 생각해 보자. 세 변의 길이가 모두 정수인 직각삼각형은 어떤 것이 있을까? 다시 말해서, 이는 [[피타고라스의 정리]]의 방정식 <math>a^2 + b^2 = c^2</math> 을 만족하는 자연수 <math>\left(a,b,c\right)</math>를 찾는 것이다. 이를 만족하는 <math>\left(3,4,5\right), \left(5,12,13\right), \left(7,24,25\right), \left(8,15,17\right), \left(6,8,10\right), \cdots</math> 같은 무한히 많은 쌍들은, 모두 <math>\left(a, b, c\right) = k\left(m^2 - n^2 , 2mn, m^2 + n^2\right)</math> 또는 <math>k\left(2mn, m^2 - n^2 , m^2 + n^2\right)</math>의 형태로 나타낼 수 있다. 이런 식으로 변수가 정수인 다항방정식을 [[디오판토스 방정식]](Diophantine equation)이라 부른다. 유명한 [[페르마의 마지막 정리]] <math>x^n + y^n = z^n</math>도 디오판토스 방정식의 예라고 볼 수 있다. 하지만 [[페르마의 마지막 정리]] 항목을 보면 알겠지만, 이 경우의 정수해는 x나 y가 0인 것을 제외하고는 존재하지 않는다. 이 문제는 대다수의 디오판토스 방정식은 보기와는 다르게 매우 어렵다는 것을 시사하기도 한다. 사실 실수의 방정식이라면 (차수나 양음의 조건만 만족시키면) 해가 존재하는 건 당연하지만, 이 경우에는 '정수가 되어야 한다'는 훨씬 까다로운 조건을 만족해야 하니... 방정식의 유리수해를 찾는 것은 정수해를 찾는 것과 꽤 비슷하다. 예로 위의 피타고라스 정리 방정식의 경우 양변을 <math>c^2</math> 로 나누고 <math>{a \over c} = x</math>, <math> {b \over c} = y </math>라 하면, 이는 원 <math>x^2 + y^2 = 1</math> 위의 점 중 <math>\left(x,y\right)</math>가 유리수인 점을 찾는 문제가 된다. === 타원곡선 === [[타원곡선]](elliptic curve)은 일반적으로 <math>E: y^2 = x^3 + Ax + B</math> 꼴의 도형의 방정식을 나타낸다. 정수론에서 관심을 두는 것은 <math>\left(x,y\right)</math>가 유리수인 해, 즉 __유리수점__의 집합 <math>E\left(Q\right)</math>를 찾는 것이다. 타원곡선의 유리수점들은 해들을 '더할 수 있는' 특이한 구조를 가지고 있다. 곡선 위의 두 점 <math>P</math>와 <math>Q</math>를 더하는 방법은 대략 다음과 같다. <math>P</math>와 <math>Q</math>를 잇는 직선 <math>l</math>을 생각하고, <math>l</math>과 <math>E</math>의 다른 교점 <math>R</math>을 생각한다. 이제 <math>R</math>의 <math>y</math>좌표를 <math>-</math>로 바꾼 점 <math>R'</math>은 <math>P+Q</math>가 된다. 이 덧셈에 대해서 유리수점들은 가환[[군론|군]]을 이룬다. 다시 말해 이 덧셈에 대해 교환법칙과 결합법칙이 성립하고, 0에 해당하는 점에 대해 [* 여기서는 (무한대, 무한대)의 가상의 점으로 생각] 점들을 빼는 것도 가능하다는 것이다. 이 <math>E\left(Q\right)</math>의 군을 __모델-베유 군__(Mordell-Weil group)이라 하자. 이제 자연스럽게 떠오르는 질문은 <math>E\left(Q\right)</math>의 군의 구조에 대한 것이다. __모델-베유 정리__(Mordell-Weil theorem)에 따르면 이 군은 유한생성(finitely generated)된다. 다시 말해 유한 개의 유리수점 <math>P_1,P_2,\cdots,P_k</math> 가 있어서, 이들의 합으로 모든 점을 나타낼 수 있다. 이를 만족하는 최소개수의 점들 중, 반복해서 더해서 0이 되지 않는 점들의 개수를 타원곡선의 __계수__(rank)라고 한다. 이 계수를 <math>r</math>이라 한다면, 타원곡선의 모든 유리수점은 다음의 꼴로 (단 <math>n_i\in\mathbb{Z}, P_{\text{torsion}}</math> 은 반복해서 더해서 0이 되는 점) <math>P = {n_1}P_1 + {n_2}P_2 + ... + {n_r}P_r + P_{\text{torsion}} </math> 유일하게 나타낼 수 있다. 사실 앞의 두 단락에 서술한 부분은 [[군론]], 특히 그 중에서도 유한생성 아벨군의 기본 정리(fundamental theorem of finitely generated abelian groups)를 모르면, 도저히 이해를 할래야 할 수 없는 내용이다. [[대수학]]을 배우지 않아 어리둥절해할 위키러들은 대신, 타원곡선의 계수에 대해서 다음만을 기억하고 넘어가도록 하자: '''계수는 타원곡선의 유리수점이 얼마나 많은지 나타나는 지표이다.''' [* 엄밀하게 말하면 분모, 분자가 모두 <math>N</math> 이하인 유리수점의 개수가 증가하는 개형을 <math>r</math>로 표현할 수 있다.] === L-함수 === 본 단락을 이해하는 데에는 [[정수론]] 배경 지식이 필요하다. ~~사실 있어도 이해하기 힘들다~~ 디오판토스 방정식을 푸는 데에 중요한 접근 중 하나는, 방정식을 특정 정수로 나눈 나머지로 생각하는 것이다. 예를 들면 <math>x^2 - 3y^2 = 2</math>같은 방정식은 정수해가 존재하지 않는데, 이는 정수 <math>x</math>에 대해 <math>x^2</math> 를 3으로 나눈 나머지는 0과 1밖에 없기 때문이다. 비슷하게 <math>x^2 + y^2 = 103</math>같은 경우도, <math>x^2 + y^2</math>을 4로 나눈 나머지는 0, 1, 2밖에 가능하지 않으므로 정수해가 없다. 일반적으로 (<math>x</math>와 <math>y</math>에 대한 식) = 0 꼴의 디오판토스 방정식에 대해, (<math>x</math>와 <math>y</math>에 대한 식)이 정수 <math>N</math>으로 나누어 떨어지는 해가 있는지[* 즉 방정식을 법 <math>N</math>에 대한 합동방정식으로 보았을 때 해가 있는지]의 조건을 __국소적 조건__이라 한다. 디오판토스 방정식이 해가 존재하려면 당연히 국소적 조건을 만족시켜야 하지만, 그 역이 성립하지는 않는다. 이제 __하세-베유 <math>L</math>-함수__(Hasse-Weil L-function), 간단히 L-함수라는 대상은, 임의의 방정식에 대해 국소적 조건의 조각들을 모두 모음으로 만들어진다. 즉 소수 <math>p</math>에 대해서 합동방정식 <math>E_p : y^2 \equiv x^3 + Ax + B \left(\text{mod}\,p\right)</math> [* '<math>\equiv</math>'의 왼쪽과 오른쪽 식을 <math>p</math>로 나누었을 때 나머지가 같다는 소리임.] 의 해의 개수[* 여기서 '해의 개수'라 함은 <math>x</math>나 <math>y</math>를 <math>p</math>로 나눈 나머지만을 생각하는 개념이다. <math>x</math>나 <math>y</math>가 모두 0에서 <math>p-1</math> 일 때까지만 생각한다고 봐도 무방하다.]에 대한 적절한 식[* 보통은 모든 유한체(finite field) 위에서의 해의 개수를 모두 생각하고, 타원곡선의 경우에는 <math>F_p</math> 의 경우를 계산하는 것만으로도 <math>L</math>-함수를 구하기 충분한 상황이다.] 으로 정의하는데, 타원곡선의 경우 이 함수는 <math>L\left(E,s\right) = \sqcap_p \left(1- a_p p^{1-s} + p^{1-2s} \right)^{-1}</math> 로 나타난다. 여기서 <math>a_p</math> 는 <math>p+1-\left(E_p\right.</math>의 해의 개수<math>\left.\right)</math>. 어찌 보면 이는 [[리만 가설]]에 나오는 리만 제타함수의 아날로그라 생각할 수 있다. 제타함수의 오일러곱을 생각하면 이는 소수 <math>p</math>에 대한 국소적 함수 <math>\left(1 - p^{-s}\right)</math>들의 모음이니까. 다만 소인수분해의 일의성에 의해 소수의 개수와 리만 제타함수가 바로 연결되는 상황과는 다르게, 타원곡선의 <math>L</math>-함수는 유리수점 <math>E\left(Q\right)</math>의 개수에 대한 정보를 줄 이유가 선험적으로는(a priori) 전혀 없다. === 문제의 내용 === 이제까지 나왔던 개념들을 정리해 보자. 타원곡선 E의 계수 r은 타원곡선의 유리수점의 군에 대응되는 양으로, 유리수점이 얼마나 많은지를 나타내는 지표이다. 한편 하세-베유 <math>L</math>-함수는 <math>E</math>의 국소적 조건들을 모두 모아 합친 양이다. 앞서 말하진 않았지만, 복소해석학의 이론에 따르면 <math>L</math>-함수에서 <math>s = 1</math>에서의 근의 차수는 특별한 의미를 가진다. 중간과정을 모두 생략하면, 이 근의 차수는 국소적 조건으로 유리수점이 얼마나 많은지를 어림하는 '추정치'라고 생각될 수 있다. 즉 버츠와 스위너톤-다이어 추측은 결국 '''실제 유리수점이 얼마나 많은지는 국소적 조건의 정보로 계산한 추정치와 사실 일치한다.''' 라는 것을 말한다. ~~아직도 무슨 소리인지 모르겠다면 정상이다~~ === 의미와 중요성 === 사실 실용성에서는 이 문제는 존재하지 않는다고 해도 무방하다. 그러나 순수 수학에서의 발견이 중요한 실용적 귀결을 갖는다는 사실은 역사 속에서 알 수 있다. 이런 문제와 해결책이 하나의 토대가 되면서 현대 인류의 발전을 이룩해 나가는 것이다. == 기타 == 이 문제를 밀레니엄 문제로 선정한 사람은 '''[[페르마의 대정리]]를 증명한 [[앤드루 와일스]] 교수'''이다. 앤드루 와일스가 타원곡선을 전공했으니 그럴 만도 하다. 실제로 페르마의 마지막 정리 증명을 보면 첫줄 부터 '타원 곡선'과 '하세-베유 제타 함수'같은 게 마구 튀어나온다. [* 덧붙이자면, 타원곡선이나 하세-베유 제타함수는 이 논문 내에서 '''그나마 알아먹기 쉬운 수준''' 에 속한다...] [[분류:수학]] 이 문서에서 사용한 틀: 틀:밀레니엄 문제 (원본 보기) 버츠와 스위너톤-다이어 추측 문서로 돌아갑니다.