문서 편집 권한이 없습니다. 다음 이유를 확인해주세요: 요청한 명령은 다음 권한을 가진 사용자에게 제한됩니다: 사용자. 문서의 원본을 보거나 복사할 수 있습니다. [include(틀:수 체계)] * [[수학 관련 정보]], [[수 체계]] [목차] == 개요 == 複素數, complex number [[수학]]에서 [[실수]] <math>a, b</math>에 대하여 <math>a+bi</math> (<math>i</math>는 [[허수]] 단위)[* 다만 전기/전자공학과는 전류를 <math>I</math>나 <math>i</math>로 쓰기 때문에 혼동을 막기 위해 허수단위를 <math>j</math>로 쓴다.] 로 나타내는 체(field)를 복소수(complex number)라 한다.보통 [[대한민국]] 교육 과정에선 [[고등학교]] 1학년부터 배운다. 첫글자인 C를 볼드체로 '''C'''나 <math>\mathbb{C}</math>를 겹쳐서 써서 나타내기도 한다.허수 부분 <math>b</math>가 0인 것이 [[실수]], 0이 아닌 것이 [[허수]]이며, 허수 중 실수부분<math>a</math>가 0인 수를 '''순허수'''라고 한다. <math>z = a+bi</math>에서 허수 부분인 <math>b</math>가 <math>-b</math>가 된 수를 켤레복소수(complex conjugate)라 하며 <math>\bar{z} = a-bi</math>로 나타낸다. 실수를 [[수직선]]에 나타낼 수 있는 것과 마찬가지로 복소수는 평면상에 나타낼 수 있다. 흔히 직교 좌표계에서 x축을 실수축 <math>Re \left( z \right)</math>, y축을 허수축 <math>Im \left( z \right)</math> 으로 둔 [[좌표계]]를 복소평면이라 한다. [[실수]]와는 달리 복소수는 순서체가 되지 않는다. 다시말해 <math>\left\{P, \left\{0\right\}, -P\right\}</math>[* <math>-P=\left\{-x|x\in P\right\}</math>]가 복소수 집합 <math>\mathbb{C}</math>의 [[분할]]이 되면서 <math>a, b\in P \Rightarrow a+b, ab\in P</math>를 만족하는 집합 <math>P</math>가 존재하지 않는다. 다만 복소수에도 절댓값을 생각할 수는 있다. 좌표평면에서 <math>\left( a,\ b \right)</math>의 위치 벡터의 크기를 원점에서부터 거리로 <math>\sqrt{a^2+b^2}</math>로 나타내듯이 <math>z = a+bi</math>의 복소평면에서 크기, 즉 [[절댓값]]은 <math>\displaystyle |z| = \sqrt{z \bar{z}} = \sqrt{a^2+b^2}</math>로 나타낸다. 정수, 유리수, 실수와는 다르게, [[대수학의 기본정리|임의의 복소수 계수 n차식은 복소수 계수 1차식 n개의 곱으로 인수분해된다.]] 따라서 방정식만 고려한다면 복소수를 넘는 수 체계가 반드시 필요한 것은 아니다.[* 복소수는 기본적으로 3차 연산(덧셈: 1차 연산, 곱셈: 2차 연산, 거듭제곱: 3차 연산)까지의 기본 연산에 관해 '''닫혀 있다'''.] 게다가 수학에서는 이미 [[벡터|벡터공간]]이라는 강력한 대수구조를 [[선형대수학|복소수 이상으로 활용하고 있다.]] 애초에 복소수부터가 실수의 2차원 벡터공간이다. 허수의 유래는 대수적 필요에 의해 생겨난 것이지만, 복소수를 정의역으로 갖는 함수에 대해 다루는 복소함수론의 영역으로 들어가면 실수 영역에서는 할 수 없었던 온갖 테크닉을 구사할 수 있게 되어 수학과만이 아닌 여러 공과계열 학과에서 복소함수론을 배운다. 예를 들면, 복소평면을 잘 이용하면 실수직선상에서는 잘 적분되지 않는 특이적분(improper integral)을 비교적 쉽게 계산할 수 있으며, [[라플라스 변환]]이나 [[미분방정식]]의 풀이에 있어서도 각종 Mapping을 이용하여 풀이를 상당히 단순화할 수 있다. [[파일:attachment/복소수/aaa.jpg]] 이 유명한 공대생 개그 짤방에서 [[마츠오카 미우|미우]]가 푼 중적분을 이용한 플러스 1점 풀이가 실수직선상의 적분을 복소평면상의 경로(contour를 네 개로 분할했다)로 나누고, Jordan's lemma를 이용해 계산하는 경로 적분의 대표적인 사례이다. 자세한 것은 복소함수론을 배우면 알게 된다. 중간에 나오는 풀이는 디리클레 적분을 이용한 풀이다. 선생님은 괜찮은데 정도로 표현했지만 저 적분을 저런 식으로 해결할 정도 되면 그럭저럭 좋네 정도가 아니다[* 대표적으로 김김계 [[해석학|해석개론]] 책에서 저런 식으로 구한다.] == 복소수의 확장 == === [[사원수]](quaternion) === 단위수가 <math>i</math>, <math>j</math>, <math>k</math>까지 존재하며, 각각 <math>i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1</math> (<math>i \ne j,\ j \ne k,\ k \ne i</math>)로 정의되는 수 체계. 곱셈의 교환법칙이 성립하지 않는다. 이걸 연구하는 데 일생을 바친 [[윌리엄 로원 해밀턴]]은 결국 별 성과를 얻지 못했다. [[지못미]]. 사실 상술했듯이 복소수를 넘는 일반화가 반드시 필요한 것도 아니고, 또 이후의 [[벡터 공간]](Vector Space)을 비롯한 추상적인 개념들의 발달로 인해 빛을 보지 못한 케이스라고 할 수 있다. 하지만, 현대에 3차원 컴퓨터 그래픽 또는 비행기 자세 제어 등에서 공간상의 회전을 구현할 때 사원수가 유용하다는 것이 밝혀져서 다시 주목받고 있다.(순수히 복소수를 확장하는 것과 기하학적인 활용 가능성을 생각하며 겸사겸사 만들어낸 것이지만, 기하학적인 측면과 일반화의 측면만 따지면 사원수보다 약간 뒤에 개발된 [[벡터]]가 더 좋아서 결국 사원수는 꽤 묻힌 감이 있었다.) 덤으로, 여기서 약간만 더 나아가면 사영공간(<math>\mathbb{R}P^3</math>[* 여기서 P는 '''p'''rojective(사영~)를, <math>\mathbb{R}</math>는 실수를 뜻한다.])이 공간의 회전을 나타낸다는 것도 알 수 있다. === 이원수(dual number) === <math>a+b\epsilon</math>의 형태로 표현되며 <math>\epsilon^2 = 0</math> (<math>\epsilon \ne 0</math>)으로 정의된다. 생긴 건 복소수랑 비슷하게 생겼지만 성질은 꽤나 다르다. 간단히 <math>\left( a+b\epsilon \right)^2</math> = <math>a^2+2ab\epsilon+b^2 \epsilon^2</math> = <math>a^2+2ab\epsilon</math>에서도 <math>(a+bi)^2 = a^2-b^2+2abi</math>와는 다른, 상당히 특이한 결과가 나옴을 알 수 있다. 참고로 이름이 조금 잘못 지어진 것으로 보이는데,사원수는 복소수의 확장이지, 이원수의 확장은 아니다. 이원수를 복소수와 조합하여 새로운 수 체계를 만들 수 있는데 이는 dual complex numbers(<math>a + bi + c\epsilon+ di\epsilon</math>으로 표현된다.)라고 부르며, 사원수와 조합될 경우는 dual quaternions라 부르는 수 체계가 나온다. === 분할복소수(split-complex number) === 이원수와 마찬가지로 <math>a+bj</math>의 형태로 표현되며 <math>j^2= 1</math> (<math>j \ne \pm 1</math>)으로 정의되는 수 체계. 여기서의 <math>j</math>는 '''사원수의 <math>j</math>와는 전혀 다른 허수 단위이다.''' 위의 이원수와 합쳐서 고급 수학을 배우려는 아해들을 [[멘붕]]시키는 주범. == 관련 문서 == * [[실수]] * [[공업수학]] [[분류:수]] 이 문서에서 사용한 틀: 틀:수 체계 (원본 보기) 복소수 문서로 돌아갑니다.