복소수

수 체계
사원수
복소수
실수허수
유리수무리수
정수정수가
아닌
유리수
음의
정수
0자연수


1 개요

複素數, complex number

수학에서 실수 [math]a, b[/math]에 대하여 [math]a+bi[/math] ([math]i[/math]허수 단위)[1] 로 나타내는 체(field)를 복소수(complex number)라 한다.보통 대한민국 교육 과정에선 고등학교 1학년부터 배운다.

첫글자인 C를 볼드체로 C[math]\mathbb{C}[/math]를 겹쳐서 써서 나타내기도 한다.허수 부분 [math]b[/math]가 0인 것이 실수, 0이 아닌 것이 허수이며, 허수 중 실수부분[math]a[/math]가 0인 수를 순허수라고 한다.

[math]z = a+bi[/math]에서 허수 부분인 [math]b[/math][math]-b[/math]가 된 수를 켤레복소수(complex conjugate)라 하며 [math]\bar{z} = a-bi[/math]로 나타낸다.

실수를 수직선에 나타낼 수 있는 것과 마찬가지로 복소수는 평면상에 나타낼 수 있다. 흔히 직교 좌표계에서 x축을 실수축 [math]Re \left( z \right)[/math], y축을 허수축 [math]Im \left( z \right)[/math] 으로 둔 좌표계를 복소평면이라 한다.

실수와는 달리 복소수는 순서체가 되지 않는다. 다시말해 [math]\left\{P, \left\{0\right\}, -P\right\}[/math][2]가 복소수 집합 [math]\mathbb{C}[/math]분할이 되면서 [math]a, b\in P \Rightarrow a+b, ab\in P[/math]를 만족하는 집합 [math]P[/math]가 존재하지 않는다. 다만 복소수에도 절댓값을 생각할 수는 있다. 좌표평면에서 [math]\left( a,\ b \right)[/math]의 위치 벡터의 크기를 원점에서부터 거리로 [math]\sqrt{a^2+b^2}[/math]로 나타내듯이 [math]z = a+bi[/math]의 복소평면에서 크기, 즉 절댓값[math]\displaystyle |z| = \sqrt{z \bar{z}} = \sqrt{a^2+b^2}[/math]로 나타낸다.

정수, 유리수, 실수와는 다르게, 임의의 복소수 계수 n차식은 복소수 계수 1차식 n개의 곱으로 인수분해된다. 따라서 방정식만 고려한다면 복소수를 넘는 수 체계가 반드시 필요한 것은 아니다.[3] 게다가 수학에서는 이미 벡터공간이라는 강력한 대수구조를 복소수 이상으로 활용하고 있다. 애초에 복소수부터가 실수의 2차원 벡터공간이다.

허수의 유래는 대수적 필요에 의해 생겨난 것이지만, 복소수를 정의역으로 갖는 함수에 대해 다루는 복소함수론의 영역으로 들어가면 실수 영역에서는 할 수 없었던 온갖 테크닉을 구사할 수 있게 되어 수학과만이 아닌 여러 공과계열 학과에서 복소함수론을 배운다. 예를 들면, 복소평면을 잘 이용하면 실수직선상에서는 잘 적분되지 않는 특이적분(improper integral)을 비교적 쉽게 계산할 수 있으며, 라플라스 변환이나 미분방정식의 풀이에 있어서도 각종 Mapping을 이용하여 풀이를 상당히 단순화할 수 있다.

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이 유명한 공대생 개그 짤방에서 미우가 푼 중적분을 이용한 플러스 1점 풀이가 실수직선상의 적분을 복소평면상의 경로(contour를 네 개로 분할했다)로 나누고, Jordan's lemma를 이용해 계산하는 경로 적분의 대표적인 사례이다. 자세한 것은 복소함수론을 배우면 알게 된다. 중간에 나오는 풀이는 디리클레 적분을 이용한 풀이다. 선생님은 괜찮은데 정도로 표현했지만 저 적분을 저런 식으로 해결할 정도 되면 그럭저럭 좋네 정도가 아니다[4]


2 복소수의 확장

2.1 사원수(quaternion)

단위수가 [math]i[/math], [math]j[/math], [math]k[/math]까지 존재하며, 각각 [math]i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1[/math] ([math]i \ne j,\ j \ne k,\ k \ne i[/math])로 정의되는 수 체계. 곱셈의 교환법칙이 성립하지 않는다. 이걸 연구하는 데 일생을 바친 윌리엄 로원 해밀턴은 결국 별 성과를 얻지 못했다. 지못미. 사실 상술했듯이 복소수를 넘는 일반화가 반드시 필요한 것도 아니고, 또 이후의 벡터 공간(Vector Space)을 비롯한 추상적인 개념들의 발달로 인해 빛을 보지 못한 케이스라고 할 수 있다. 하지만, 현대에 3차원 컴퓨터 그래픽 또는 비행기 자세 제어 등에서 공간상의 회전을 구현할 때 사원수가 유용하다는 것이 밝혀져서 다시 주목받고 있다.(순수히 복소수를 확장하는 것과 기하학적인 활용 가능성을 생각하며 겸사겸사 만들어낸 것이지만, 기하학적인 측면과 일반화의 측면만 따지면 사원수보다 약간 뒤에 개발된 벡터가 더 좋아서 결국 사원수는 꽤 묻힌 감이 있었다.) 덤으로, 여기서 약간만 더 나아가면 사영공간([math]\mathbb{R}P^3[/math][5])이 공간의 회전을 나타낸다는 것도 알 수 있다.


2.2 이원수(dual number)

[math]a+b\epsilon[/math]의 형태로 표현되며 [math]\epsilon^2 = 0[/math] ([math]\epsilon \ne 0[/math])으로 정의된다. 생긴 건 복소수랑 비슷하게 생겼지만 성질은 꽤나 다르다. 간단히 [math]\left( a+b\epsilon \right)^2[/math] = [math]a^2+2ab\epsilon+b^2 \epsilon^2[/math] = [math]a^2+2ab\epsilon[/math]에서도 [math](a+bi)^2 = a^2-b^2+2abi[/math]와는 다른, 상당히 특이한 결과가 나옴을 알 수 있다. 참고로 이름이 조금 잘못 지어진 것으로 보이는데,사원수는 복소수의 확장이지, 이원수의 확장은 아니다.

이원수를 복소수와 조합하여 새로운 수 체계를 만들 수 있는데 이는 dual complex numbers([math]a + bi + c\epsilon+ di\epsilon[/math]으로 표현된다.)라고 부르며, 사원수와 조합될 경우는 dual quaternions라 부르는 수 체계가 나온다.


2.3 분할복소수(split-complex number)

이원수와 마찬가지로 [math]a+bj[/math]의 형태로 표현되며 [math]j^2= 1[/math] ([math]j \ne \pm 1[/math])으로 정의되는 수 체계. 여기서의 [math]j[/math]사원수의 [math]j[/math]와는 전혀 다른 허수 단위이다. 위의 이원수와 합쳐서 고급 수학을 배우려는 아해들을 멘붕시키는 주범.


3 관련 문서

  1. 다만 전기/전자공학과는 전류를 [math]I[/math][math]i[/math]로 쓰기 때문에 혼동을 막기 위해 허수단위를 [math]j[/math]로 쓴다.
  2. [math]-P=\left\{-x|x\in P\right\}[/math]
  3. 복소수는 기본적으로 3차 연산(덧셈: 1차 연산, 곱셈: 2차 연산, 거듭제곱: 3차 연산)까지의 기본 연산에 관해 닫혀 있다.
  4. 대표적으로 김김계 해석개론 책에서 저런 식으로 구한다.
  5. 여기서 P는 projective(사영~)를, [math]\mathbb{R}[/math]는 실수를 뜻한다.