이항 관계 문서 원본 보기

二項關係, Binary relation
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== 개요 ==
두 대상이 이루는 관계를 말한다. 예를 들어 '1+1은 2와 '''같다'''', '5는 3보다 '''크다'''' 등이 이항 관계라고 할 수 있다.
== 정의 ==
출발 집합 <math>X</math>와 도착 집합 <math>Y</math>사이의 이항 관계 <math>R</math>는 곱집합 <math>X\times Y=\left\{\left(x, y\right)|x\in X, y\in Y\right\}</math>의 부분집합 <math>G</math>에 대해 순서모음 <math>\left(X, Y, G\right)</math>로 정의된다. 여기서 집합 <math>G</math>를 이항 관계 <math>R</math>의 그래프라 부른다. 또, 집합 <math>X, Y</math> 각각의 어떤 원소 <math>x, y</math>가 <math>\left(x, y\right)\in G</math>를 만족하는 것을 <math>xRy</math>로 나타낸다.

이항 관계 <math>R</math>의 정의역(domain), 치역(range), 역(field)은 다음과 같이 정의된다.
 * 정의역: (<math>G</math>의 원소들의 왼쪽 성분의 집합)=<math>\left\{x\in X| \exists y\in Y : xRy\right\}=\text{dom} \,R</math>
 * 치역: (<math>G</math>의 원소들의 오른쪽 성분의 집합)=<math>\left\{y\in Y| \exists x\in X : xRy\right\}=\text{ran} \,R</math>
 * 역: (정의역과 치역의 합집합)=<math>\text{dom} \,R \cup \text{ran} \,R=\text{fld} \, R</math>

이항 관계 <math>R</math>의 역관계 <math>R^{-1}</math>는 <math>G</math>의 모든 원소들을 좌우 순서를 바꾼 집합 <math>G'=\left\{\left(y, x\right)| \left(x, y\right)\in G\right\}</math>에 대하여 순서모음 <math>\left(Y, X, G'\right)</math>을 말한다.

<math>X</math>와 <math>Y</math> 사이의 이항 관계 <math>R</math>이 있고, <math>Y</math>와 <math>Z</math> 사이의 이항 관계 <math>S</math>가 있다고 할 때 합성 이항 관계 <math>S\circ R</math>는 <math>H=\left\{\left(x, z\right)|\exists y \in Y : xRy \,\ \text{and} \,\ ySz\right\}</math>에 대하여 순서모음 <math>\left(X, Z, H\right)</math>로 정의된다.

<math>X=Y</math>인 경우, 즉 출발 집합과 도착 집합이 모두 <math>X</math>로 같은 이항 관계를 <math>X</math> 위의 이항 관계라 한다.
== 예시 ==
 * [[함수]]는 대표적인 이항 관계의 예이다. 함수 <math>f:X\rightarrow Y</math>는 정의역이 <math>X</math>이고 정의역의 임의의 원소 <math>x</math>에 대하여 <math>xRy</math>가 성립하는 <math>y\in Y</math>가 유일하게 존재하는 <math>X, Y</math>사이의 이항 관계 <math>R</math>와 같다.
 * <math>X</math> 위의 순서 관계는 다음의 두 가지 성질을 가지는 <math>X</math> 위의 이항 관계 <math>R</math>를 말한다.[br](반사성) 임의의 <math>x\in X</math>에 대해 <math>xRx</math>[br](추이성) 임의의 <math>x,y,z \in X</math>에 대해 <math>xRy \,\ \text{and} \,\ yRz  \Longrightarrow xRz</math>

[[분류:집합론]]