제2종 완전 타원 적분 문서 원본 보기

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== 정의 ==
제 2종 타원 적분은 다음과 같이 정의한다.

제 2종 타원 적분<math>\displaystyle \left ( a,b \right )=\int_{0}^{a}\sqrt{1-b \sin^{2}x}dx</math>

== 위 정의를 이용하여 <math>\displaystyle \int  \sqrt{\cos x}dx</math> 구하기 ==
일단 반각의 공식 <math>\displaystyle \sin^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{2}</math>에서
<math>\displaystyle 2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=1-\cos \alpha</math>이다.
<math>\displaystyle 2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-1=-\cos \alpha</math>이다.
양변에 -1을 곱하면,
<math>\displaystyle1-2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=\cos \alpha</math>이다.
<math>\displaystyle\alpha</math> 대신 <math>\displaystyle x</math>를 대입하면,
<math>\displaystyle1-2\sin^{2}\frac{x}{2}=\cos x</math>이다.
즉 다시 바꾸면,
<math>\displaystyle \int \sqrt{\displaystyle1-2\sin^{2}\frac{x}{2}}\: dx</math>이다.
<math>\displaystyle \frac{x}{2}=t</math>로 정의하면,
<math>\displaystyle x=2t,x'=2</math>가 된다.
<math>\displaystyle \int 2\sqrt{1-2\sin^{2}t}dt</math>
위 정의에서 a=t,b=2를 대입하면,
<math>2\times</math>제 2종 타원 적분<math>\displaystyle \left ( t,2 \right )=2\int_{0}^{t}\sqrt{1- 2\sin^{2}t}dx</math>이 되고 이를 미분하면 <math>\displaystyle \sqrt{1-2\sin^{2}t}</math>이 된다.
즉,<math>\displaystyle \int  \sqrt{\cos x}dx</math> <math>\displaystyle =</math><math>2\times</math>제 2종 타원 적분<math>\displaystyle \left ( \frac{x}{2},2 \right )+C</math>이 된다.
[[분류:비초등함수]]
== 위 정의를 적용해서 타원의 둘레를 구하면 ==
<math>4a E\left ( \frac{\pi}{2},1-\frac{b^{2}}{a^{2}} \right )</math>이다.
== 관련 문서 ==
 * [[제1종 완전 타원 적분]]
 * [[타원]]