목차
1 정의
제 2종 타원 적분은 다음과 같이 정의한다.
제 2종 타원 적분[math]\displaystyle \left ( a,b \right )=\int_{0}^{a}\sqrt{1-b \sin^{2}x}dx[/math]
2 위 정의를 이용하여 [math]\displaystyle \int \sqrt{\cos x}dx[/math] 구하기
일단 반각의 공식 [math]\displaystyle \sin^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{2}[/math]에서
[math]\displaystyle 2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=1-\cos \alpha[/math]이다.
[math]\displaystyle 2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-1=-\cos \alpha[/math]이다.
양변에 -1을 곱하면,
[math]\displaystyle1-2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=\cos \alpha[/math]이다.
[math]\displaystyle\alpha[/math] 대신 [math]\displaystyle x[/math]를 대입하면,
[math]\displaystyle1-2\sin^{2}\frac{x}{2}=\cos x[/math]이다.
즉 다시 바꾸면,
[math]\displaystyle \int \sqrt{\displaystyle1-2\sin^{2}\frac{x}{2}}\: dx[/math]이다.
[math]\displaystyle \frac{x}{2}=t[/math]로 정의하면,
[math]\displaystyle x=2t,x'=2[/math]가 된다.
[math]\displaystyle \int 2\sqrt{1-2\sin^{2}t}dt[/math]
위 정의에서 a=t,b=2를 대입하면,
[math]2\times[/math]제 2종 타원 적분[math]\displaystyle \left ( t,2 \right )=2\int_{0}^{t}\sqrt{1- 2\sin^{2}t}dx[/math]이 되고 이를 미분하면 [math]\displaystyle \sqrt{1-2\sin^{2}t}[/math]이 된다.
즉,[math]\displaystyle \int \sqrt{\cos x}dx[/math] [math]\displaystyle =[/math][math]2\times[/math]제 2종 타원 적분[math]\displaystyle \left ( \frac{x}{2},2 \right )+C[/math]이 된다.
3 위 정의를 적용해서 타원의 둘레를 구하면
[math]4a E\left ( \frac{\pi}{2},1-\frac{b^{2}}{a^{2}} \right )[/math]이다.