질량중심 문서 원본 보기

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[[무게중심]]을 찾아 왔다면 잘못찾아오셨...

== 질량중심 ==
물체가 지닌 [[질량]]의 중심점을 의미한다. [[무게중심]]과 질량중심을 혼돈하기 쉬운데 무게중심의 경우에는 물체를 구성하는 입자 하나하나에 작용하는 [[중력]](mg)을 고려하여 구한 중심이고 질량중심의 경우에는 물체를 구성하는 입자들의 질량의 중심이다.

일반적인 상황에서는 질량중심과 무게중심과 동일하지만 아닌 경우도 있을 수 있으므로 구별하여 알아두자.

== 질량중심 구하는 법 ==
=== 일반적인 식 ===
계에 분포되어 있는 모든 질량의 합을 M이라고하면 물체의 질량중심은 다음과 같다.

{{{+3 <math> r_{cm} =  \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i}r_{i} </math> }}}

밀도가 일정한 연속체의 경우에는

{{{+2 <math> m =\rho dV</math> }}}

를 이용하여 

{{{+3 <math> r_{cm} =\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} \rho r_{i} dV = \frac{1}{M}\int\rho r\,dV</math> }}}

이렇게 식을 변형하여 구하면 된다.

=== 한개의 축으로 이루어진 계의 질량 중심 ===
{{{+3 <math>x_{cm} =  \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i}x_{i} </math> }}}
한 축에 위치한 계에서 질량 중심을 구할 때에는 위의 식을 이용하여 구한다.


=== 여러개의 축으로 이루어진 계의 질량 중심 ===
두개 이상의 축으로 이루어진 계의 경우에는 한개의 축으로 이루어진 질량중심을 구할 때와 같은 방법으로 방법으로 구한다.

{{{+3 <math>x_{cm} =  \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i}x_{i} </math> }}}

{{{+3 <math>y_{cm} =  \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i}y_{i} </math> }}}

{{{+3 <math>z_{cm} =  \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i}z_{i} </math> }}}

이렇게 각 축을 나눠서 구한 후 <math>(x,y,z)</math> 이렇게 나타내면 된다.

== 질량 중심의 속도 ==
뉴턴 법칙에 의하여 속도는 변위의 시간에 대한 도함수이다. 따라서 질량 중심의 속도를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

{{{+3 <math> v_{cm} = \frac {d}{dt} \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i}r_{i} </math> }}}

M, <math> m_{i}</math>은 변하지 않는 값이므로 위의 식은 다음과 같이 된다.

{{{+3 <math> v_{cm} = \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i}\frac {d}{dt}r_{i} </math> }}}

따라서 질량 중심의 속도 <math> v_{cm}</math> 다음과 같다.

{{{+3 <math> v_{cm} = \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i}v_{i} </math> }}}


== 질량 중심의 가속도 ==
질량 중심의 속도를 구하는 방식과 유사하게 가속도를 구하면 질량 중심의 가속도는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

{{{+3 <math>a_{cm} = \frac {d}{dt} \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i}v_{i} </math> }}}

{{{+3 <math>a_{cm} = \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i}\frac {d}{dt}v_{i} </math> }}}

{{{+3 <math> a_{cm} = \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i}a_{i} </math> }}}


따라서 질량 중심에 작용하는 알짜힘 <math> \sum F=ma</math>는아래와 같다.

{{{+3 <math> \sum F_{cm}=Ma_{cm}=\displaystyle\sum_{i}^{n}m_{i}a_{i} </math> }}}

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[[분류:물리학]]