질량중심

1 질량중심

물체가 지닌 질량의 중심점을 의미한다. 무게중심과 질량중심을 혼돈하기 쉬운데 무게중심의 경우에는 물체를 구성하는 입자 하나하나에 작용하는 중력(mg)을 고려하여 구한 중심이고 질량중심의 경우에는 물체를 구성하는 입자들의 질량의 중심이다.

일반적인 상황에서는 질량중심과 무게중심과 동일하지만 아닌 경우도 있을 수 있으므로 구별하여 알아두자.

계에 분포되어 있는 모든 질량의 합을 M이라고하면 물체의 질량중심은 다음과 같다.

$r_{cm} = \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i}r_{i}$

밀도가 일정한 연속체의 경우에는

$m =\rho dV$

를 이용하여

$r_{cm} =\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} \rho r_{i} dV = \frac{1}{M}\int\rho r\,dV$

이렇게 식을 변형하여 구하면 된다.

$x_{cm} = \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i}x_{i}$
한 축에 위치한 계에서 질량 중심을 구할 때에는 위의 식을 이용하여 구한다.

두개 이상의 축으로 이루어진 계의 경우에는 한개의 축으로 이루어진 질량중심을 구할 때와 같은 방법으로 방법으로 구한다.

$x_{cm} = \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i}x_{i}$

$y_{cm} = \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i}y_{i}$

$z_{cm} = \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i}z_{i}$

이렇게 각 축을 나눠서 구한 후 $(x,y,z)$ 이렇게 나타내면 된다.

뉴턴 법칙에 의하여 속도는 변위의 시간에 대한 도함수이다. 따라서 질량 중심의 속도를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$v_{cm} = \frac {d}{dt} \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i}r_{i}$

M, $m_{i}$ 은 변하지 않는 값이므로 위의 식은 다음과 같이 된다.

$v_{cm} = \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i}\frac {d}{dt}r_{i}$

따라서 질량 중심의 속도 $v_{cm}$ 다음과 같다.

$v_{cm} = \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i}v_{i}$

질량 중심의 속도를 구하는 방식과 유사하게 가속도를 구하면 질량 중심의 가속도는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$a_{cm} = \frac {d}{dt} \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i}v_{i}$

$a_{cm} = \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i}\frac {d}{dt}v_{i}$

$a_{cm} = \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i}a_{i}$

따라서 질량 중심에 작용하는 알짜힘 $\sum F=ma$ 는아래와 같다.

$\sum F_{cm}=Ma_{cm}=\displaystyle\sum_{i}^{n}m_{i}a_{i}$