질점의 운동역학 문서 원본 보기

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[목차]

= 질점의 속도 =

이 항목을 이해하기 위해서는 벡터에 대한 기본적인 지식이 필요하다, [[벡터]] 참조

[[파일:곡선.png]]
어떤 시각 {{{+2 <math> t </math>}}} 에 입자가 A점으로부터 출발하여
시각 {{{+2 <math> t+\Delta\ t </math>}}} 에 B점에 도달하는 정보를 담은 그림이다.

먼저 목적은 '''입자의 속도를 구하는 것'''이다
   
입자의 위치벡터 {{{+5 <math> r </math>}}}은 원점으로부터의 거리 <math> r </math> 와 단위벡터 {{{+2 <math> u_r </math>}}}를 갖는다
{{{+5 <math> r  </math>}}} {{{+2 <math> = </math>}}}  <math> r </math>  {{{+2 <math> u_r </math>}}}
'''벡터는 특별히 볼드체로 표기하였음을 명심하자!  ({{{+5 <math> r </math>}}}은 벡터이고 <math> r </math> 은 스칼라이다)'''

극좌표를 사용하면 모든 단위벡터는 다음과 같이 표현 가능하다
{{{+2 <math> u_r( \theta ) = cos \theta\ i + sin \theta\ j </math>}}}

벡터 {{{+5 <math> r </math>}}} {{{+2 <math> (t)  </math> }}} 와 {{{+5 <math> r </math>}}} {{{+2 <math> (t+\Delta t)  </math> }}} 를 나타내면
{{{+5 <math> r </math>}}} {{{+2 <math> (t)  </math> }}} {{{+2 <math> = </math>}}} <math> r </math> {{{+2 <math> cos \theta\ i + </math>}}}  <math> r </math> {{{+2 <math> sin \theta\ j </math>}}}
{{{+5 <math> r </math>}}} {{{+2 <math> (t+\Delta t)  </math> }}}  {{{+2 <math> = </math> }}} <math> (r+\Delta r) </math> {{{+2 <math> cos( \theta + \Delta \theta) i + </math> }}} <math> (r+\Delta r) </math> {{{+2 <math> sin( \theta + \Delta \theta) j </math>}}}

이제 입자의 속도를 구해보자
{{{+5 <math> v </math> = <math> \frac{r(t+ \Delta\ t) - r(t)}{\Delta t} </math>}}} 에서 

매우 짧은 시간 간격 {{{+2 <math>\Delta\ t \approx  0</math>}}} 에 대하여
매우 짧은 각의 변화 {{{+2 <math>\Delta\ \theta\approx  0</math>}}} 으로 취급할 수 있고,

삼각함수의 성질 
{{{+2 <math> sin( \theta + \Delta \theta ) =sin\theta cos\Delta\theta + cos\theta sin\Delta\theta </math>}}}
{{{+2 <math> cos( \theta + \Delta \theta ) =cos\theta cos\Delta\theta - sin\theta sin\Delta\theta </math>}}} 
을 이용하여 

{{{+5 <math> {\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} \frac{r(t+ \Delta\ t) - r(t)}{\Delta t} </math>}}}를 {{{+2 <math> i , j </math>}}} 성분끼리 정리하면


{{{+2 <math> i </math>}}}성분 : {{{+2 <math>{\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} \frac{r(cos\theta cos\Delta\theta - sin\theta sin\Delta\theta)+\Delta r(cos\theta cos\Delta\theta - sin\theta sin\Delta\theta) -r cos \theta}{\Delta t} </math>}}} 
{{{+2 <math> j </math>}}}성분 : {{{+2 <math>{\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} \frac{r(sin\theta cos\Delta\theta + cos\theta sin\Delta\theta)+\Delta r(sin\theta cos\Delta\theta + cos\theta sin\Delta\theta) -r sin \theta}{\Delta t} </math>}}} 

여기서 {{{+2 <math> sin \Delta\theta \approx \Delta\theta , cos \Delta\theta \approx 1 </math>}}}  를 이용하여 다시 간단히 하면

{{{+2 <math> i </math>}}}성분 : {{{+2 <math>{\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} \frac{r(cos\theta - sin\theta \Delta\theta)+\Delta r(cos\theta - sin\theta \Delta\theta) -r cos \theta}{\Delta t} =  {\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} (\frac{\Delta r cos \theta}{\Delta t} - \frac{(r-\Delta r) sin \theta\Delta\theta}{\Delta t} ) </math>}}} 
{{{+2 <math> j </math>}}}성분 : {{{+2 <math>{\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} \frac{r(sin\theta + cos\theta \Delta\theta)+\Delta r(sin\theta + cos\theta \Delta\theta) -r sin\theta}{\Delta t} =  {\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} (\frac{\Delta r sin \theta}{\Delta t} + \frac{(r+\Delta r) cos \theta \Delta\theta}{\Delta t} ) </math>}}} 
매우 짧은 시간 간격 {{{+2 <math>\Delta\ t \approx  0</math>}}} 에 대하여
매우 짧은 거리 변화 {{{+2 <math>\Delta\ r \approx  0</math>}}} 일 것이므로

{{{+2 <math> i </math>}}}성분 :  {{{+2 <math> {\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} (\frac{\Delta r cos \theta}{\Delta t} - \frac{r sin \theta\Delta\theta}{\Delta t} ) </math>}}} 
{{{+2 <math> j </math>}}}성분 : {{{+2 <math> {\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} (\frac{\Delta r sin \theta}{\Delta t} + \frac{r cos \theta\Delta\theta}{\Delta t} ) </math>}}} 

{{{+2 <math> {\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} \frac{\Delta r}{\Delta t} </math>}}}를 반지름 방향 속도  <math> \dot{r} </math> 라 정의하고
{{{+2 <math> {\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} \frac{\Delta\theta}{\Delta t} </math>}}}를 각속도  <math> \omega </math> 라 정의하면

{{{+5 <math> v </math> = <math> {\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}}\frac{r(t+ \Delta\ t) - r(t)}{\Delta t} </math> = }}}  {{{+2 <math> ( </math> }}} <math> \dot{r} </math> {{{+2 <math> cos \theta - </math> }}} <math> r \omega </math> {{{+2 <math>sin \theta )</math>}}} {{{+2 <math> i + </math>}}}  {{{+2 <math> ( </math> }}} <math> \dot{r} </math> {{{+2 <math> sin \theta + </math> }}} <math> r \omega </math>  {{{+2 <math> cos \theta ) j</math> }}} 를 얻으며,

만약 각속도 벡터 {{{+5 <math> \omega </math>}}} {{{+2 <math> = </math>}}} <math> \omega </math> {{{+2 <math> k </math>}}} 를 정의하면
최종적으로 식 {{{+5 <math> v </math>}}}  {{{+2 <math> = </math>}}}  <math> \dot{r} </math> {{{+2 <math> u_r  + \omega \times </math>}}} {{{+5  <math> r </math>}}} 가 성립한다 [* 식1]

== 방향벡터의 도함수 ==

식1 의 {{{+5 <math> v </math>}}}  {{{+2 <math> = </math>}}}  <math> \dot{r} </math> {{{+2 <math> u_r  + \omega \times </math>}}} {{{+5  <math> r </math>}}} 를 잘 보자,
이는 {{{+5 <math> r  </math>}}} {{{+2 <math> = </math>}}}  <math> r </math>  {{{+2 <math> u_r </math>}}}의 양변을 시간에 대해 미분한 것과 같다.  
미분 해 보면,{{{+5 <math> \dot{r} </math>}}} {{{+2 <math> = </math> }}} {{{+5 <math> v </math>}}}  {{{+2 <math> = </math>}}}  <math> \dot{r} </math> {{{+2 <math> u_r  + </math>}}} <math> r </math> {{{+2 <math> \dot{u_r} </math> }}} 
이는 목차 1에서 구한 {{{+5 <math> v </math>}}} {{{+2 <math> = </math>}}}  <math> \dot{r} </math> {{{+2 <math> u_r  + \omega \times </math>}}} {{{+5  <math> r </math>}}}와 같아야 하므로 다음이 성립한다.
<math> r </math> {{{+2 <math> \dot{u_r} = \omega \times </math>}}} {{{+5  <math> r </math>}}} 
양 변을 <math> r </math> 로 나누어 더 간단히 정리하면

{{{+2 <math> \dot{u_r} = \omega \times u_r </math>}}} [* 식2]

= 질점의 가속도 =

정의에 따라 식 1을 {{{+5 <math> v </math>}}}  {{{+2 <math> = </math>}}}  <math> \dot{r} </math> {{{+2 <math> u_r  + \omega \times </math>}}} {{{+5  <math> r </math>}}} 를 시간에 대해 미분하기만 하면 

{{{+5 <math> \dot{v} </math> }}} {{{+2 <math> = </math> }}} {{{+5 <math> a </math> }}} {{{+2 <math> = </math> }}} <math> \ddot{r} </math> {{{+2 <math> u_r + </math> }}} <math> \dot{r} </math> {{{+2 <math> \dot{u_r} + </math> }}}  {{{+2 <math> \dot{\omega} \times </math> }}} {{{+5 <math> r </math>}}}  {{{+2 <math> + </math>}}} {{{+2 <math> \omega \times </math>}}} {{{+5 <math> \dot{r} </math>}}} 여기서 식 1과 2에 의해

{{{+5 <math> \dot{r} </math>}}} {{{+2 <math> = </math> }}} <math> \dot{r} </math> {{{+2 <math> u_r  + \omega \times </math>}}} {{{+5  <math> r </math>}}} 와
{{{+2 <math> \dot{u_r} = \omega \times u_r </math>}}} 가 성립하므로

{{{+5 <math> a </math> }}} {{{+2 <math> = </math> }}} <math> \ddot{r} </math> {{{+2 <math> u_r + </math> }}} <math> \dot{r} </math> {{{+2 <math> \omega \times u_r + </math>}}} {{{+2 <math> \dot{\omega} \times </math> }}} {{{+5 <math> r </math>}}} {{{+2 <math> + </math>}}} {{{+2 <math> \omega \times </math>}}} {{{+2 <math> {( } </math> }}} <math> \dot{r} </math> {{{+2 <math> u_r  + \omega \times </math>}}} {{{+5  <math> r </math>}}} {{{+2 <math> {)} </math>}}} 괄호 항을 전개하여 정리하면 최종적으로

{{{+5 <math> a </math> }}} {{{+2 <math> = </math>}}} <math> \ddot{r} </math> {{{+2 <math> u_r + 2</math> }}} <math> \dot{r} </math> {{{+2 <math> \omega \times u_r + </math>}}} {{{+2 <math> \dot{\omega} \times </math> }}} {{{+5 <math> r </math>}}} {{{+2 <math> + </math>}}} {{{+2 <math> \omega \times {( } </math> }}} {{{+2 <math> \omega \times </math>}}} {{{+5  <math> r </math>}}} {{{+2 <math> {)} </math>}}} [* 식 3]

식 3의 {{{+2 <math> 2 </math> }}} <math> \dot{r} </math> {{{+2 <math> \omega \times u_r  </math>}}}  을  '''코리올리 가속도''' 라 한다 
[[코리올리 효과]] 참조.