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1 질점의 속도
이 항목을 이해하기 위해서는 벡터에 대한 기본적인 지식이 필요하다, 벡터 참조
파일:곡선.png
어떤 시각 [math] t [/math] 에 입자가 A점으로부터 출발하여
시각 [math] t+\Delta\ t [/math] 에 B점에 도달하는 정보를 담은 그림이다.
먼저 목적은 입자의 속도를 구하는 것이다
입자의 위치벡터 [math] r [/math]은 원점으로부터의 거리 [math] r [/math] 와 단위벡터 [math] u_r [/math]를 갖는다
[math] r [/math] [math] = [/math] [math] r [/math] [math] u_r [/math]
벡터는 특별히 볼드체로 표기하였음을 명심하자! ([math] r [/math]은 벡터이고 [math] r [/math] 은 스칼라이다)
극좌표를 사용하면 모든 단위벡터는 다음과 같이 표현 가능하다
[math] u_r( \theta ) = cos \theta\ i + sin \theta\ j [/math]
벡터 [math] r [/math] [math] (t) [/math] 와 [math] r [/math] [math] (t+\Delta t) [/math] 를 나타내면
[math] r [/math] [math] (t) [/math] [math] = [/math] [math] r [/math] [math] cos \theta\ i + [/math] [math] r [/math] [math] sin \theta\ j [/math]
[math] r [/math] [math] (t+\Delta t) [/math] [math] = [/math] [math] (r+\Delta r) [/math] [math] cos( \theta + \Delta \theta) i + [/math] [math] (r+\Delta r) [/math] [math] sin( \theta + \Delta \theta) j [/math]
이제 입자의 속도를 구해보자
[math] v [/math] = [math] \frac{r(t+ \Delta\ t) - r(t)}{\Delta t} [/math] 에서
매우 짧은 시간 간격 [math]\Delta\ t \approx 0[/math] 에 대하여
매우 짧은 각의 변화 [math]\Delta\ \theta\approx 0[/math] 으로 취급할 수 있고,
삼각함수의 성질
[math] sin( \theta + \Delta \theta ) =sin\theta cos\Delta\theta + cos\theta sin\Delta\theta [/math]
[math] cos( \theta + \Delta \theta ) =cos\theta cos\Delta\theta - sin\theta sin\Delta\theta [/math]
을 이용하여
[math] {\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} \frac{r(t+ \Delta\ t) - r(t)}{\Delta t} [/math]를 [math] i , j [/math] 성분끼리 정리하면
[math] i [/math]성분 : [math]{\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} \frac{r(cos\theta cos\Delta\theta - sin\theta sin\Delta\theta)+\Delta r(cos\theta cos\Delta\theta - sin\theta sin\Delta\theta) -r cos \theta}{\Delta t} [/math]
[math] j [/math]성분 : [math]{\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} \frac{r(sin\theta cos\Delta\theta + cos\theta sin\Delta\theta)+\Delta r(sin\theta cos\Delta\theta + cos\theta sin\Delta\theta) -r sin \theta}{\Delta t} [/math]
여기서 [math] sin \Delta\theta \approx \Delta\theta , cos \Delta\theta \approx 1 [/math] 를 이용하여 다시 간단히 하면
[math] i [/math]성분 : [math]{\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} \frac{r(cos\theta - sin\theta \Delta\theta)+\Delta r(cos\theta - sin\theta \Delta\theta) -r cos \theta}{\Delta t} = {\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} (\frac{\Delta r cos \theta}{\Delta t} - \frac{(r-\Delta r) sin \theta\Delta\theta}{\Delta t} ) [/math]
[math] j [/math]성분 : [math]{\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} \frac{r(sin\theta + cos\theta \Delta\theta)+\Delta r(sin\theta + cos\theta \Delta\theta) -r sin\theta}{\Delta t} = {\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} (\frac{\Delta r sin \theta}{\Delta t} + \frac{(r+\Delta r) cos \theta \Delta\theta}{\Delta t} ) [/math]
매우 짧은 시간 간격 [math]\Delta\ t \approx 0[/math] 에 대하여
매우 짧은 거리 변화 [math]\Delta\ r \approx 0[/math] 일 것이므로
[math] i [/math]성분 : [math] {\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} (\frac{\Delta r cos \theta}{\Delta t} - \frac{r sin \theta\Delta\theta}{\Delta t} ) [/math]
[math] j [/math]성분 : [math] {\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} (\frac{\Delta r sin \theta}{\Delta t} + \frac{r cos \theta\Delta\theta}{\Delta t} ) [/math]
[math] {\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} \frac{\Delta r}{\Delta t} [/math]를 반지름 방향 속도 [math] \dot{r} [/math] 라 정의하고
[math] {\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} \frac{\Delta\theta}{\Delta t} [/math]를 각속도 [math] \omega [/math] 라 정의하면
[math] v [/math] = [math] {\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}}\frac{r(t+ \Delta\ t) - r(t)}{\Delta t} [/math] = [math] ( [/math] [math] \dot{r} [/math] [math] cos \theta - [/math] [math] r \omega [/math] [math]sin \theta )[/math] [math] i + [/math] [math] ( [/math] [math] \dot{r} [/math] [math] sin \theta + [/math] [math] r \omega [/math] [math] cos \theta ) j[/math] 를 얻으며,
만약 각속도 벡터 [math] \omega [/math] [math] = [/math] [math] \omega [/math] [math] k [/math] 를 정의하면
최종적으로 식 [math] v [/math] [math] = [/math] [math] \dot{r} [/math] [math] u_r + \omega \times [/math] [math] r [/math] 가 성립한다 [1]
1.1 방향벡터의 도함수
식1 의 [math] v [/math] [math] = [/math] [math] \dot{r} [/math] [math] u_r + \omega \times [/math] [math] r [/math] 를 잘 보자,
이는 [math] r [/math] [math] = [/math] [math] r [/math] [math] u_r [/math]의 양변을 시간에 대해 미분한 것과 같다.
미분 해 보면,[math] \dot{r} [/math] [math] = [/math] [math] v [/math] [math] = [/math] [math] \dot{r} [/math] [math] u_r + [/math] [math] r [/math] [math] \dot{u_r} [/math]
이는 목차 1에서 구한 [math] v [/math] [math] = [/math] [math] \dot{r} [/math] [math] u_r + \omega \times [/math] [math] r [/math]와 같아야 하므로 다음이 성립한다.
[math] r [/math] [math] \dot{u_r} = \omega \times [/math] [math] r [/math]
양 변을 [math] r [/math] 로 나누어 더 간단히 정리하면
[math] \dot{u_r} = \omega \times u_r [/math] [2]
2 질점의 가속도
정의에 따라 식 1을 [math] v [/math] [math] = [/math] [math] \dot{r} [/math] [math] u_r + \omega \times [/math] [math] r [/math] 를 시간에 대해 미분하기만 하면
[math] \dot{v} [/math] [math] = [/math] [math] a [/math] [math] = [/math] [math] \ddot{r} [/math] [math] u_r + [/math] [math] \dot{r} [/math] [math] \dot{u_r} + [/math] [math] \dot{\omega} \times [/math] [math] r [/math] [math] + [/math] [math] \omega \times [/math] [math] \dot{r} [/math] 여기서 식 1과 2에 의해
[math] \dot{r} [/math] [math] = [/math] [math] \dot{r} [/math] [math] u_r + \omega \times [/math] [math] r [/math] 와
[math] \dot{u_r} = \omega \times u_r [/math] 가 성립하므로
[math] a [/math] [math] = [/math] [math] \ddot{r} [/math] [math] u_r + [/math] [math] \dot{r} [/math] [math] \omega \times u_r + [/math] [math] \dot{\omega} \times [/math] [math] r [/math] [math] + [/math] [math] \omega \times [/math] [math] {( } [/math] [math] \dot{r} [/math] [math] u_r + \omega \times [/math] [math] r [/math] [math] {)} [/math] 괄호 항을 전개하여 정리하면 최종적으로
[math] a [/math] [math] = [/math] [math] \ddot{r} [/math] [math] u_r + 2[/math] [math] \dot{r} [/math] [math] \omega \times u_r + [/math] [math] \dot{\omega} \times [/math] [math] r [/math] [math] + [/math] [math] \omega \times {( } [/math] [math] \omega \times [/math] [math] r [/math] [math] {)} [/math] [3]
식 3의 [math] 2 [/math] [math] \dot{r} [/math] [math] \omega \times u_r [/math] 을 코리올리 가속도 라 한다
코리올리 효과 참조.