치환적분 문서 원본 보기

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= 부정적분 =
== 개요 ==
복잡한 합성함수를 적분할때 사용되는 방법이다. 보통 합성함수를 적분할때 먼저 치환적분을 해본 후 치환적분이 먹히지 않으면 [[부분적분]]법을 쓴다. 다만 둘 다 먹히지 않는 함수들도 상당히 많다. 단적인 예로 <math> \displaystyle \frac{\sin(x)}{x} </math>라거나 <math>e^{-x^2}</math>이라거나..[* 사족으로 이런 함수를 이른바 [[초등함수]] 표현이 불가능한 부정적분이 있다고 한다.] 둘 다 먹히지 않는다면 그저 [[급수]]로 나타내서 적분하거나 [[수치해석]]만 믿을 수 밖에...
치환적분법은 다음과 같다.
><math> \displaystyle \int f\left ( x \right )dx=\int f\left ( g\left ( t \right ) \right )g'\left ( t \right )dt</math>
>단, <math>\displaystyle x=g\left ( t \right )</math>[* 보통 <math>t=x</math>에 관한 함수꼴로 두는데 이럴 때에 다시 양변에 <math>x</math>에 관한 함수의 역함수를 먹여도 된다.그러면 이 꼴이 된다.]
== 예제 1 ==
<math>\displaystyle \int \frac{f'\left ( x \right )}{f\left ( x \right )}dx</math>를 구해보자.
 1. 일단 <math>\displaystyle t=f\left ( x \right )</math>로 둔다.
 1. 그러면 <math>\displaystyle f'\left(x \right)= \frac{dt}{dx} </math>
 1. 따라서 <math>\displaystyle \int \frac{f'\left ( x \right )}{f\left ( x \right )}dx =\int \frac{1}{t}dt</math>이다.
 1. 이것의 부정적분은 [[부정적분표#s-3.2|이곳에서]] 보듯이 <math>\displaystyle \ln \left | t \right |+C</math>이다.
 1. 위에서 <math>\displaystyle t=f\left ( x \right )</math>이라 하였으므로, 그대로 대입하면 최종적으로 <math>\displaystyle \ln\left | f\left ( x \right ) \right |+C</math>이 된다.
== 예제 2 ==
<math>\displaystyle \int \tan x dx</math>

<math>\displaystyle =\int \frac{\sin x}{\cos x}dx</math>

<math>\displaystyle =-\int \frac{\left(\cos x\right)'}{\cos x}dx</math>

<math>\displaystyle =-\ln\left | \cos x \right |+C</math>

== 예제 3[* 이 예제에서 a=2, b=0이면 <math>e^x</math>의 곡선의 길이를 구하는 함수가 된다.] ==
아래에서 <math>\displaystyle e^{ax+b}=t</math>이고, <math>\displaystyle \sqrt{1+t}=k</math>이다.

<math>\displaystyle \int \sqrt{1+e^{ax+b}}dx</math>

<math>\displaystyle =\int {\sqrt{1+t}\over{at}}dt</math>

<math>\displaystyle =\frac{1}{a}\int \frac{2k^2 }{k^{2}-1}dk</math>

<math>\displaystyle =\frac{1}{a} \int \left(2+{1\over k-1}-{1\over k+1} \right)dk=\frac{1}{a} \left(2k+ \ln\left| {k-1 \over k+1} \right| \right)+C </math>

<math>\displaystyle =\frac{1}{a} \left(2\sqrt{1+t}-\ln\left | \frac{\sqrt{1+t}-1}{\sqrt{1+t}+1} \right | \right)+C</math>

<math>\displaystyle =\frac{1}{a} \left(2\sqrt{1+e^{ax+b}}-\ln\left | \frac{\sqrt{1+e^{ax+b}}-1}{\sqrt{1+e^{ax+b}}+1} \right | \right)+C</math>

== ∫√(a²-x²)dx 꼴 ==
> <math>\displaystyle \int \sqrt{a^{2}-x^{2}}dx</math>
위와 같은 꼴의 적분을 치환하여 적분하는 스킬.

일단 <math>\displaystyle x=a\sin t \left( -\frac{\pi}{2} \le t \le \frac{\pi}{2} \right)</math>으로 둔다. 이 식의 양변을 <math>x</math>에 대해서 미분하면 <math>\displaystyle \frac{dx}{dt} = a \cos x</math>이고 이 식을 <math>\displaystyle dx = a \cos x dt</math>로 바꾸어 본래의 적분에 대입하면,
<math>\displaystyle \int \sqrt{a^{2}-a^{2}\sin^{2}t}\, \, \, a \cos t dt</math>

<math>\displaystyle = \int \sqrt{a^{2}\left ( 1-\sin^{2}t \right )}\, \, \, a \cos t dt</math>

<math>\displaystyle = \int a \cos t\sqrt{a^{2}\cos^{2}t}dt</math>

<math>\displaystyle = a\int \cos t\sqrt{a^{2}\cos^{2}t}dt</math>

<math>\displaystyle = a^{2}\int \cos^{2}tdt</math>  [* 주어진 t의 범위에서 <math>\cos{t} \geq 0</math>이므로]

<math>\displaystyle = a^2 \int {1 + \cos{2t}\over 2} dt </math>

<math>\displaystyle = a^{2} \left( \frac{1}{2}t + \frac{1}{4}\sin{2t} + C \right) = \frac{a^{2}t + a^{2}\sin{t}\cos{t}}{2}+C' = \frac{a^{2}\arcsin(\frac{x}{a}) + a^{2} t \cos{ \left( \arcsin(\frac{x}{a}) \right) }}{2}+C'</math>[* <math>\displaystyle x=a\sin t</math>에서  <math>\displaystyle \frac{x}{a}=\sin t</math>이므로, <math>\displaystyle t=\arcsin\left(\frac{x}{a}\right)</math>]


<math>{\cos\left ( \arcsin(\frac{x}{a}) \right )}</math>를 구하기 위해 <math>\displaystyle  \sin^{2}t+\cos^{2}t=1</math>에 <math>t = \arcsin \theta</math>를 대입하면,

<math>\displaystyle  \sin^{2}\left (\arcsin \theta \right )+\cos^{2}\left (\arcsin \theta \right )=1</math>

<math>\displaystyle  x^{2}+\cos^{2}\left (\arcsin \theta \right )=1 \, \, \, \Leftrightarrow \, \, \, \displaystyle  \cos^{2}\left (\arcsin \theta \right )=1-x^{2}</math>

<math>\displaystyle \Leftrightarrow \, \cos \left ( \arcsin \theta \right )= \sqrt{1-x^{2}} \, \, \left(\because \cos( \arcsin \theta ) > 0, \, \text {where} -\frac{\pi}{2}\leq \arcsin \theta \leq -\frac{\pi}{2} \right)</math>

<math>\displaystyle \theta =  \frac{x}{a}</math>를 대입하면, <math>\displaystyle \cos \left \{ \arcsin\left ( \frac{x}{a} \right ) \right \}=\sqrt{1-\left ( \frac{x}{a} \right )^{2}}</math>이므로 이를 정리하면

<math>\displaystyle \int \sqrt{a^{2}-x^{2}}dx=\frac{x\sqrt{a^{2}-x^{2}}+a^{2}\arcsin \left ( \frac{x}{a} \right )}{2}+C</math>
== ∫(sin(lnx)/x)dx 꼴 ==
> <math>\displaystyle \int \frac{\sin \left ( \ln x\right)}{x}dx</math>
위와 같은 꼴의 부정적분.

<math>\displaystyle \ln x=t </math>로 두면, <math>\displaystyle x=e^{t}=g\left ( t \right ) </math>
<math>\Leftrightarrow \, \displaystyle g'\left ( t \right )=e^{t} </math>
<math>\displaystyle x=e^{t}</math>를 원래의 식에 대입하면,
<math>\displaystyle \int \frac{\sin\left \{ \ln\left ( e^{t} \right ) \right \}}{e^{t}} e^{t}dt = \displaystyle \int \sin tdt=-\cos t+C </math>
<math>\displaystyle \ln x=t </math>로 두었으므로 복원하면,
<math>\displaystyle \therefore \int \frac{\sin\left ( \ln x \right )}{x}dx=-\cos \left ( \ln\left | x \right | \right )+C </math> ■
= 정적분 =
== 개요 ==
> 닫힌 구간 <math>\displaystyle \left [ a,b \right ]</math>에서 연속인 함수 <math>\displaystyle f \left (x \right )</math>에 대하여 미분가능한 함수 <math>\displaystyle x=g\left (t \right )</math> 의 도함수 <math>\displaystyle g'\left ( t \right )</math>가 닫힌 구간 <math>\displaystyle \left [ \alpha ,\beta \right ]</math>에서 연속이고 <math>\displaystyle a=g\left ( \alpha \right ), b=g\left ( \beta \right )</math>이면, <math>\displaystyle \int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx=\int_{\alpha}^{\beta}f\left( g\left ( t \right ) \right)g'\left ( t \right )dt=\int_{g^{-1}\left ( a \right )}^{g^{-1}\left ( b \right )}f\left(g\left ( t \right ) \right)g'\left ( t \right )dt</math> [* <math>\displaystyle g^{-1}\left ( t \right )</math>는 <math>\displaystyle g\left ( t \right )</math>의 역함수] 
=== 예제 1 ===
> <math>\displaystyle\int_{0}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx</math>

<math>\displaystyle x=a\sin t \, \left( -\frac{\pi}{2} \le t \le \frac{\pi}{2} \right)</math>로 두면,
<math>x=0</math>일 때 <math>t=0</math>, <math>\displaystyle x=a</math>일 때 <math>\displaystyle t=\frac{\pi}{2}</math>이다.
또한 <math>\displaystyle \frac{dx}{dt}=a\cos t</math>이므로,
<math>\displaystyle\int_{0}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx</math>

<math>\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{a^{2}-\left(a^{2} \sin^{2}t \right)} a \cos t dt</math>

<math>\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{a^{2}\left(1-\sin^{2}t \right)} a\cos t dt</math>

<math>\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{a^{2}\cos^{2}t}\; a\cos t dt</math>

<math>\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}a\cos t\; a\cos t dt</math>

<math>\displaystyle =a^{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}t dt</math>

<math>\displaystyle =a^{2}\left[\frac{t+\sin t\cos t}{2} \right]^{\frac{\pi}{2}}_0= \displaystyle \frac{\pi a^{2}}{4}</math>

참고로 이 정적분값은 <math>a</math>인 사분원의 넓이와 같으므로[* <math>\displaystyle y=\sqrt{a^{2} - x^{2}}</math> 이라고 두고 양변을 제곱하면 <math>x^{2} + y^{2} = a^{2} \, \left(y \ge 0\right)</math>이 되므로.] 따라서 이를 4배하면 반지름이 <math>a</math>인 원의 넓이 공식인 <math>\pi a^{2}</math>을 증명할 수 있다.
[[분류:해석학]]