목차
[숨기기]1 부정적분
1.1 개요
복잡한 합성함수를 적분할때 사용되는 방법이다. 보통 합성함수를 적분할때 먼저 치환적분을 해본 후 치환적분이 먹히지 않으면 부분적분법을 쓴다. 다만 둘 다 먹히지 않는 함수들도 상당히 많다. 단적인 예로 sin(x)x라거나 e−x2이라거나..[1] 둘 다 먹히지 않는다면 그저 급수로 나타내서 적분하거나 수치해석만 믿을 수 밖에...
치환적분법은 다음과 같다.
∫f(x)dx=∫f(g(t))g′(t)dt단, x=g(t)[2]
1.2 예제 1
∫f′(x)f(x)dx를 구해보자.
- 일단 t=f(x)로 둔다.
- 그러면 f′(x)=dtdx
- 따라서 ∫f′(x)f(x)dx=∫1tdt이다.
- 이것의 부정적분은 이곳에서 보듯이 ln|t|+C이다.
- 위에서 t=f(x)이라 하였으므로, 그대로 대입하면 최종적으로 ln|f(x)|+C이 된다.
1.3 예제 2
∫tanxdx
=∫sinxcosxdx
=−∫(cosx)′cosxdx
=−ln|cosx|+C
1.4 예제 3[3]
아래에서 eax+b=t이고, √1+t=k이다.
∫√1+eax+bdx
=∫√1+tatdt
=1a∫2k2k2−1dk
=1a∫(2+1k−1−1k+1)dk=1a(2k+ln|k−1k+1|)+C
=1a(2√1+t−ln|√1+t−1√1+t+1|)+C
=1a(2√1+eax+b−ln|√1+eax+b−1√1+eax+b+1|)+C
1.5 ∫√(a²-x²)dx 꼴
∫√a2−x2dx
위와 같은 꼴의 적분을 치환하여 적분하는 스킬.
일단 x=asint(−π2≤t≤π2)으로 둔다. 이 식의 양변을 x에 대해서 미분하면 dxdt=acosx이고 이 식을 dx=acosxdt로 바꾸어 본래의 적분에 대입하면,
∫√a2−a2sin2tacostdt
=∫√a2(1−sin2t)acostdt
=∫acost√a2cos2tdt
=a∫cost√a2cos2tdt
=a2∫cos2tdt [4]
=a2∫1+cos2t2dt
=a2(12t+14sin2t+C)=a2t+a2sintcost2+C′=a2arcsin(xa)+a2tcos(arcsin(xa))2+C′[5]
cos(arcsin(xa))를 구하기 위해 sin2t+cos2t=1에 t=arcsinθ를 대입하면,
sin2(arcsinθ)+cos2(arcsinθ)=1
x2+cos2(arcsinθ)=1⇔cos2(arcsinθ)=1−x2
⇔cos(arcsinθ)=√1−x2(∵
\displaystyle \theta = \frac{x}{a}를 대입하면, \displaystyle \cos \left \{ \arcsin\left ( \frac{x}{a} \right ) \right \}=\sqrt{1-\left ( \frac{x}{a} \right )^{2}}이므로 이를 정리하면
\displaystyle \int \sqrt{a^{2}-x^{2}}dx=\frac{x\sqrt{a^{2}-x^{2}}+a^{2}\arcsin \left ( \frac{x}{a} \right )}{2}+C
1.6 ∫(sin(lnx)/x)dx 꼴
\displaystyle \int \frac{\sin \left ( \ln x\right)}{x}dx
위와 같은 꼴의 부정적분.
\displaystyle \ln x=t 로 두면, \displaystyle x=e^{t}=g\left ( t \right )
\Leftrightarrow \, \displaystyle g'\left ( t \right )=e^{t}
\displaystyle x=e^{t}를 원래의 식에 대입하면,
\displaystyle \int \frac{\sin\left \{ \ln\left ( e^{t} \right ) \right \}}{e^{t}} e^{t}dt = \displaystyle \int \sin tdt=-\cos t+C
\displaystyle \ln x=t 로 두었으므로 복원하면,
\displaystyle \therefore \int \frac{\sin\left ( \ln x \right )}{x}dx=-\cos \left ( \ln\left | x \right | \right )+C ■
2 정적분
2.1 개요
닫힌 구간 \displaystyle \left [ a,b \right ]에서 연속인 함수 \displaystyle f \left (x \right )에 대하여 미분가능한 함수 \displaystyle x=g\left (t \right ) 의 도함수 \displaystyle g'\left ( t \right )가 닫힌 구간 \displaystyle \left [ \alpha ,\beta \right ]에서 연속이고 \displaystyle a=g\left ( \alpha \right ), b=g\left ( \beta \right )이면, \displaystyle \int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx=\int_{\alpha}^{\beta}f\left( g\left ( t \right ) \right)g'\left ( t \right )dt=\int_{g^{-1}\left ( a \right )}^{g^{-1}\left ( b \right )}f\left(g\left ( t \right ) \right)g'\left ( t \right )dt [6]
2.1.1 예제 1
\displaystyle\int_{0}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx
\displaystyle x=a\sin t \, \left( -\frac{\pi}{2} \le t \le \frac{\pi}{2} \right)로 두면,
x=0일 때 t=0, \displaystyle x=a일 때 \displaystyle t=\frac{\pi}{2}이다.
또한 \displaystyle \frac{dx}{dt}=a\cos t이므로,
\displaystyle\int_{0}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx
\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{a^{2}-\left(a^{2} \sin^{2}t \right)} a \cos t dt
\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{a^{2}\left(1-\sin^{2}t \right)} a\cos t dt
\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{a^{2}\cos^{2}t}\; a\cos t dt
\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}a\cos t\; a\cos t dt
\displaystyle =a^{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}t dt
\displaystyle =a^{2}\left[\frac{t+\sin t\cos t}{2} \right]^{\frac{\pi}{2}}_0= \displaystyle \frac{\pi a^{2}}{4}
참고로 이 정적분값은 a인 사분원의 넓이와 같으므로[7] 따라서 이를 4배하면 반지름이 a인 원의 넓이 공식인 \pi a^{2}을 증명할 수 있다.- 이동 ↑ 사족으로 이런 함수를 이른바 초등함수 표현이 불가능한 부정적분이 있다고 한다.
- 이동 ↑ 보통 t=x에 관한 함수꼴로 두는데 이럴 때에 다시 양변에 x에 관한 함수의 역함수를 먹여도 된다.그러면 이 꼴이 된다.
- 이동 ↑ 이 예제에서 a=2, b=0이면 e^x의 곡선의 길이를 구하는 함수가 된다.
- 이동 ↑ 주어진 t의 범위에서 \cos{t} \geq 0이므로
- 이동 ↑ \displaystyle x=a\sin t에서 \displaystyle \frac{x}{a}=\sin t이므로, \displaystyle t=\arcsin\left(\frac{x}{a}\right)
- 이동 ↑ \displaystyle g^{-1}\left ( t \right )는 \displaystyle g\left ( t \right )의 역함수
- 이동 ↑ \displaystyle y=\sqrt{a^{2} - x^{2}} 이라고 두고 양변을 제곱하면 x^{2} + y^{2} = a^{2} \, \left(y \ge 0\right)이 되므로.