치환적분

1 부정적분

1.1 개요

복잡한 합성함수를 적분할때 사용되는 방법이다. 보통 합성함수를 적분할때 먼저 치환적분을 해본 후 치환적분이 먹히지 않으면 부분적분법을 쓴다. 다만 둘 다 먹히지 않는 함수들도 상당히 많다. 단적인 예로 [math] \displaystyle \frac{\sin(x)}{x} [/math]라거나 [math]e^{-x^2}[/math]이라거나..[1] 둘 다 먹히지 않는다면 그저 급수로 나타내서 적분하거나 수치해석만 믿을 수 밖에...
치환적분법은 다음과 같다.

[math] \displaystyle \int f\left ( x \right )dx=\int f\left ( g\left ( t \right ) \right )g'\left ( t \right )dt[/math]

단, [math]\displaystyle x=g\left ( t \right )[/math][2]

1.2 예제 1

[math]\displaystyle \int \frac{f'\left ( x \right )}{f\left ( x \right )}dx[/math]를 구해보자.

  1. 일단 [math]\displaystyle t=f\left ( x \right )[/math]로 둔다.
  2. 그러면 [math]\displaystyle f'\left(x \right)= \frac{dt}{dx} [/math]
  3. 따라서 [math]\displaystyle \int \frac{f'\left ( x \right )}{f\left ( x \right )}dx =\int \frac{1}{t}dt[/math]이다.
  4. 이것의 부정적분은 이곳에서 보듯이 [math]\displaystyle \ln \left | t \right |+C[/math]이다.
  5. 위에서 [math]\displaystyle t=f\left ( x \right )[/math]이라 하였으므로, 그대로 대입하면 최종적으로 [math]\displaystyle \ln\left | f\left ( x \right ) \right |+C[/math]이 된다.

1.3 예제 2

[math]\displaystyle \int \tan x dx[/math]

[math]\displaystyle =\int \frac{\sin x}{\cos x}dx[/math]

[math]\displaystyle =-\int \frac{\left(\cos x\right)'}{\cos x}dx[/math]

[math]\displaystyle =-\ln\left | \cos x \right |+C[/math]

1.4 예제 3[3]

아래에서 [math]\displaystyle e^{ax+b}=t[/math]이고, [math]\displaystyle \sqrt{1+t}=k[/math]이다.

[math]\displaystyle \int \sqrt{1+e^{ax+b}}dx[/math]

[math]\displaystyle =\int {\sqrt{1+t}\over{at}}dt[/math]

[math]\displaystyle =\frac{1}{a}\int \frac{2k^2 }{k^{2}-1}dk[/math]

[math]\displaystyle =\frac{1}{a} \int \left(2+{1\over k-1}-{1\over k+1} \right)dk=\frac{1}{a} \left(2k+ \ln\left| {k-1 \over k+1} \right| \right)+C [/math]

[math]\displaystyle =\frac{1}{a} \left(2\sqrt{1+t}-\ln\left | \frac{\sqrt{1+t}-1}{\sqrt{1+t}+1} \right | \right)+C[/math]

[math]\displaystyle =\frac{1}{a} \left(2\sqrt{1+e^{ax+b}}-\ln\left | \frac{\sqrt{1+e^{ax+b}}-1}{\sqrt{1+e^{ax+b}}+1} \right | \right)+C[/math]

1.5 ∫√(a²-x²)dx 꼴

[math]\displaystyle \int \sqrt{a^{2}-x^{2}}dx[/math]

위와 같은 꼴의 적분을 치환하여 적분하는 스킬.

일단 [math]\displaystyle x=a\sin t \left( -\frac{\pi}{2} \le t \le \frac{\pi}{2} \right)[/math]으로 둔다. 이 식의 양변을 [math]x[/math]에 대해서 미분하면 [math]\displaystyle \frac{dx}{dt} = a \cos x[/math]이고 이 식을 [math]\displaystyle dx = a \cos x dt[/math]로 바꾸어 본래의 적분에 대입하면,
[math]\displaystyle \int \sqrt{a^{2}-a^{2}\sin^{2}t}\, \, \, a \cos t dt[/math]

[math]\displaystyle = \int \sqrt{a^{2}\left ( 1-\sin^{2}t \right )}\, \, \, a \cos t dt[/math]

[math]\displaystyle = \int a \cos t\sqrt{a^{2}\cos^{2}t}dt[/math]

[math]\displaystyle = a\int \cos t\sqrt{a^{2}\cos^{2}t}dt[/math]

[math]\displaystyle = a^{2}\int \cos^{2}tdt[/math] [4]

[math]\displaystyle = a^2 \int {1 + \cos{2t}\over 2} dt [/math]

[math]\displaystyle = a^{2} \left( \frac{1}{2}t + \frac{1}{4}\sin{2t} + C \right) = \frac{a^{2}t + a^{2}\sin{t}\cos{t}}{2}+C' = \frac{a^{2}\arcsin(\frac{x}{a}) + a^{2} t \cos{ \left( \arcsin(\frac{x}{a}) \right) }}{2}+C'[/math][5]


[math]{\cos\left ( \arcsin(\frac{x}{a}) \right )}[/math]를 구하기 위해 [math]\displaystyle \sin^{2}t+\cos^{2}t=1[/math]에 [math]t = \arcsin \theta[/math]를 대입하면,

[math]\displaystyle \sin^{2}\left (\arcsin \theta \right )+\cos^{2}\left (\arcsin \theta \right )=1[/math]

[math]\displaystyle x^{2}+\cos^{2}\left (\arcsin \theta \right )=1 \, \, \, \Leftrightarrow \, \, \, \displaystyle \cos^{2}\left (\arcsin \theta \right )=1-x^{2}[/math]

[math]\displaystyle \Leftrightarrow \, \cos \left ( \arcsin \theta \right )= \sqrt{1-x^{2}} \, \, \left(\because \cos( \arcsin \theta ) \gt 0, \, \text {where} -\frac{\pi}{2}\leq \arcsin \theta \leq -\frac{\pi}{2} \right)[/math]

[math]\displaystyle \theta = \frac{x}{a}[/math]를 대입하면, [math]\displaystyle \cos \left \{ \arcsin\left ( \frac{x}{a} \right ) \right \}=\sqrt{1-\left ( \frac{x}{a} \right )^{2}}[/math]이므로 이를 정리하면

[math]\displaystyle \int \sqrt{a^{2}-x^{2}}dx=\frac{x\sqrt{a^{2}-x^{2}}+a^{2}\arcsin \left ( \frac{x}{a} \right )}{2}+C[/math]

1.6 ∫(sin(lnx)/x)dx 꼴

[math]\displaystyle \int \frac{\sin \left ( \ln x\right)}{x}dx[/math]

위와 같은 꼴의 부정적분.

[math]\displaystyle \ln x=t [/math]로 두면, [math]\displaystyle x=e^{t}=g\left ( t \right ) [/math]
[math]\Leftrightarrow \, \displaystyle g'\left ( t \right )=e^{t} [/math]
[math]\displaystyle x=e^{t}[/math]를 원래의 식에 대입하면,
[math]\displaystyle \int \frac{\sin\left \{ \ln\left ( e^{t} \right ) \right \}}{e^{t}} e^{t}dt = \displaystyle \int \sin tdt=-\cos t+C [/math]
[math]\displaystyle \ln x=t [/math]로 두었으므로 복원하면,
[math]\displaystyle \therefore \int \frac{\sin\left ( \ln x \right )}{x}dx=-\cos \left ( \ln\left | x \right | \right )+C [/math] ■

2 정적분

2.1 개요

닫힌 구간 [math]\displaystyle \left [ a,b \right ][/math]에서 연속인 함수 [math]\displaystyle f \left (x \right )[/math]에 대하여 미분가능한 함수 [math]\displaystyle x=g\left (t \right )[/math] 의 도함수 [math]\displaystyle g'\left ( t \right )[/math]가 닫힌 구간 [math]\displaystyle \left [ \alpha ,\beta \right ][/math]에서 연속이고 [math]\displaystyle a=g\left ( \alpha \right ), b=g\left ( \beta \right )[/math]이면, [math]\displaystyle \int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx=\int_{\alpha}^{\beta}f\left( g\left ( t \right ) \right)g'\left ( t \right )dt=\int_{g^{-1}\left ( a \right )}^{g^{-1}\left ( b \right )}f\left(g\left ( t \right ) \right)g'\left ( t \right )dt[/math] [6]

2.1.1 예제 1

[math]\displaystyle\int_{0}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx[/math]

[math]\displaystyle x=a\sin t \, \left( -\frac{\pi}{2} \le t \le \frac{\pi}{2} \right)[/math]로 두면,
[math]x=0[/math]일 때 [math]t=0[/math], [math]\displaystyle x=a[/math]일 때 [math]\displaystyle t=\frac{\pi}{2}[/math]이다.
또한 [math]\displaystyle \frac{dx}{dt}=a\cos t[/math]이므로,
[math]\displaystyle\int_{0}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx[/math]

[math]\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{a^{2}-\left(a^{2} \sin^{2}t \right)} a \cos t dt[/math]

[math]\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{a^{2}\left(1-\sin^{2}t \right)} a\cos t dt[/math]

[math]\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{a^{2}\cos^{2}t}\; a\cos t dt[/math]

[math]\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}a\cos t\; a\cos t dt[/math]

[math]\displaystyle =a^{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}t dt[/math]

[math]\displaystyle =a^{2}\left[\frac{t+\sin t\cos t}{2} \right]^{\frac{\pi}{2}}_0= \displaystyle \frac{\pi a^{2}}{4}[/math]

참고로 이 정적분값은 [math]a[/math]인 사분원의 넓이와 같으므로[7] 따라서 이를 4배하면 반지름이 [math]a[/math]인 원의 넓이 공식인 [math]\pi a^{2}[/math]을 증명할 수 있다.
  1. ↑ 사족으로 이런 함수를 이른바 초등함수 표현이 불가능한 부정적분이 있다고 한다.
  2. ↑ 보통 [math]t=x[/math]에 관한 함수꼴로 두는데 이럴 때에 다시 양변에 [math]x[/math]에 관한 함수의 역함수를 먹여도 된다.그러면 이 꼴이 된다.
  3. ↑ 이 예제에서 a=2, b=0이면 [math]e^x[/math]의 곡선의 길이를 구하는 함수가 된다.
  4. ↑ 주어진 t의 범위에서 [math]\cos{t} \geq 0[/math]이므로
  5. ↑ [math]\displaystyle x=a\sin t[/math]에서 [math]\displaystyle \frac{x}{a}=\sin t[/math]이므로, [math]\displaystyle t=\arcsin\left(\frac{x}{a}\right)[/math]
  6. ↑ [math]\displaystyle g^{-1}\left ( t \right )[/math]는 [math]\displaystyle g\left ( t \right )[/math]의 역함수
  7. ↑ [math]\displaystyle y=\sqrt{a^{2} - x^{2}}[/math] 이라고 두고 양변을 제곱하면 [math]x^{2} + y^{2} = a^{2} \, \left(y \ge 0\right)[/math]이 되므로.