1 개요
고등학교 물리를 배우다가 일반 물리에서 전자기학을 배우게 되면서 가장 먼저 고등 물리에서 배우는 전자기학과의 차이점 중 하나이다.
[math] \int{ \vec{ E } \cdot d\vec{a} } = \dfrac{ Q_{\text{enc} } }{ \epsilon_0 }. \epsilon_0 [/math]은 유전율.
2 설명
가장 간단하고 쉬운 설명은 어떤 닫힌 공간에 있어서 그 공간의 총 전기선속에 영향을 주는 것은 공간 내부의 전하뿐이라는 것이다.[1] 프랑스의 과학자 쿨롱이 발견한 두 전하간의 상호작용하는 힘을 나타내는 식, 바로 쿨롱의 힘이 근본이 된다. 이 때 어떤 전하가 다른 전하에 주게 되는 힘을 단위 전하당 가해지게 되는 힘을 나타낸것이 전기장이다.[2] 이 전기장에 면적을 곱한 것[3]이 전기 선속[4]이다. 이 때 한 공간에 폐곡면을 잡았을 때 그 폐곡면 내부에 있는 전하의 값에 유전율을 나눈 값이 폐곡면에 해당하는 총 전기 선속 값이라는 것이다.[5]
[math]{ \epsilon_0 }[/math]라는 상수는 해당 전자가 존재하는 주변 매질의 상태에 따라 변하기 때문에, [math]\vec{ E }[/math] 대신 전기장에 유전율을 곱한 값인 [math]\vec{ D }[/math](전속밀도)를 사용하기도 한다. 이 경우 전속밀도는 주변 상황에 따라 변하지 않는 근본량이여서 주변 환경을 고려할 필요가 없고, 적분형태는 [math]{ Q_{\text{enc} } }[/math], 미분형태는 [math]{\rho}[/math] 라는 값으로 비교적 간단해진다.
2.1 확장
[math] \displaystyle \nabla \cdot \vec{E} = {\rho \over \epsilon}[/math] [6]
∯[math] \displaystyle {}_{ \partial \Omega} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{S}= \frac{1}{ \epsilon_{0}} \iiint_{ \Omega} \rho dV[/math]
모라고요?
가우스 법칙은 맥스웰 방정식으로 확장할 수 있다. 자세한 사항은 맥스웰 방정식 참조.
2.2 증명
- ↑ 물론 총 전기선속이 0이라 해서 그 공간의 전기장이 0인 것은 아니다. 전기 쌍극자만 봐도 알 수 있는 것
- ↑ 이것을 설명하는 이론이 바로 장이론. 전자기학에서는 원천전하로부터 전기장이 발생해 이 전기장이 다른 전하에 힘을 주게 된다는 것이다. 쿨롱의 힘에서 힘이 가해지는 전하의 전하를 나누고 식을 봤을 때 거리 제곱의 역수에 비례하는 것으로 직관적으로 알 수 있다. 자세한 것은 전기장 참고
- ↑ 정확히 말하면 면적벡터에 내적한 것
- ↑ 전기장을 미소면적에 대해 내적한 값이 미소 전기 선속이므로 이것을 적분한 값이 전확인 그 면적에 해당하는 전기 선속 값이다.
- ↑ 물론 진공속이 아닌 경우 유도전하가 생기므로 두 개의 경우로 나타낼 수 있게 된다.
- ↑ 가우스 법칙의 미분형태, 특정 지점에서 전기장의 변화는 해당 지점의 전하 밀도를 유전율로 나눈 값과 같다. 즉 전하가 존재하지 않는 부분의 전기장은 일정하다.