공적분

Cointegration.

1 소개

계량경제학에서 다루는, 두 시계열 사이에 존재하는 통계적 특성 중 하나.

2 정의

공적분 관계가 성립하려면 어떤 두 개 이상의 시계열(시간이 지남에 따라 변화하는 변수의 시간별 값을 기록한 자료)이 있을 때 다음과 같은 성질이 성립해야 한다.

• 각각의 시계열들이 모두 같은 order of integration을 가진다.
• 시계열들의 선형 결합으로 만들어진 새로운 시계열은 기존의 시계열들보다 더 낮은 order of integration을 가진다.

여기에서 order of integration이란 어떤 시계열이 정상적(stationary)이 되기 위해 필요한 차분(difference) 횟수를 말한다.

3 설명

공적분을 쉽게 설명하는 일화로 '취한 남편과 아내', 혹은 '취한 사람과 그의 개' 이야기가 있다. 아래에는 취한 사람과 개 이야기를 적어둔다.

어떤 취한 사람이 비틀거리며 어디론가 걷고 있다. 이 때 이 사람이 어디로 갈 지는 아무도 모른다. 다만 현재 자기가 있는 자리에서 어디론가 이동하려 한다는 것은 알 수 있다. 이것을 랜덤워크(random walk), 즉 무작위로 걷는다고 한다.(실제로 시계열 분석시 볼 수 있는 통계용어다.) 만약 이런 취한 사람이 두 명 있다면 그들은 서로 각자 알아서 길을 갈 것이다. 즉 랜덤워크의 특성을 지닌 시계열이 두 개 있는 셈이다. 이 두 취한 사람들이 걸어간 자취 사이에는 아무 상관관계도 없다. 그런데, 이런 취한 사람 한 명이 애완견비글을 목줄 묶어서 데리고 다닌다고 생각해보자. 그렇다면 애완견이 이리저리 무작위로 뛰어다닌다 해도 결국 이 취한 사람이 가는 길과 비슷한 길을 가게 된다. 즉 애완견이 있는 위치와 취한 사람이 있는 위치 사이의 거리는 일정 수준 이상을 벗어나지 않는 다는 것을 알 수 있다. 이 때 애완견의 위치를 나타내는 시계열과 취한 사람의 위치를 나타내는 시계열은 공적분 관계에 있다고 할 수 있다.

공적분 문제는 spurious correlation, 즉 허구적 상관관계 문제에 대해 연구하면서 알려지게 된다. 허구적 상관관계란 위에 설명한 두 취한 사람들 사이의 상관계수가 유의미하게 나오는 경우를 뜻하는데, 최초로 이런 상관관계에 대해 논의한 것은 Udne Yule의 1926년 논문으로 알려져 있다. 경제를 연구하면서 많은 학자들은 추세가 있는 시계열을 분석할 때 먼저 추세를 제거한 후 정상성을 띄는 시계열들에 대해 선형회귀를 하는 방식으로 경제지표에 대한 분석을 해왔는데 이러한 분석은 허구적 상관관계라는 문제 때문에 잘못된 결과를 낳을 수 있다. 이러한 것을 널리 알린 사람들이 Clive Granger와 Paul Newbold, 그리고 Robert Engle이다. 이들 중 그레인저와 엥글은 이 연구로 인하여 노벨 경제학상을 받았다.

서로 연관이 없는 두 랜덤워크 시계열 간에 상관관계가 있는지 검증했을 때 나타나는 p-value 값 분포의 예시. 보다시피 실제로 아무 관계도 없는 시계열인데도 불구하고 검증 결과 유의미한 상관관계가 있다고 나오는 비율이 엄청나게 높다.

4 관련 항목

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계량경제학

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