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기댓값

(기대값에서 넘어옴)

期待값[1], expected value

1 개요

어떤 확률 과정을 무한히 반복했을 때, 얻을 수 있는 값의 평균으로서 기대할 수 있는 값. 보다 엄밀하게 정의하면 기댓값은 확률 과정에서 얻을 수 있는 모든 값의 가중 평균이다.

2 정의

2.1 이산 확률 변수

이산 확률 변수 X의 확률분포표가 다음과 같다고 하자. (p(x)는 확률 질량 함수)

Xx1x2xn
p(x)p1p2pn

이때 이산 확률 변수 X의 기댓값은 E(X)와 같이 나타내고 다음과 같이 정의한다.

E(X)=ni=1xipi

이산 확률 변수 X가 취하는 값의 개수가 무한한 경우, 즉 자연수 집합과 일대일 대응 되는 경우에도 비슷하게 정의된다.

E(X)=i=1xipi

단, 이 급수는 절대수렴해야 한다. 이 급수가 절대수렴하지 않는 경우에는 기댓값이 존재하지 않는 것으로 본다.

2.2 연속 확률 변수

연속 확률 변수 X의 확률 밀도 함수가 f(x)라고 할 때 X의 기댓값은 다음과 같이 정의한다.

E(X)=xf(x)dx

이 적분은 이상적분이고, 이 적분값이 존재하지 않으면 마찬가지로 기댓값도 정의되지 않는다.

2.3 응용

어떤 함수 g에 대해 g(X)의 기댓값, 즉 E(g(X))는 다음과 같이 정의된다.

  • 이산 확률 변수 : E(g(X))=ni=1g(xi)pi
  • 연속 확률 변수 : E(g(X))=g(x)f(x)dx

예를 들어 X의 분산 V(X)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

V(X)=E((XE(X))2)=E(X2){E(X)}2

3 성질

상수 a의 기댓값은 a이다.

  • E(a)=a

기댓값은 선형성을 가진다. 즉, 다음이 성립한다. (X,Y는 확률변수, a는 상수)

  • E(X+Y)=E(X)+E(Y)
  • E(aX)=aE(X)

확률변수 X,Y가 서로 독립일 경우에는 다음의 성질도 성립한다.

  • E(XY)=E(X)E(Y)
  1. 이동 기대치(期待値)라고도 한다.