급수(수학)

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1 정의

수학에서의 급수는 수열 [math] a_1, a_2, a_3, ... , a_n[/math]까지 주어졌을 때 이것들을 다 더해 [math]a_1+a_2+a_3+...+a_n[/math]로 나타낸 것, 즉 수열의 합을 의미한다. 급수의 예는 등차수열, 등비수열의 합, 자연수의 거듭제곱의 합 등이 있다. 급수는 수열을 제 몇 항까지 더하느냐에 따라 유한급수랑 무한급수로 나눌 수 있으며, 유한급수는 수학 법칙을 이용해 계산할 수 있는 반면, 무한급수는 극한을 이용해 계산해야 한다. 다만 모든 급수의 값을 구할 수 있는 것은 아니다.

급수를 표현할 때는 [math]\Sigma[/math](시그마)를 이용하여 표현할 수 있다. 시그마를 쓰는 이유는 합을 뜻하는 SUM의 앞글자를 땄기 때문이다. 그리스 문자 [math]\Sigma[/math]는 영어의 S에 대응되기 때문. 때문에 영어권에서는 [math]\Sigma[/math]라고 쓰고 sum이라고 읽는 경우가 거의 대부분이다. 비슷한 것으로 [math]\Pi[/math]가 있는데, 이것은 곱하기 버전(곱하기의 영문 표현인 Product의 P에 대응).

[math] \displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k[/math]

• 시그마 밑에는 각 항수를 대입할 문자를 지정하고, 더하기를 시작할 첫 항을 지정한다. [math]k[/math]에 대한 일반항을 제1항부터 더할 것이라면, [math]k=1[/math]이라고 쓰면 된다. 만약 일반항에 여기서 지정한 문자가 아닌 다른 문자가 들어간다면 그 문자는 상수로 취급한다.(문자를 [math]k[/math]로 지정했는데 일반항에 [math]m[/math]이 튀어나온다거나)
• 시그마 위에는 마지막 항을 지정한다. 제 [math]n[/math]항까지 더할 것이라면, [math]n[/math]이라고 쓰면 된다.
• 시그마 오른쪽에는 일반항을 써준다. 항수가 들어갈 문자는 앞에서 지정한 문자와 같아야 한다. 예를 들어 [math]n[/math]에 대한 수열에서 일반항이 [math]3n-2[/math]이고 [math]n[/math]에 들어가는 수가 항수라면, [math]n[/math] 대신에 앞에서 지정한 문자 (본 예시에서는 [math]k[/math])로 바꿔 써야 한다.

2 유한급수

유한급수는 끝이 있는 수열의 합을 의미한다. 일반적으로 2015 현행 교육과정 기준으로 수학 II에서 배우는 수열의 합은 여기에 포함된다. 유한급수의 일반적인 성질은 다음과 같다.

1. [math] \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(a_k \pm b_k\right) = \sum_{k=1}^{n}a_k \pm \sum_{k=1}^{n}b_k[/math] (복호동순)
2. [math] \displaystyle \sum_{k=1}^{n}ca_k = c\sum_{k=1}^{n}a_k[/math] ([math]c[/math]는 [math]k[/math]에 관계없는 상수)
3. [math] \displaystyle \sum_{k=1}^{n}c = cn[/math]

증명은 급수를 각 항의 합으로 나타낸뒤 정리해주면 된다.

어린 시절 산수를 배울 때 1에서 10까지 다 더하면(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) 55가 된다는 재미있는 사실을 발견한 적 있을 것이다. 이것이 바로 일종의 유한급수이다. 이를 급수식으로 바꿔 보면

[math] \displaystyle \sum_{k=1}^{10}k[/math]

이렇게 된다.

3 무한급수

무한급수는 끝이 없는 수열의 합을 의미한다. 유한급수와 달리 제 몇 항까지 더한다는 것이 없으며 끝없이 나아간다. 무한급수를 시그마를 이용하여 표현하면 시그마 위에 있는 숫자가 ∞로 바뀐다.
[math] \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k[/math]
무한급수에서도 위 유한급수의 성질 1번, 2번은 각 급수가 수렴할 때 한해서 성립한다. 무한급수의 수렴에 대한 정확한 정의는 아래와 같다.

급수 [math] \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k[/math]의 [math]n[/math]항까지의 부분합을 [math]S_n[/math]로 나타내자. 이 때, 수열 [math]\left\{S_n\right\}[/math]가 어떤 실수 [math]S[/math]로 수렴할 때 급수가 수렴한다고 정의한다. 급수가 수렴하지 않으면 발산한다.

무한급수가 수렴하는지 발산하는지 확인하는 방법은 여러 가지가 있다. 하지만 판정법만으로는 수렴값을 구할 수는 없다. 자세한 판정법들은 아래 문단 참조.

5 무한급수의 수렴 판정법

아래 리스트만 봐도 알 수 있듯이, 엄청나게 다양한 수렴 판정법이 존재한다. 다만 이것이 저절로 급수의 값을 구하는 결과가 되진 않는다. 일반적으로 급수의 값을 찾는 것은 존재성을 증명하는 것보다 어렵다.

5.1 기하급수

급수 [math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a^n [/math]에 대해서, [math]\left|a\right|\lt1[/math]이면 수렴, [math]\left|a\right| \geq 1[/math]이면 발산한다.

급수중에서도 특수한 경우인 무한 등비 급수의 수렴 조건. 고등학교에서도 현행 교육과정 기준으로 미적분Ⅰ의 급수 앞부분에서 배울 것이다.

5.2 일반항 판정법

[math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n[/math]이 수렴하면, [math] \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n = 0[/math]이다.

고등학교 수학에서도 배우는 가장 간단하고 기본적인 판정법. 정확히 말하면 발산판정법(?)이 맞을 지도? 보통은 위 명제의 대우 ([math] \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n \neq 0[/math]이면 [math] \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_n[/math]는 수렴하지 않는다.)를 사용한다. 증명은 다음과 같다.

[math]S_k[/math]를 첫 항부터 [math]k[/math]항 까지의 합, 그리고 [math]S[/math]를 급수의 수렴값이라 하자. 그럼 [math] \displaystyle \lim_{k \to \infty}S_k = S[/math]이다. 한편, [math]k \geq 2[/math]에 대해 [math]a_k = S_k-S_{k-1}[/math]이므로, [math] \displaystyle \lim_{k \to \infty}a_k = \lim_{k \to \infty}\left(S_k-S_{k-1}\right) = \lim_{k \to \infty}S_k - \lim_{k \to \infty}S_{k-1} = S-S = 0[/math]

여기서 주의할 것은 위 명제의 역은 성립하지 않는다는 것이다. 그 예로 [math] \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} = 0[/math]이지만 [math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} = \infty[/math]이다. 고로 이 판정법을 사용하면 확실히 발산하는 급수는 묻지도 따지지도 않고 발산을 때릴 수 있다.

5.3 코시 판정법

급수 [math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n[/math]이 수렴하면 임의의 [math]\epsilon \gt0[/math]에 대해 [math]\forall n \geq N \ \forall p \in {\mathbb{N}} : \left|a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_{n+p}\right|\lt\epsilon \, [/math]를 만족하게 하는 자연수 [math]N[/math]이 존재한다. 이 명제의 역도 성립한다.

코시 응집판정법과는 별개다. 위 명제를 고등학교 수준으로 설명하자면 급수의 앞 몇 항은 수렴/발산에 영향을 끼치지 않는다라고 해석할 수 있다 (완전히 같은건 아니다). 이를 좀 더 엄밀히 표현하자면 다음과 같다.

[math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n[/math]이 수렴하면 임의의 자연수 [math]N[/math]에 대해 [math] \displaystyle \sum_{n=N}^{\infty}a_n[/math]도 수렴한다. 역으로 어떤 자연수 [math]N[/math]에 대해 [math] \displaystyle \sum_{n=N}^{\infty}a_n[/math]이 수렴하면, [math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n[/math]도 수렴한다.

증명

[math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n[/math]가 수렴한다 가정하자. 그럼 부분합 [math]S_n[/math]는 코시 수열이여야 한다. 즉, 어떤 자연수 [math]N[/math]에 대해 [math]\ \forall n,m \geq N : \left|S_m-S_n\right| \lt \epsilon [/math]가 성립한다. 이것은 곧 코시 판정법이 성립함을 의미한다.
역으로 코시 판정법이 성립한다 가정하자. 그럼 부분합 [math]S_n[/math]이 코시 수열임을 의미하고, 이것은 곧 [math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n[/math]이 성립함을 의미한다.

5.4 비교판정법

어떤 자연수 [math]N[/math]에 대해 [math] \forall n \geq N : 0\lta_n \leq b_n[/math]라 가정하자. 이 때, [math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n[/math]이 수렴하면 [math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n[/math]도 수렴한다.

보통 DCT (Direct Comparison Test)라 줄여 말한다.
증명

위 코시 판정법에 의해 [math]N=1[/math]일 때를 증명해도 충분하다. [math]A_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k, B_n = \sum_{k=1}^{n}b_k[/math]라 하자. 항 [math]a_k, b_k[/math]가 모두 양수이므로 수열 [math]\left\{A_n\right\}, \left\{B_n\right\}[/math]는 증가한다. 또한, [math]a_k \leq b_k, k = 1, 2, 3, \cdots[/math]이므로 [math]\forall n \geq N : 0\ltA_n \leq B_n [/math]이다. 이제, [math] \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k[/math]이 발산한다 가정하면 [math]\left\{A_n\right\}[/math]도 발산하고, 이것은 곧 그 수열이 유계가 아님(unbounded)을 의미한다. 따라서 [math]\left\{B_n\right\}[/math]도 유계가 아니고, [math] \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}b_k[/math]도 발산한다.

5.4.1 따름정리 1

자연수 [math]n = 1, 2, 3, \cdots[/math]에 대해 [math]a_n\gt0, b_n\gt0[/math]이고 두 수열 [math] \displaystyle \left\{{a_n} \over {b_n}\right\}, \left\{{b_n} \over {a_n}\right\}[/math]이 유계이면 두 급수 [math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n, \sum_{n=1}^{\infty}b_n[/math]는 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산한다.

증명

수열 [math] \displaystyle \left\{{a_n} \over {b_n}\right\}, \left\{{b_n} \over {a_n}\right\}[/math]이 유계이므로, 임의의 자연수 [math]n[/math]에 대해 [math]\displaystyle \frac{a_n}{b_n} \leq M_1,\,\, \frac{b_n}{a_n} \leq M_2 [/math]가 성립하는 양수 [math]M_1, M_2[/math]가 존재한다. 그럼 [math]\displaystyle 0\lt\frac{1}{M_1} \leq \frac{b_n}{a_n} \leq M_2[/math]이고, 곧 [math]\displaystyle 0\lt\frac{a_n}{M_1} \leq b_n \leq M_2a_n[/math]이다. 따라서 비교판정법에 의해 위 명제는 참이다.

5.4.2 따름정리 2

자연수 [math]n = 1, 2, 3, \cdots[/math]에 대해 [math]a_n\gt0, b_n\gt0[/math]이고 [math] \displaystyle \lim_{n \to \infty}{{b_n} \over {a_n}}[/math]이 양수로서 존재하면 두 급수 [math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n, \sum_{n=1}^{\infty}b_n[/math]는 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산한다.

위 따름정리 1의 특별한 경우. Limit Comparison Test라 부르며 줄이면 LCT가 된다. 아래 정리는 LCT의 사용범위를 넓히는 역할을 한다.

1. 자연수 [math]n = 1, 2, 3, \cdots[/math]에 대해 [math]a_n\gt0, b_n\gt0, \, \displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(b_n/a_n\right) = 0[/math]이고, [math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n[/math]가 수렴하면 [math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n[/math]도 수렴한다.
2. 자연수 [math]n = 1, 2, 3, \cdots[/math]에 대해 [math]a_n\gt0, b_n\gt0, \, \displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(b_n/a_n\right) = \infty[/math]이고, [math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n[/math]가 발산하면 [math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n[/math]도 발산한다.

증명

1. 어떤 자연수 [math]N[/math]에 대해 [math] \forall k \geq N : b_k/a_k \leq 1 [/math]이다. DCT에 의해 명제는 참이다.
2. 어떤 자연수 [math]N[/math]에 대해 [math]\forall k \geq N : b_k/a_k \geq 1 [/math]이다. DCT에 의해 명제는 참이다.

5.5 적분 판정법

수열 [math]\left\{a_n\right\}[/math]의 항이 i) 전부 양수, ii) 감소, iii)[math] \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n = 0[/math]이고, [math]\left[1, \infty\right)[/math]에서 정의된 함수 [math]\forall n \in {\mathbb{N}} : f\left(n\right) = a_n [/math]가 감소함수이면, 급수 [math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n[/math]와 수열 [math] \displaystyle \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx[/math]는 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산한다.

증명

모든 자연수 [math]k[/math]에 대해 [math]\forall x \in \left[k,\ k+1\right] : a_{k+1} \leq f\left(x\right) \leq a_k [/math]이다. 따라서 [math]a_{k+1} \leq \displaystyle \int_{k}^{k+1}f\left(x\right) \, dx \leq a_k[/math]이다. 만약 [math]n \geq 2[/math]이면 [math] \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}a_{k+1} \leq \sum_{k=1}^{n-1}\int_{k}^{k+1}f\left(x\right) \, dx \leq \sum_{k=1}^{n-1}a_k[/math]이고, 곧 [math]S_n-a_1 \leq \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx \leq S_{n-1}[/math]이다. 각 자연수 [math]k[/math]에 대해 [math]a_k[/math]이므로 수열 [math]\left\{S_n\right\}[/math]는 단조 증가한다. 비슷하게, [math]f\left(x\right)\gt0 , x \in [1, \infty )[/math]이므로 [math] \displaystyle \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx[/math]도 단조 증가 수열이다. 이제 급수 [math] \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k[/math]가 수렴한다 가정하자. 그럼 [math] \displaystyle \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx[/math]는 bounded되어있고 따라서 수렴한다. 역으로 [math] \displaystyle \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx[/math]가 수렴하면 [math] \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k[/math]는 bounded되어있고 따라서 수렴한다.

5.5.1 P-급수

적분 판정법의 특별한 경우. 내용은 다음과 같다.

급수 [math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}[/math]에 대해, [math]p\gt1[/math]이면 수렴하고, [math]p \leq 1[/math]이면 발산한다.

지수(= power)를 보고 판별하기 때문에 p-series란 이름이 붙었다. 자세한건 아래 예시를 통해 확인.

5.5.2 예시

[math] \displaystyle \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n^2+1}}[/math]이 수렴하는지 발산하는지 확인해 보기 위해 함수 [math]f(x) = {1 \over {x^2+1}}[/math]라고 하자. [1,∞) (1에서 무한대) 구간에서 연속적이고, 함수값이 감소 하므로 적분판정법을 사용한다. [math] \displaystyle \int_{1}^{\infty} {1 \over {x^2+1}} dx = \lim_{t \to \infty}\int_{1}^{t} {1 \over {x^2+1}} dx = \lim_{t \to \infty} \arctan x]_1^t[/math]이고, [math]\arctan 1 = tan^{-1} 1 = {\pi \over 4}[/math]이므로 [math] \displaystyle \lim_{t \to \infty} (\arctan t - {\pi \over 4}) = {\pi \over 2} - {\pi \over 4} = {\pi \over 4}[/math]이다. [math] \displaystyle \int_{1}^{\infty} {1 \over {x^2+1}} dx[/math]가 적분판정법을 했을때 수렴한다. 따라서.[math] \displaystyle \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n^2+1}}[/math]도 수렴한다.
실제로 수렴하는 값은 [math]{{1 \over 2} (\pi \coth{\pi}-1)} [/math]이고 약 1.0767이다. 참고

다른 예시로 [math] \displaystyle \sum_{n=1}^\infty {1 \over n}[/math]이 발산하는지 수렴하는지 확인해보자.[math] f(x) = {1 \over x}[/math]라 두고, [math] \displaystyle \int_{1}^{\infty} {1 \over {x}} dx = \lim_{t \to \infty} \ln x]_1^t = \infty[/math]이다. 그러므로 [math] \displaystyle \sum_{n=1}^\infty {1 \over n}[/math]은 발산한다.

5.6 비율판정법

[math]a_n[/math]이 양수이고, [math] \displaystyle \limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}= R, \, \liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}= r[/math]라 하면,
1. [math]R\lt1[/math]이면 [math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n[/math]은 수렴한다.
2. [math]r\gt1[/math]이면 [math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n[/math]은 발산한다.

달랑베르가 처음 공식화시켰다고 알려져있으나 '달랑베르 비율 판정법' 또는 '코시 비율 판정법'이라고도 불린다. 멱근판정법과 상당히 비슷하다.

증명

1. [math]R\lt1[/math]이면 임의의 [math]0\lt\epsilon\lt1-R[/math]를 만족하는 [math]\epsilon[/math]에 대해 [math]\displaystyle \ \forall k \gt N : {{a_{k+1}} \over{a_k}} \lt R + \epsilon \lt1 [/math]를 만족하게 하는 자연수 [math]N[/math]이 존재한다. 만약 [math]\eta = R+\epsilon[/math]라 하면 [math]\forall k\gtN : a_{k+1}\lt\eta a_k [/math]이고, 곧 [math]\forall k\gtN : a_k\lt\eta ^{k-N}a_N [/math]이다. 급수 [math] \displaystyle \sum_{k=N+1}^{\infty}\eta ^{k-N}a_N = a_N \sum_{j=1}^{\infty}\eta ^j [/math]는 [math]\eta \lt1[/math]이기 때문에 수렴하고 따라서 [math] \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k[/math]도 수렴한다.
2. 만약 [math]r\gt1[/math]이면 적당히 큰 자연수 [math]N[/math]에 대해 [math]\forall k \geq N : a_{k+1}/a_k \gt1 [/math]이다. 따라서 [math]k\gtN[/math]는 [math]a_k\gta_N\gt0[/math]를 의미하고, 곧 [math] \displaystyle \lim_{k \to \infty}a_k \neq 0[/math]이다. Limit Term Test에 의해 [math] \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k[/math]는 발산한다.

상극한과 하극한을 구하는 것은 까다롭기 때문에 보통은 아래 따름정리를 사용하게 된다. 사실 수학과가 아니면 처음부터 비율판정법을 아래의 것으로 배운다.

5.6.1 따름정리

[math]\forall k \in {\mathbb{N}} : a_k\gt0 , \, \displaystyle \lim_{k \to \infty}\left(a_{k+1}/a_k\right) = l[/math]이라 가정하자.
1. [math]l\lt1[/math]이면 [math] \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k[/math]는 수렴한다.
2. [math]l\gt1[/math]이면 [math] \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k[/math]는 발산한다.

주의할 점은, [math]l=1[/math]일 때는 판별을 할 수 없다는 것이다. 그럴 때는 다른 판별법을 사용해야 한다.

5.7 멱근판정법

모든 자연수 n에 대해 [math]a_n\gt0[/math]이고, [math] \displaystyle \limsup_{n\to \infty} \sqrt [n] {a_n} = R[/math]일 때,

1. [math]R\lt1[/math]이면 [math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n[/math]은 수렴한다.
2. [math]R\gt1[/math]이면 [math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n[/math]은 발산한다.

비율판정법의 증명방법과 매우 유사하다.

1. [math]R\lt1[/math]이면 [math]R\lt\rho \lt1[/math]를 만족하는 임의의 [math]\rho[/math]에 대해 [math]\forall k\gtN : \sqrt [k]{a_{k}} \leq \rho [/math]를 만족하게 하는 자연수 [math]N[/math]이 존재한다. 그럼 [math]\forall k\gtN : a_k \leq \rho ^k [/math]이고 급수 [math] \displaystyle \sum_{k=N+1}^{\infty}\rho ^k[/math]는 [math]\rho \lt1[/math]이기 때문에 수렴한다. DCT에 의해 [math] \displaystyle \sum_{k=N+1}^{\infty}a_k[/math]는 수렴하고, 곧 [math] \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k[/math]도 수렴한다.
2. [math]R\gt1[/math]이면 [math]\sqrt [k]{a_{k}} \gt1[/math]를 만족하는 무수히 많은 자연수 [math]k[/math]가 존재한다. 따라서 무수히 많은 [math]k[/math]에 대해 [math]a_{k}\gt1[/math]이 성립하고 이것은 곧 [math] \displaystyle \lim_{k \to \infty}a_{k} \neq 0[/math]을 의미한다. 일반항 판정법에 의해 급수는 발산한다.

멱근판정법은 거듭제곱 급수(power series)의 수렴 반지름을 구하는 데 사용할 수 있다.

5.7.1 따름정리

[math]\forall k \in {\mathbb{N}} : a_k\gt0 [/math], [math] \displaystyle \lim_{k \to \infty}\sqrt [k]{a_{k}} = l[/math]이라 가정하자.
1. [math]l\lt1[/math]이면 [math] \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k[/math]는 수렴한다.
2. [math]l\gt1[/math]이면 [math] \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k[/math]는 발산한다.

비율판정법와 마찬가지로 [math]l=1[/math]인 경우에는 사용할 수 없다.

5.8 절대수렴

[math] \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right|[/math]가 수렴하면 [math] \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k[/math]도 수렴한다.

증명

[math] \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right|[/math]가 수렴하면 코시판정법에 의해 임의의 [math]\epsilon \gt0[/math]에 대해 [math]\forall n \geq N \ \forall p \in {\mathbb{N} : \left|\left|a_{n+1}\right| + \left|a_{n+2}\right| + \cdots \left|a_{n+p}\right|\right| = \left|a_{n+1}\right| + \left|a_{n+2}\right| + \cdots \left|a_{n+p}\right| \lt \epsilon}[/math]를 만족하게 하는 자연수 [math]N[/math]이 존재한다. [math]\left|a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots a_{n+p} \right| \leq \left|a_{n+1}\right| + \left|a_{n+2}\right| + \cdots \left|a_{n+p}\right|[/math]이므로 또 다시 코시판정법에 의해 [math] \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k[/math]도 수렴한다.

Limit Term Test와 마찬가지로 위 명제의 역은 성립하지 않는다. 또한 [math] \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right|[/math]가 수렴하면 [math] \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k[/math]는 절대 수렴한다고 하며 [math] \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k[/math]는 수렴하는데 [math] \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right|[/math]가 수렴하지 않으면 조건 수렴한다고 한다.

5.9 교대급수 판정법

수열 [math]\left\{a_k\right\}[/math]이 단조 감소 수열이고 [math] \displaystyle \lim_{k \to \infty}a_k = 0[/math]이면 [math] \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^k a_{k}[/math]는 수렴한다.

보통 줄여서 AST라 부른다. 증명은 아래와 같다.

[math]S_{n}= \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^ka_k[/math]이라 하자. 그럼 [math]S_{2n}-S_{2n-2} = a_{2n}-a_{2n-1} \le 0[/math]이고 수열 [math]\left\{S_{2n}\right\}[/math]은 단조 감소 함수이다. 또한 [math]S_{2n} = -a_1+a_2-a_3+a_4-a_5+ \cdots +a_{2n-2}-a_{2n-1}+a_{2n} = -a_1+\left(a_2-a_3\right)+\left(a_4-a_5\right)+ \cdots +\left(a_{2n-2}-a_{2n-1}\right)+a_{2n} \geq -a_1[/math]이므로 [math]\left\{S_{2n}\right\}[/math]는 아래로 bounded되어있고 따라서 수렴한다. 이제 [math] \displaystyle \lim_{n \to \infty}S_{2n} = S[/math]라 하자. 그럼 [math]S_{2n-1} = S{2n}-a_{2n}[/math]이므로 [math] \displaystyle \lim_{n \to \infty}S_{2n-1} = \lim_{n \to \infty}S_{2n} - \lim_{n \to \infty}a_{2n} = S-0 = S[/math]이다. 따라서 [math] \displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n = S[/math]이고 곧 [math] \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^ka_k[/math]는 수렴한다.

5.10 코시 응집 판정법

음이 아닌 단조 감소 실수열 [math]\left\{ a_{n}\right\} [/math]에 대해, [math] \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_{k}[/math]와 [math] \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} 2^{k}a_{2^k}[/math]의 수렴성은 동치이다.

증명

[math]\frac{1}{2} \displaystyle \sum_{k=0}^{n} 2^{k}a_{2^k} = \frac{1}{2}(a_1 + 2a_2 + 4a_4 + ... + 2^na_{2^n}) = \frac{a_1}{2} + a_2 + 2a_4 + ... + 2^{n-1}a_{2^n}[/math]가 성립한다.
 1. 단조 감소성에서 [math]\frac{a_1}{2} + a_2 + 2a_4 + ... + 2^{n-1}a_{2^n} \le a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + ... + a_{2^n} = \displaystyle \sum_{k=1}^{2^n} a_k[/math]을 얻는다. 따라서, [math] \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_k[/math] 가 수렴하면 [math] \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} 2^{k}a_{2^k}[/math]도 수렴한다.
 1. 단조 감소성에서 [math] \displaystyle \sum_{k=0}^{n} 2^{k}a_{2^k} = a_1 + 2a_2 + 4a_4 + ... + 2^na_{2^n} \ge a_1 + a_2 + a_3 + ... a_{2^n} + ... a_{2^{n+1}-1} = \displaystyle \sum_{k=1}^{2^{n+1}-1} a_k[/math]을 얻는다. 따라서, [math] \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} 2^{k}a_{2^k}[/math]가 수렴하면 [math] \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_k[/math]도 수렴한다.

적분 판정법에서 [math]x = 2^t[/math]로 치환하자. 그러면 수열 [math]\left\{ log \left( 2 \right) 2^n a_{2^n} \right\}[/math]에 대한 판정으로 바뀌는데 적분의 변수를 바꿔도 같은 값이 나오므로 원래 수열의 수렴과 발산 여부가 같을 것이다.

6 관련 항목

• 수열
• 테일러 급수