期待값[1], expected value
1 개요
어떤 확률 과정을 무한히 반복했을 때, 얻을 수 있는 값의 평균으로서 기대할 수 있는 값. 보다 엄밀하게 정의하면 기댓값은 확률 과정에서 얻을 수 있는 모든 값의 가중 평균이다.
2 정의
2.1 이산 확률 변수
이산 확률 변수 [math]X[/math]의 확률분포표가 다음과 같다고 하자. ([math]p\left(x\right)[/math]는 확률 질량 함수)
| [math]X[/math] | [math]x_1[/math] | [math]x_2[/math] | [math]\cdots[/math] | [math]x_n[/math] | |
| [math]p\left(x\right)[/math] | [math]p_1[/math] | [math]p_2[/math] | [math]\cdots[/math] | [math]p_n[/math] | |
이때 이산 확률 변수 [math]X[/math]의 기댓값은 [math]\text{E}\left(X\right)[/math]와 같이 나타내고 다음과 같이 정의한다.
- [math]\displaystyle \text{E}\left(X\right)=\sum_{i=1}^{n}{x_ip_i}[/math]
이산 확률 변수 [math]X[/math]가 취하는 값의 개수가 무한한 경우, 즉 자연수 집합과 일대일 대응 되는 경우에도 비슷하게 정의된다.
- [math]\displaystyle \text{E}\left(X\right)=\sum_{i=1}^{\infty}{x_ip_i}[/math]
단, 이 급수는 절대수렴해야 한다. 이 급수가 절대수렴하지 않는 경우에는 기댓값이 존재하지 않는 것으로 본다.
2.2 연속 확률 변수
연속 확률 변수 [math]X[/math]의 확률 밀도 함수가 [math]f\left(x\right)[/math]라고 할 때 [math]X[/math]의 기댓값은 다음과 같이 정의한다.
- [math]\displaystyle \text{E}\left(X\right)=\int_{-\infty}^{\infty}xf\left(x\right)dx[/math]
이 적분은 이상적분이고, 이 적분값이 존재하지 않으면 마찬가지로 기댓값도 정의되지 않는다.
2.3 응용
어떤 함수 [math]g[/math]에 대해 [math]g\left(X\right)[/math]의 기댓값, 즉 [math]\text{E}\left(g\left(X\right)\right)[/math]는 다음과 같이 정의된다.
- 이산 확률 변수 : [math]\displaystyle \text{E}\left(g\left(X\right)\right)=\sum_{i=1}^{n}{g\left(x_i\right)p_i}[/math]
- 연속 확률 변수 : [math]\displaystyle \text{E}\left(g\left(X\right)\right)=\int_{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)f\left(x\right)dx[/math]
예를 들어 [math]X[/math]의 분산 [math]\text{V}\left(X\right)[/math]는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
- [math]\text{V}\left(X\right)=\text{E}\left(\left(X-\text{E}\left(X\right)\right)^2\right)=\text{E}\left(X^2\right)-\left\{\text{E}\left(X\right)\right\}^2[/math]
3 성질
상수 [math]a[/math]의 기댓값은 [math]a[/math]이다.
- [math]\text{E}\left(a\right)=a[/math]
기댓값은 선형성을 가진다. 즉, 다음이 성립한다. ([math]X, Y[/math]는 확률변수, [math]a[/math]는 상수)
- [math]\text{E}\left(X+Y\right)=\text{E}\left(X\right)+\text{E}\left(Y\right)[/math]
- [math]\text{E}\left(aX\right)=a \text{E}\left(X\right)[/math]
확률변수 [math]X, Y[/math]가 서로 독립일 경우에는 다음의 성질도 성립한다.
- [math]\text{E}\left(XY\right)=\text{E}\left(X\right)\text{E}\left(Y\right)[/math]