1 설명
[math]\triangle{ABC}[/math]와 [math]\triangle{A'B'C'}[/math]에서 세 직선[math]\overline{AA'}[/math], [math]\overline{BB'}[/math], [math]\overline{CC'}[/math]가 한 점 [math]O[/math]에서 만날 때, 직선 [math]\overline{BC}[/math], [math]\overline{B'C'}[/math]의 교점을 [math]L[/math], 직선 [math]\overline{AC}[/math], [math]\overline{A'C'}[/math]의 교점을 [math]M[/math], 직선 [math]\overline{AB}[/math], [math]\overline{A'B'}[/math]의 교점을 [math]N[/math]이라고 하면, 점[math]L[/math], [math]M[/math], [math]N[/math]는 한 직선 위에 있다.
2 증명
메넬라우스의 정리를 이용한다.
[math]\triangle{OAB}[/math]와 [math]\overline{NB'A'}[/math]에서 메넬라우스의 정리를 적용하면
[math]\frac{\overline{AN}}{\overline{NB}}[/math][math]\frac{\overline{BB'}}{\overline{B'O}}[/math][math]\frac{\overline{OA'}}{\overline{A'A}}[/math]=1 ☞ ①
[math]\triangle{OBC}[/math]와 [math]\overline{LB'A'}[/math]에서 메넬라우스의 정리를 적용하면
[math]\frac{\overline{BL}}{\overline{LC}}[/math][math]\frac{\overline{CC'}}{\overline{C'O}}[/math][math]\frac{\overline{OB'}}{\overline{B'B}}[/math]=1 ☞ ②
[math]\triangle{OCA}[/math]와 [math]\overline{MA'C'}[/math]에서 메넬라우스의 정리를 적용하면
[math]\frac{\overline{CM}}{\overline{MA}}[/math][math]\frac{\overline{AA'}}{\overline{A'O}}[/math][math]\frac{\overline{OC'}}{\overline{C'C}}[/math]=1 ☞ ③
①, ②, ③을 모두 곱하여 소거시킬수 있는 것들을 소거시키면
[math]\frac{\overline{AN}}{\overline{NB}}[/math][math]\frac{\overline{BL}}{\overline{LC}}[/math][math]\frac{\overline{CM}}{\overline{MA}}[/math]=1
그러므로 메넬라우스의 정리의 역에 의해 제 점[math]L[/math], [math]M[/math], [math]N[/math]는 한 직선 위에 있다.