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1 요약
메넬라우스의 정리는 메넬라우스가 증명한 정리이다.
주어진 △ABC에서 꼭짓점이 아닌 점 D, E, F가 각각 ¯BC, ¯CA, ¯AB 위에 있다고 하자. 이때, D, E, F가 공선점[2]이면
- ¯CD¯DBׯBF¯FAׯAE¯EC=1
가 성립한다.
단, 반드시 직선이 그림처럼 삼각형을 횡단하지 않아도 상관 없다.
- 원래는 CDDB×BFFA×AEEC=−1로 표현하는 것이 정확하다.
여기서 선분 기호를 넣지 않으면 선분의 기호에 방향성까지 고려하는 것이 되므로 등식을 이해하는데 도움이 된다.
또한, 메넬라우스의 정리 또는 역을 이용할 때 어떤 선분들을 가지고 등식을 만족하는지 고르기 어려운 경우가 있으므로
위의 등식이 더 바람직하다고 하겠다.
1.1 증명
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점 A, B, C에서 반직선 PR에 내린 수선의 발을 각각 X,Y, Z라고 할때
삼각형 △PZC와 △PYB가 닮음이므로 ¯BP¯CP=¯BY¯CZ이다.
삼각형 △QCZ와 △QAX가 닮음이므로¯CQ¯AQ=¯CZ¯AX이다.
삼각형 △RXA와 △RYB가 닮음이므로 ¯AR¯BR=¯AX¯BY이다.
변변 곱하면 증명 끝.
2 역정리
이 정리의 역도 성립한다.
즉, ¯AR¯RBׯBP¯PCׯCQ¯QA=1가 성립하면 P, Q, R는 공선점이다.
증명은 동일법으로 하면 된다.
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¯QR와 ¯BC 의 교점을 P′이라 한 후, P와 P′가 같은 점임을 보이면 증명이 완료된다. 일단 P′,Q,R이 공선점이므로, ¯AR¯RBׯBP′¯P′CׯCQ¯QA=1가 성립한다. 한편, 원래 조건에서 ¯AR¯RBׯBP¯PCׯCQ¯QA=1도 성립하므로, ¯BP′¯P′C=¯BP¯PC여야 한다. 이제, ¯BC=a, ¯CP′=b, ¯P′P=x로 놓고 간단한 계산을 하면 x=0임을 알 수 있다.
따라서 P와 P′는 같은 점이므로, P,Q,R는 공선점이다.
3 일반화
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알아두면 경시에서만 꽤나 유용한 사실로, 원래 메넬라우스 정리는 ¯RB¯ARׯPC¯BPׯQA¯CQ와 같이 세 선분 위의 길이의 비를 곱해서 1이 되었는데, 사실은 몇 번을 돌아다니면서 길이비를 곱해도 다음 조건들만 만족한다면 길이비의 곱이 1이 된다.
1. 각 길이비 항은 반드시 한 직선 내의 길이비여야한다. 즉 ¯QR¯AQ 같은 건 A,Q,R가 공선점이 아니므로 안 되고 ¯QC¯AQ 같은 건 된다는 뜻.
2. 한 항의 '끝점'과 다음 항의 '시작점'이 같아야 한다.[3] 즉 메넬라우스의 정리를 이용할 때 한붓그리기처럼 쭉 이어가면서 길이비를 따지듯이 할 수 있어야 한다는 것. 예를 들어 ¯RB¯ARׯPB¯CP 같은 건 첫 항의 끝점이 B인데 다음 항의 시작점이 C이므로 안 된다.
3. 첫 항의 '시작점'과 마지막 항의 '끝점'이 같아야 한다. 즉 처음 시작한 곳으로 다시 돌아와야 한다. 예를 들어 ¯RB¯ARׯPC¯BPׯAQ¯CA 같은 것은 A로 시작해서 Q로 끝났으므로 길이비의 곱이 1이 안 된다.
위의 세 조건을 요약하자면, 그냥 평소 메넬라우스의 정리를 쓸 때처럼 하되 마지막에 처음 점으로 돌아오기만 하면 길이비의 곱이 1이 된다는 것이다.
즉, ¯RB¯ARׯCP¯BCׯRQ¯PRׯAC¯QAׯPB¯CPׯRA¯BR 처럼 해도 1이 된다. 심지어 시작점이 R,Q,C같은 점이어도 상관 없다!
실제로 메넬라우스의 정리의 ¯RB¯ARׯPC¯BPׯQA¯CQ 는 위 세 조건을 모두 만족한다는 것을 알 수 있다.
증명은 여백이 부족하므로 생략한다 각 점에 대해 적절한 함숫값을 주고, 길이비와 그 함숫값의 곱이 불변량임을 보이면 된다. 다만 이 과정에서 상당한 노가다를 필요로 한다...
4 관련 문서
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