1 개요
르장드르 함수는 다음과 같은 르장드르 미분방정식의 해이다. 르장드르 미분방정식은 구면좌표계에서 라플라스 방정식을 변수분리하면 각도 성분에서 얻을 수 있다.
[math] (1-x^{2})y''-2xy'+n(n+1)y=0 [/math]
2 함수의 개형
르장드르 미분방정식은 x=0이 정상점이므로 다음 무한급수를 모든 해로 가진다.
[math] y=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{k}x^{k}+...[/math]
이를 주어진 미분방정식에 대입하면
[math] y'=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+...+(k+1)a_{k+1}x^{k}+...[/math]
[math] y''=2a_{2}+6a_{3}x+12a_{4}x^{2}+...+(k+2)(k+1)a_{k+2}x^{k}+...[/math]
[math] (1-x^{2})y''-2xy'+n(n+1)y=0 [/math]
[math] \rightarrow (2a_{2}+6a_{3}x+12a_{4}x^{2}+...+(k+2)(k+1)a_{k+2}x^{k}+...)[/math]
[math] -x^{2}(2a_{2}+6a_{3}x+12a_{4}x^{2}+...+(k+2)(k+1)a_{k+2}x^{k}+...)[/math]
[math] -2x(a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+...+(k+1)a_{k+1}x^{k}+...)[/math]
[math] +n(n+1)(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{k}x^{k}+...)=0[/math]
[math] \rightarrow (2a_{2}+n(n+1)a_{0})+(6a_{3}-2a_{1}+n(n+1)a_{1})x+(12a_{4}-2a_{2}-4a_{2}+n(n+1)a_{2})x^{2}[/math]
[math] +...+((k+2)(k+1)a_{k+2}-k(k-1)a_{k}-2ka_{k}+n(n+1)a_{k})x^{k}+...=0[/math]
구한 식이 항상 성립하려면 [math] x^k[/math]의 계수가 모두 0이어야 하므로
[math] 2a_{2}+n(n+1)a_{0}=0 \rightarrow a_{2}=-\frac{n(n+1)}{2}a_{0} [/math]
[math] 6a_{3}-2a_{1}+n(n+1)a_{1}=0 \rightarrow a_{3}=-\frac{n(n+1)-2}{6}=-\frac{(n-1)(n+2)}{6}a_{1} [/math]
[math] 12a_{4}-2a_{2}-4a_{2}+n(n+1)a_{2}=0 \rightarrow a_{4}=-\frac{n(n+1)-6}{12}=-\frac{(n-2)(n+3)}{12}a_{2} [/math]
...
[math] (k+2)(k+1)a_{k+2}-k(k-1)a_{k}-2ka_{k}+n(n+1)a_{k}=0 [/math]
[math] a_{k+2}=-\frac{n(n+1)-k(k-1)+2k}{(k+2)(k+1)}=-\frac{(n-k)(n+k+1)}{(k+2)(k+1)}a_{k} [/math]
따라서 르장드르 미분방정식의 해는 다음과 같다.
[math] y=A(1-\frac{n(n+1)}{2}x^{2}+\frac{(n-2)n(n+1)(n+3)}{24}x^{4}+...+(-1)^{k}\frac{(n-2k)(n-(2k-2))...(n-2)n(n+1)(n+3)...(n+2k-1)(n+2k+1)}{(2k)!}x^{2k}+...)[/math]
[math]+B(x-\frac{(n-1)(n+2)}{6}x^{3}+\frac{(n-3)(n-1)(n+2)(n+4)}{120}x^{5}+...+(-1)^{k}\frac{(n-(2k-1))(n-(2k-3))...(n-3)(n-1)(n+2)(n+4)...(n+2k)(n+2k+2)}{(2k+1)!}x^{2k+1}+...)[/math]
편의상 해를 [math] y=Ay1+By2 [/math]라 하자.
3 르장드르 다항식
르장드르 함수는 n이 정수라면 둘 중 하나는 다항식이 된다. 예를 들어, n=0이면 [math] y1(x)=1 [/math]이 되며, n=1이면 [math] y2(x)=x [/math] 가 된다. 이 다항식 해를 르장드르 다항식 [math] P_{n}[/math](또는 제1르장드르 함수), 다항식이 아닌 부분의 해는 제2르장드르 함수 [math] Q_{n}(x) [/math]라 한다.[1]
일단 제 1르장드르 다항식은 다음과 같이 표현된다.
[math]P_{n}(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\sum_{n=0}^{\infty }\frac{d^{n}}{dx^{n}}[(x^{2}-1)^{n}][/math]
이와 같은 형태의 공식을 Rodrigues formula라고 한다(베셀 함수, Hermite polynomial 등도 마찬가지로 Rodrigues formula가 존재한다). 한편 삼각함수, 베셀 함수 등과 같이 르장드르 다항식은 가중함수 u(x)=1이 있으면 (-1,1) 구간에서 직교한다. 따라서 이를 푸리에 변환처럼 활용할 수 있으며, 차수가 다른 서로 다른 르장드르 다항식의 내적은 0이 된다. 같은 함수 끼리의 내적은
[math]\int_{-1}^{1}\left \{ P_{n}\left(x \right) \right \}^{2}dx=\frac{2}{2n+1}[/math]
이 된다.