르장드르 함수

1 개요

르장드르 함수는 다음과 같은 르장드르 미분방정식의 해이다. 르장드르 미분방정식은 구면좌표계에서 라플라스 방정식을 변수분리하면 각도 성분에서 얻을 수 있다.

$$(1-x^{2})y''-2xy'+n(n+1)y=0$$

2 함수의 개형

르장드르 미분방정식은 x=0이 정상점이므로 다음 무한급수를 모든 해로 가진다.

$$y=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{k}x^{k}+...$$

이를 주어진 미분방정식에 대입하면

$$y'=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+...+(k+1)a_{k+1}x^{k}+...$$
$$y''=2a_{2}+6a_{3}x+12a_{4}x^{2}+...+(k+2)(k+1)a_{k+2}x^{k}+...$$

$$(1-x^{2})y''-2xy'+n(n+1)y=0$$
$$\rightarrow (2a_{2}+6a_{3}x+12a_{4}x^{2}+...+(k+2)(k+1)a_{k+2}x^{k}+...)$$
$$-x^{2}(2a_{2}+6a_{3}x+12a_{4}x^{2}+...+(k+2)(k+1)a_{k+2}x^{k}+...)$$
$$-2x(a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+...+(k+1)a_{k+1}x^{k}+...)$$
$$+n(n+1)(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{k}x^{k}+...)=0$$
$$\rightarrow (2a_{2}+n(n+1)a_{0})+(6a_{3}-2a_{1}+n(n+1)a_{1})x+(12a_{4}-2a_{2}-4a_{2}+n(n+1)a_{2})x^{2}$$
$$+...+((k+2)(k+1)a_{k+2}-k(k-1)a_{k}-2ka_{k}+n(n+1)a_{k})x^{k}+...=0$$

구한 식이 항상 성립하려면 $$x^k$$ 의 계수가 모두 0이어야 하므로

$$2a_{2}+n(n+1)a_{0}=0 \rightarrow a_{2}=-\frac{n(n+1)}{2}a_{0}$$
$$6a_{3}-2a_{1}+n(n+1)a_{1}=0 \rightarrow a_{3}=-\frac{n(n+1)-2}{6}=-\frac{(n-1)(n+2)}{6}a_{1}$$
$$12a_{4}-2a_{2}-4a_{2}+n(n+1)a_{2}=0 \rightarrow a_{4}=-\frac{n(n+1)-6}{12}=-\frac{(n-2)(n+3)}{12}a_{2}$$
...
$$(k+2)(k+1)a_{k+2}-k(k-1)a_{k}-2ka_{k}+n(n+1)a_{k}=0$$
$$a_{k+2}=-\frac{n(n+1)-k(k-1)+2k}{(k+2)(k+1)}=-\frac{(n-k)(n+k+1)}{(k+2)(k+1)}a_{k}$$

따라서 르장드르 미분방정식의 해는 다음과 같다.

$$y=A(1-\frac{n(n+1)}{2}x^{2}+\frac{(n-2)n(n+1)(n+3)}{24}x^{4}+...+(-1)^{k}\frac{(n-2k)(n-(2k-2))...(n-2)n(n+1)(n+3)...(n+2k-1)(n+2k+1)}{(2k)!}x^{2k}+...)$$
$$+B(x-\frac{(n-1)(n+2)}{6}x^{3}+\frac{(n-3)(n-1)(n+2)(n+4)}{120}x^{5}+...+(-1)^{k}\frac{(n-(2k-1))(n-(2k-3))...(n-3)(n-1)(n+2)(n+4)...(n+2k)(n+2k+2)}{(2k+1)!}x^{2k+1}+...)$$

편의상 해를 $$y=Ay1+By2$$ 라 하자.

3 르장드르 다항식

르장드르 함수는 n이 정수라면 둘 중 하나는 다항식이 된다. 예를 들어, n=0이면 $$y1(x)=1$$ 이 되며, n=1이면 $$y2(x)=x$$ 가 된다. 이 다항식 해를 르장드르 다항식 $$P_{n}$$ (또는 제1르장드르 함수), 다항식이 아닌 부분의 해는 제2르장드르 함수 $$Q_{n}(x)$$ 라 한다.

일단 제 1르장드르 다항식은 다음과 같이 표현된다.
$$P_{n}(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\sum_{n=0}^{\infty }\frac{d^{n}}{dx^{n}}[(x^{2}-1)^{n}]$$
이와 같은 형태의 공식을 Rodrigues formula라고 한다(베셀 함수, Hermite polynomial 등도 마찬가지로 Rodrigues formula가 존재한다). 한편 삼각함수, 베셀 함수 등과 같이 르장드르 다항식은 가중함수 u(x)=1이 있으면 (-1,1) 구간에서 직교한다. 따라서 이를 푸리에 변환처럼 활용할 수 있으며, 차수가 다른 서로 다른 르장드르 다항식의 내적은 0이 된다. 같은 함수 끼리의 내적은
$$\int_{-1}^{1}\left \{ P_{n}\left(x \right) \right \}^{2}dx=\frac{2}{2n+1}$$
이 된다.

르장드르 다항식은 비록 구면좌표계의 미분방정식에서 출발했지만, 구면좌표게를 벗어나 상당히 물리에서 자주 볼 수 있다. 대표적으로 전자기학이나 유체역학 등에서 쓰이는 다중극 전개(Multipole Expansion)에서 르장드르 다항식을 볼 수 있으며, 수치해석에서도 Gauss Quadrature 등에서 르장드르 다항식을 찾아볼 수 있다.