목차
1 개요
베셀 함수는 다음과 같은 베셀의 미분방정식을 풀면 나오는 함수다. 베셀의 미분방정식은 원통좌표계에서 라플라스 방정식을 변수분리하면 얻어진다.
[math]x^{2}y''+xy'+(x^{2}-a^{2})y=0[/math] 단 a는 0 이상의 실수.
아래 해들을 보면 복잡해 보이지만 선형미분방정식의 특성상 그나마 규칙적이다
2 제1종 베셀 함수
베셀 함수는 제1종 베셀 함수와 제2종 베셀 함수로 나눌 수 있다(위 베셀의 미분방정식이 이계미분방정식이라 해의 기저가 2개)
이중 제1종 베셀 함수는 프로베니우스 방법을 써서 위 미분방정식을 풀면 얻을 수 있다. 그 과정은 다음과 같다.
일단 위 미분방정식은 x=0이 정칙특이점(regular singular point)이므로 다음의 멱급수를 적어도 하나의 해로 갖는다.
[math]y=a_{0}x^{r}+a_{1}x^{r+1}+a_{2}x^{r+2}+\cdots +a_{n}x^{r+n}+\cdots[/math]
이제 위 미분방정식을 대입해야 하는데, 일단 r을 정하자. r은 다음 다항식의 해로 정해진다(자세한건 교과서 참고)
[math] r(r-1)+r-a^{2}=0 [/math]
위 다항식의 해는 r=a, -a이다. 프로베니우스 방법 적용 시 두 r의 차이가 정수이냐 아니냐를 따졌을 것이다. 그건 나중에 생각하고, 일단 더 큰 쪽인 r=a를 대입하자.
[math]y=c_{0}x^{a}+c_{1}x^{a+1}+c_{2}x^{a+2}+\cdots +c_{n}x^{a+n}+\cdots[/math]
[math]y'=ac_{0}x^{a-1}+(a+1)c_{1}x^{a}+(a+2)c_{2}x^{a+1}+\cdots +(a+n)c_{n}x^{a+n-1}+\cdots[/math]
[math]y''=a(a-1)c_{0}x^{a-2}+(a+1)ac_{1}x^{a-1}+(a+2)(a+1)c_{2}x^{a}+\cdots +(a+n)(a+n-1)c_{n}x^{a+n-2}+\cdots[/math]
[math]x^{2}y''+xy'+(x^{2}-a^{2})y=0\rightarrow [/math]
[math]x^{2}(a(a-1)c_{0}x^{a-2}+(a+1)ac_{1}x^{a-1}+(a+2)(a+1)c_{2}x^{a}+\cdots +(a+n)(a+n-1)c_{n}x^{a+n-2}+\cdots)[/math]
[math]+x(ac_{0}x^{a-1}+(a+1)c_{1}x^{a}+(a+2)c_{2}x^{a+1}+\cdots +(a+n)c_{n}x^{a+n-1}+\cdots)[/math]
[math]+x^{2}(c_{0}x^{a}+c_{1}x^{a+1}+c_{2}x^{a+2}+\cdots +c_{n}x^{a+n}+\cdots )[/math]
[math]-a^{2}(c_{0}x^{a}+c_{1}x^{a+1}+c_{2}x^{a+2}+\cdots +c_{n}x^{a+n}+\cdots )=0[/math]
[math]\rightarrow (a(a-1)c_{0}+ac_{0}-a^{2}c_{0})x^{a}+((a+1)ac_{1}+(a+1)c_{1}-a^{2}c_{1})x^{a+1}+((a+2)(a+1)c_{2}+(a+2)c_{2}+c_{0}-a^{2}c_{2})x^{a+2}+\cdots[/math]
[math]+((a+n)(a+n-1)c_{n}+(a+n)c_{n}+c_{n-2}-a^{2}c_{n})x^{a+n}+\cdots =0[/math]
위 식이 항상 성립하려면 항별 계수가 모두 0이어야 하므로,
[math]a(a-1)c_{0}+ac_{0}-a^{2}c_{0}=0 \rightarrow 0=0 [/math] 항등식
[math](a+1)ac_{1}+(a+1)c_{1}-a^{2}c_{1}=0 \rightarrow c_{1}=0 [/math]
[math](a+2)(a+1)c_{2}+(a+2)c_{2}+c_{0}-a^{2}c_{2}=0 \rightarrow c_{2}=-\frac{1}{4(a+1)}a_{0}[/math]
...
[math](a+n)(a+n-1)c_{n}+(a+n)c_{n}+c_{n-2}-a^{2}c_{n}=0 \rightarrow c_{n}=-\frac{1}{n(n+2a)}a_{n-2} \rightarrow c_{n+2}=-\frac{1}{(2a+n+2)(n+2)}a_{n} [/math]
따라서 제1종 베셀 함수는 다음 멱급수로 나타낼 수 있다.
[math] J_{a}(x)=c_{0}x^{a}(1-\frac{1}{4(a+1)}x^{2}+\frac{1}{32(a+1)(a+2)}x^{4}+\cdots +\frac{(-1)^{n}}{2^{2n}n!(a+1)(a+2)\cdots (a+n)}x^{2n}+\cdots ) [/math]
감마 함수를 써서 상수를 잘라 내면, 다음과 같이 우아하게 나타낼 수도 있다.
[math] J_{a}(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{n!\Gamma(n+a+1)}\left (\frac{x^{2}}{2} \right )^{n+a} [/math]
3 제2종 베셀 함수
이걸 구하는 것은 간단한 문제가 아니다. 왜냐하면, 프로베니우스 방법은 위 멱급수를 적어도 하나의 해로 가지는 것을 보증할 뿐, 두번째 해의 개형을 가르쳐 주지는 않기 때문이다.
두번째 해의 개형은 다음 세 부류로 나눌 수 있다.
3.1 a가 정수가 아닐 경우
이 때에는 그냥 [math]J_{-a}(x) [/math]가 해가 된다. 이는 위에서 구한 [math]J_{a}(x)[/math]와 일차독립이다.
3.2 a가 정수인 경우
이 때에는 약간 사정이 다르다. a가 정수가 아닐 때처럼 a 대신 -a를 대입하면, 두 함수 간에 다음 관계식이 성립하기 때문이다.
[math]J_{-a}(x)=(-1)^{a}J_{a}(x)[/math]
이 때에는 프로베니우스 방법에서 나오는 두번째 해의 개형을 대입해야 한다. 물론 두번째 해의 개형도 해가 될 수 있음은 이미 증명되어 있다. 다음을 보자.
[math] Y_{a}(x)=CJ_{a}(x)lnx+(d_{0}x^{-a}+d_{1}x^{-a+1}+d_{2}x^{-a+2}+\cdots +d_{n}x^{-a+n}+\cdots )[/math]
대입할 엄두가 안나오는 함수가 튀어나옴을 알 수 있다.
이것보다 쉽게 구하는 방법으로는 차수축소법을 사용할 수 있다. 그 결과는 다음과 같다.
[math] Y_{a}(x)=J_{a}(x)\int \frac{1}{xJ_{a}^{2}(x)}dx [/math]
교과서에서는 다음 식도 가르칠 것이다. 노이먼 함수라고 불리는 함수이다.
[math]Y_{a}(x)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{J_{a}(x)cos(a\pi)-J_{-a}(x)}{sin(a\pi)}[/math]
n이 정수일 때 무한급수로 나타내는 방법도 있다(정수가 아니면 그냥 위의 첫 번째 해에 a 대신 -a를 넣는 것으로 해결된다)
[math]Y_{a}(x)=-\frac{\left ( \frac{1}{2}x \right )^{-a}}{\pi}\sum_{n=0}^{a-1}\frac{(a-n-1)!}{n!}\left ( \frac{1}{4}x^{2} \right )^{n}+\frac{2}{\pi}log\left ( \frac{1}{2}x \right )J_{a}(x)-\frac{\left ( \frac{1}{2}x \right )^{a}}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty }(\psi_{0}(a+1)+\psi_{0}(a+n+1))\frac{\left (- \frac{1}{4}x^{2} \right )^{n}}{n!(n+a)!}[/math]
여기서 [math]\psi_{0}(x)[/math]는 다이감마 함수다.
위 세 가지 식은 n이 정수일 때, 각각이 실수 배의 차이만 있을 뿐 동일한 식이다(선형상미분방정식의 해의 유일성에 따라).
4 기타 베셀 함수
이 외에도 여러 가지 종류의 베셀 함수가 존재한다.
4.1 한켈 함수
[math]H_{p}^{(1)}(x)=J_{p}(x)+iN_{p}(x)[/math][math]H_{p}^{(2)}(x)=J_{p}(x)-iN_{p}(x)[/math]
Hankel Functions. 간혹 제 3종 베셀 함수라고도 한다. 위의 두 함수 [math]H_{p}^{(1)}(x)[/math]와 [math]H_{p}^{(2)}(x)[/math]는 선형 독립이다.
4.2 Modified Bessel Functions
베셀 미분 방정식을 약간 고쳐서, [math]x^{2}y''+xy'+(x^{2}+a^{2})y=0[/math]을 풀어보면 다음과 같이 나온다.
[math]I_{p}(x)=i^{-p}J_{p}(ix)[/math][math]K_{p}(x)=\frac{\pi}{2}i^{p+1}H_{p}^{(1)}(ix)[/math]
이것을 Modified Bessel Functions라고 한다. 위의 베셀 함수와 다른 점이라면, 그냥 베셀 함수는 어느정도 주기적인 성질을 띄면서 0으로 수렴하나, Modified Bessel Function의 경우엔 주기성이 없으며, 수렴하지도 않는다(발산한다).
4.3 Spherical Bessel Functions
만일 a가 [math]n+\frac{1}{2}[/math](n은 정수)의 꼴이라면, 베셀 함수를 초등함수로 나타낼 수 있게 된다.
[math] j_{n}(x)=\sqrt{\frac{\pi }{2x}}J_{\left ( 2n+1 \right )/2}\left ( x \right )=x^{n}\left ( -\frac{1}{x}\frac{d}{dx} \right )^{n}\left ( \frac{\sin x}{x} \right )[/math][math]y_{n}(x)=\sqrt{\frac{\pi }{2x}}Y_{\left ( 2n+1 \right )/2}\left ( x \right )=-x^{n}\left ( -\frac{1}{x}\frac{d}{dx} \right )^{n}\left ( \frac{\cos x}{x} \right )[/math]
[math]h_{n}^{(1)}=j_{n}(x)+iy_{n}(x)[/math]
[math]h_{n}^{(2)}=j_{n}(x)-iy_{n}(x)[/math]
Spherical이라는 말에서 알 수 있듯이, 이 함수는 구면좌표계에서 라플라시안이 포함된 미분방정식을 풀 때 반지름 성분에서 심심치 않게 등장한다. 여담으로, 이 경우 각도 방향에서 만나게 되는 것은 르장드르 다항식.
5 베셀 함수의 성질
베셀 함수는 가중함수 u(x)=x가 있으면 구간(0,1)에서 직교(orthogonal)한다. 이를 이용해 푸리에-베셀 급수를 만들 수 있으며, 차수가 서로 다른 두 베셀 함수의 내적은 항상 0이 된다. 푸리에-베셀 급수는 직교좌표계에서 푸리에 급수가 하는 역할을 원통좌표계에서 하며, 이런 특성으로 인해 원통좌표계의 반지름 성분은 베셀 함수의 선형 결합으로 표현된다.
베셀 함수는 a가 정수일 때 모두 더하면 1이 된다. 또한, 베셀 함수를 그대로 맨 처음 주어진 베셀 방정식에 넣으면 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있다.
[math]J_{m+1}(x)=\frac{2m}{x}J_{m}(x)-J_{m-1}(x)[/math]
또한 베셀 함수의 미분은 다음과 같이 비교적 간단하게 정의된다.
[math]J_{m}'(x)=\frac{1}{2}[J_{m-1}(x)-J_{m+1}(x)][/math]
단, 베셀 함수의 적분은 특수한 경우가 아니면 상당히 복잡하게 표현된다.
[math]J_{a}(x)=0[/math]의 해는 해석적으로 구할 수 없고, 특수한 경우를 제외하면 주기성도 없다. 그렇기에 어지간한 교과서에는 베셀 함수의 값이 필요한 경우 [math]J_{a}(x)=0[/math]의 해가 담긴 표를 준다.