Telescoping series
1 개요
망원급수란 급수에서 이웃한 항들이 서로 상쇄되면서 몇 개의 항만 남고 전부 사라지는 것을 말한다. 급수를 망원급수의 형태로 바꾸면 그 합을 간단히 계산할 수 있다.
2 상세
수열 [math]\left\{a_n\right\}[/math]이 있다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
- [math]\displaystyle \sum_{n=1}^N \left(a_n - a_{n+1}\right) = a_1 - a_{N+1}[/math]
여기서 [math]\left\{a_n\right\}[/math]이 특정값 [math]L[/math]로 수렴한다면 다음과 같이 급수가 계산된다.
- [math]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n - a_{n+1}\right) = a_1 - L[/math]
3 예시
- [math]\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = \lim_{N\to\infty} \left(1 - \frac{1}{N+1} \right) =1[/math]
- [math]\displaystyle \sum_{n=1}^N \sin\left(n\right) =\frac{1}{2 \sin \frac{1}{2}} \sum_{n=1}^N \left\{\cos\left(\frac{2n-1}{2}\right) -\cos\left(\frac{2n+1}{2}\right)\right\}=\frac{1}{2} \csc\frac{1}{2} \left\{\cos\frac{1}{2} -\cos\left(\frac{2N+1}{2}\right)\right\}[/math]