발산 정리

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Divergence Theorem.

1 개요

발산 정리(Divergence theorem) 혹은 가우스 정리(Gauss's theorem)라고도 한다.
미분위상수학의 스토크스 정리의 특수한 경우이기도 한데, 대학 미적분학에서 보통 스토크스 정리라고 하면 캘빈-스토크스 정리를 뜻한다.

1.1 2차원에서의 발산정리

좌표평면의 유계인 영역 D에서 정의된 벡터장 F(x,y)에 대하여
[math]\displaystyle \int_{ \partial D }{ F } \cdot \vec{ n } ds = \iint_{ D }{ \nabla \cdot F\ dV} [/math]
가 성립한다. 여기서 n은 영역 D의 경계선에 대한 단위법벡터이다.

하지만 영역 D가 벡터장 F을 포함하지 않을 때, 발산정리는 섣불리 사용할 수 없다. 이 때는 아주 작은 영역을 따로 설정하여 계산하는 방법을 쓴다. (이차원 가우스 정리)

1.2 3차원에서의 발산정리

공간 속에서 유계이고 닫힌 한 영역 R에서 정의된 일급 벡터장 F에 대하여
[math]\displaystyle \iint_{\partial R}{F}dS = \iiint_{D}{divF}dV_2[/math]
이다.
이 때 얻는 결과는 삼차원의 한 영역을 지나는 벡터장의 플럭스는 그 영역에서 발산함수를 적분한 값이란 것이다.

예를 들어 원뿔모양의 필터(곡면)가 있고, 그 필터를 지나는 물의 속도에 대한 벡터장을 알고 있을 때, 그 벡터장의 발산함수를 곡면에 따라 적분하여 얻은 값이 단위시간당 지나가는 물의 양인 것이다.