Chain Complex
1 개요
우선 일반인들은 백스페이스를 누르는 것을 추천한다
위상 공간을 대수적으로 이해하기 위해 만든 카테고리의 일종이다. 아벨군(혹은 모듈이나 벡터공간도 된다)의 열이 어떤 사상를 통해 연결되어있는 모양을 하고 있으며, 이를 통해 호몰로지를 계산할 수 있다.
2 정의
[math]\left(A,d\right)[/math]가 사슬 복합체라는 것은 아벨 군 [math]\cdots,A_{-1},A_{0},A_{1},A_{2},\cdots[/math]과 준동형사상(homomorphism) [math]d_k:A_{k}\to A_{k-1}[/math]가 존재하여, [math]d_k \circ d_{k+1}=0[/math]이 된다는 것을 의미한다. [math]d[/math]를 경계 사상(boundary map)이라고 부른다. 편의상 준동형사상들의 아래첨자를 생략하기도 한다. 반대로 [math]d[/math]의 화살표 방향을 바꾸어주면 듀얼인 공사슬 복합체(cochian complex)에 대해서 생각할 수 있다.
3 사슬 사상
두 사슬 복합체 사이의 사상을 생각할 수 있는데, 이를 사슬 사상이라고 부른다. 정확히는, 사슬 사상은 각 사슬 복합체 사이의 준동형사상이면서 경계 사상과 가환이도록 하는 사상을 일컫는다. 즉, 어떤 두 사슬 사상 [math]\left(C,d\right)[/math]과 [math]\left(D,d'\right)[/math]에 대해서, [math]f[/math]가 사슬 사상이라는 것은 [math]f_k:C_k\to D_k[/math]인 준동형사상들이 존재하여, [math]f_{k-1}\circ d_{k}=d'_{k}\circ f_{k}[/math]임을 의미한다.
4 호몰로지
호호호 몰르지?
[math]d_k \circ d_{k+1}=0[/math]라는 좋은 성질 때문에, [math]d[/math]의 핵(kernel)은 언제나 [math]d[/math]의 상을 포함한다. 즉, 핵을 상으로 나눈 몫 대상(quotient object)에 대해서 생각할 수 있다. 그러니까, [math]k[/math]번째 호몰로지 [math]H_k[/math]는 [math]\text{Ker} d_{k+1}/\text{Im} d_k[/math]로 정의된다. 호몰로지가 중요한 이유는 대략 두 가지라고 볼 수 있는데, 첫째로 사슬 복합체를 직접 구하는 것보다 더 쉽고, 둘째로 호몰로지가 다르다는 것이 사슬 복합체가 다르다는 것의 의미하기 때문이다.
5 어디다가 써먹는가?
사실 이렇게 정의만 봐서는 이딴 걸 왜 정의하는지 이해가 잘 안 갈 수 있는데, 이들은 위상 공간이라는 복잡한 것들을 대수적으로 이해할 수 있도록 하기 때문이다. 밑에 예를 보면 알겠지만, 위상 공간에서 사슬 복합체로 가는 함자를 잘 잡으면 위상 공간을 분류할 수 있게 된다. 예를 들어, 특이 사슬 복합체를 쓰면 구는 [math]R, 0, R[/math]이 나오는데 도넛은 [math]R, R^2, R[/math]이 나온다. 이것만 가지고 이 둘이 같은 호모토피 클래스에 있지 않다는 결론이 바로 나오는 것이다. 다만 이러한 함자를 잘 찾는 것이 어렵다고 할 수 있다.
6 예
6.1 특이 사슬 복합체
위상 공간을 삼각형이나 사면체 등의 단체(simplex)로 나눈 뒤, 그것이 만들어내는 대수적 구조를 확인하는 방법이다. 정확히 정의하자면, 먼저 [math]n[/math]-단체는 [math]R^m \left(m\gtn\right)[/math] 공간에서 [math]n+1[/math]개의 아핀 독립(그러니까 어떤 3개의 벡터도 일직선 위에 있지 않다는 뜻이다)인 벡터들을 꼭짓점으로 가지는 어떤 도형을 일컫는다. 꼭짓점이 [math]a_0 , a_1 , \cdots, a_n[/math]으로 되어있다면 이를 [math]\left(a_0 , a_1 , \cdots, a_n\right)[/math]라고 나타낸다. 그 중에서도, 특이 [math]n[/math]-단체([math]\triangle ^n[/math])라 함은 [math]R^n[/math] 공간에서 [math]\left(1,0,\cdots,0\right),\left(0,1,0,\cdots,0\right),\cdots,\left(0,0,\cdots,0,1\right)[/math]을 연결하여 만들어지는 도형을 말한다. 즉, [math]e_i=\left(0,0,\cdots,0,1,0,\cdots,0\right)[/math]([math]i[/math]번째만 1인 단위벡터)라고 정의하면, [math]\triangle ^n=\left\{c_1 e_1+\cdots+c_n e_n, \forall k,c_k\gt0, \sum_k c_k \leq 1\right\}[/math]이다.
이제 이런 모든 특이 [math]n[/math]-단체에서 어떤 위상공간 [math]T[/math]로 가는 모든 연속함수를 생각한 뒤, 그 함수들로 자유 아벨 군(free abelian group)을 생성하자. 그러면 이것이 특이 [math]n[/math]-사슬 [math]C_k[/math]가 된다. 이제 경계 사상 [math]\partial_k : C_k \to C_{k-1}[/math]을 만들어주면 되는데, 이는 [math]n[/math]-단체의 원소를 하나 제거하여 만든 [math]n-1[/math]-단체의 교차합(alternating sum)으로 정의된다. 즉, [math]\partial_k c_k\left(a_0, a_1,\cdots, a_n\right)=\sum_i \left(-1\right)^i c_k\left(a_0,\cdots,\hat{a_i},\cdots,a_n\right)[/math]으로 정의된다. (hat 기호는 이 원소를 제외한다는 의미이다.)
그러면 자명(?)하게 [math]\partial_k \circ \partial_{k+1}=0[/math]가 0인데, 그러므로 호몰로지에 대해서 생각할 수 있다. 이를 특이 호몰로지라고 한다.
특이 호몰로지를 찾는 것은 간단하게 서로 다른 호모토피 클래스에 있으면서 닫혀있는 도형이 몇개인가를 세는 문제와 같다고 할 수 있다. 예를 들어, 구 [math]S^n \left(n\gt2\right)[/math]의 경우, 이 구 위에서 그려진 임의의 원을 점으로 줄일 수 있으므로 1번째 호모토피가 0이 된다. 또한 0번째 호모토피의 차원은 경로 연결 성분(path-connected component)의 갯수와 같다는 사실이 알려져있다.
[1]
[math]n[/math]번째 특이 호몰로지의 차원 수를 베티 수(betti number)이라고 하며, 이 베티 수의 교차합을 오일러 지표(Euler characteristic)이라고 하는데, 이것이 바로 그 오일러의 다면체 정리에 나오는 [math]\chi=v-e+f[/math]와 같다.