대수학

大數學, great mathematics, grand mathematics, big mathematics
代數學, algebra

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대수학
이론
기본대상				방정식 ・ 부등식 ・ 산술
수 체계				실수 · 복소수 · 사원수
구조와 관심대상
군(Group)						군의 작용, 실로우 정리
환(Ring)						가환대수학
체(Field)						갈루아 이론
가군(Module)
대수(Algebra)
정리
대수학의 기본정리 · 나머지 정리
다항식 · 유클리드 호제법 · 대수#s-1 · 노름
분야와 관심대상
대수학
	정수론						대수적 정수론 · 해석적 정수론
	선형대수학						벡터 · 행렬 · 선형변환
	대수기하학						스킴 · 모티브 · 사슬 복합체

1 개요

큰 숫자를 다루는 학문 대(代)를 세기(數) 위한 학문(學) 숫자 대신에 문자를 쓰거나, 수학법칙을 간명하게 나타내는 것을 다루는 학문이다. 말인즉슨 저기의 '대'는 대입(代入)시킨다고 할 때의 그 대다. 이것도 大入이 아니라 사실은 족보학의 일부다.

쉽게 설명해서, 방정식을 풀 때 미지수를 x 혹은 y로 치환하여 문제를 푸는 것을 대수학의 기초라고 보면 된다. 또한, 수학의 기초가 되는 학문이기도 하다. 이 때문에 우리가 알고있는 많은 수학문제들이 대수의 응용으로 풀린다.

보통 학부 2학년 때 선형대수학을 듣고, 3학년때 기본적인 군론과 환론을 포함하는 현대대수학을 배운다.여타 다른 수학과 마찬가지로 학부생들이 저자를 욕하게 되는 과목이다. 대표적으로 Fraleigh <s>개새끼 등.</s> 일반적으로 대학교의 현대대수학수업은 두학기에 걸쳐 진행되는데 첫 학기에는 군, 환 등을 배우고 최종적으로 3대 작도 불능 문제를 증명한다. 두번째 학기에는 갈루아 이론을 배우고 멘붕을 하는데, 이 때 5차 이상의 방정식이 insolvable by radicals, 즉 유한개의 근호와 유리수, 그리고 사칙연산으로 풀리지 않음을 증명한다. 물론, 여기까지 배워 봤자 여전히 걸음마 단계이다 학부시절 수학의 세계는 그저 끝이 없는 것처럼 보일 뿐 사실 이는 나중에 가면 미적분과 같이 많이 사용하는 툴으로 전락해버린다. 예를 들어 대수적 정수론의 첫 장을 피려면 갈루아 이론을 알아야 한다거나, 18시간만에 갈루아 이론을 공부했다든가 하면 별로 어렵지 않게 보인다. 흠좀무

그리고 석사 1년 때 학부 때 배운 것보다 양이 많은 대수학을 배운다.

대학 때 배우는 해석학 역시 최근 교재들은 집합과 대수를 먼저 빠르게 다룬 후, 대수를 보다 적극적으로 활용하여 추상적으로 배우는 경우가 많다. 물론, 초심자 입장에서 추상적일수록 어렵게 느껴지긴 하지만, 이쪽을 선호하는 교수들이 많아지면서 어쩔 수 없게 되었다.

2 역사

시작은 아부 압둘라 무하마드 이븐 무사 알콰리즈미(Abū ʿAbdallāh Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī)로 거슬러 올라간다. 9세기초 페르시아의 수도 바그다드에서 활동한 학자였던 알콰리즈미는 복원과 상쇄의 책(al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala)을 집필하면서 조각난 부분들의 재결합을 의미하는 단어 al-jabr 를 통해서 방정식의 개념과 해법을 최초로 소개했다. 이 때문에 알콰리즈미는 대수학의 아버지라고 불리고, al-jabr의 라틴어 번역인 algebra는 대수학이 되었고, 알콰리즈미를 라틴어식으로 읽은 알고리스무스Algorismus에서 알고리즘(algorithm)이 파생되어 나왔다. 이 다음에 쓴 그의 책 Algoritmi de numero Indorum는 인도의 숫자를 아라비아에 전파해서 아라비아 숫자라는 명칭을 만들어낸 대표적인 책이다. 농담삼아서 이 사람이 없었으면 수학 때문에 머리 썩을 일이 없었을 것이란 소리까지 있다.

알콰리즈미 이후에 인도와 중국 등지에서 음수의 개념이 전해졌고, 이후 지롤라모 카르다노와 그의 제자 로도비코 페라리에 의해서 음의 근 개념과 3차와 4차 방정식이 추가되는 등 방정식의 계산법에 대한 연구가 이어졌다.

이후 닐스 헨리크 아벨이 증명한 5차 이상의 다항방정식의 일반해 공식을 찾을 수 없다는 것이 전환점이 되어 갈루아 등에 의해 방정식 내부의 숨은 원리를 찾는 방향으로 발전하게 된다. 현대의 대수학은 방정식 외에 수학적 법칙을 일반화하고 간단하게 나타내는 데 사용한다.

3 현대

현대의 대수학은 일반적으로 대수적 구조를 연구하는 학문 분야로 취급되고 있다. 대수학의 분야로는 반군론, 군론, 환론, 선형대수학, 격자론, 정수론, 대수기하학 등이 있다.

4 교재

• Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra

현대대수학 입문서적. 한국어 번역본도 시중에 나와있으며, 번역 질은 준수한 수준. 수많은 예제들과 친절한 설명이 특징이다. 많은 학교에서 학부 대수학 교재로 이 책을 써서 많은 학생들이 저주하는(...) 책 중 하나지만, 사실 이 바닥 교재 중에선 난이도가 낮은 편이다.

• 이인석, 학부 대수학 강의 II: 대수학

선형대수학 문서에도 소개되어 있는 동 저자의 '학부 대수학 강의 I: 선형대수와 군'의 속편이다. 전편에서 군론의 상당 부분을 다뤘다는 점을 감안하여 통상 학부 3학년 수준의 대수학보다 약간 심화된 내용을 다룬다. 특히 학부 과정에서는 잘 다루지 않는 가군(module)과 대수(algebra)에 대한 내용도 깊이 있게 서술한 것이 특징.

서울대학교에서 통년 선형대수학 교재로 I권은 거의 바이블처럼 자주 쓰이지만, 정작 이 책은 저자 외에는 잘 쓰지 않는듯. 안습.

• Dummit, Foote, Abstract Algebra

상당히 다루는 내용이 많으며, 그만큼 두껍다(...) 첫 현대대수 교재로는 어렵지만, 예제들과 그에 따른 해설 등은 상당히 뛰어난 수준.

• S.Lang, Algebra

대학원 수준의 대수학 바이블 교재. 현대대수, 선형대수 및 기초가 안 돼있으면 시작조차 해볼 수 없는 책이다. 책의 내용의 밀도도 장난이 아니라, 학부 과정에서 1~2학기에 걸쳐 배울 내용을 처음 100여 페이지에 압축시켜놓은 수준.

• J. Gallian. Contemporary Abstract Algebra

다루는 내용은 일반적인 학부생 수준의 대수학교재로 난이도는 프렐라이 교재보다 조금 어려운 수준, 상당량의 연습문제가 있는고 특이하게도 컴퓨터 관련 연습문제들이 실려있는것이 특징이다. 그만큼 내용에 대한 심도있는 이해는 어느정도 넘기는 수준, 특히 갈루아 이론 부분은 증명을 아예 언급하지도 않는다. 코딩이론 부분도 특별하게 다루고 있는것을 보면. 순수수학도보다는 컴퓨터과학도들이 보기 좋은 대수학책이다.

5 관련 항목

• 대수학의 기본 정리
• 선형대수학
• 현대대수학 - 군론/환론
• 3대 작도 불능 문제
• 다항식
• 수 체계