아르키메데스 성질

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1 진술

임의의 [math]\varepsilon\gt0[/math], [math]M\in \mathbb R[/math]에 대해 [math]N\varepsilon\gtM[/math]을 만족하는 자연수 [math]N[/math]이 존재한다.

2 증명

실수의 완비성 공리를 이용하여 귀류법으로 증명할 수 있다. 아래는 자세한 내용.

먼저 임의의 자연수 [math]N[/math]에 대해, [math]N\varepsilon \lt M[/math]이라 가정하자. 그러면 [math]S:=\left\{n\varepsilon \ |n\in \mathbb{N}\right\}[/math]은 상계를 갖는다. 집합 [math]S[/math]는 공집합이 아닌 실수의 부분집합이므로, 완비성 공리에 의하여 최소상계 [math]\mu=\sup S[/math]가 존재한다. [math]\sup S[/math]의 정의에 의해, [math]\mu-\varepsilon[/math]은 집합 [math]S[/math]의 상계가 아니므로 [math]\mu-\varepsilon \ltn\varepsilon [/math]인 자연수 [math]n[/math]이 존재한다. 그러면 [math]\mu \lt(n+1)\varepsilon [/math]이 성립하고, [math]n[/math]이 자연수이면 [math]n+1[/math]도 자연수이므로 이는 곧 [math]\mu\ltm\varepsilon [/math]인 자연수 [math]m[/math]이 존재한다는 것을 의미한다. 다시 말해 [math]S[/math]의 원소 중 최소상계 [math]\mu = \sup S[/math]보다 큰 것이 존재하며, 이는 [math]\sup S[/math]의 정의에 모순이다. 따라서 집합 [math]S[/math]는 상계를 가지지 않는다. 즉, 임의의 실수 [math]M[/math]에 대해 [math]N\varepsilon\gtM[/math]을 만족하는 자연수 [math]N[/math]이 존재한다.

3 활용

아르키메데스 성질을 이용하면 수열 [math]\displaystyle \left\{\frac{1}{n}\right\}[/math]이 0으로 수렴함을 보일 수 있다.
증명

아르키메데스 성질에 의해 임의의 양수 [math]\varepsilon[/math]에 대하여 [math]N\varepsilon\gt1[/math]인 자연수 [math]N[/math]이 존재한다. 그러면 [math]\displaystyle \frac{1}{N}\lt\varepsilon[/math]이므로 [math]n\geq N[/math]인 임의의 자연수 [math]n[/math]에 대하여 [math]\displaystyle \left|\frac{1}{n}\right|\lt\varepsilon[/math]이 성립한다. 따라서 [math]\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}=0[/math]이다.