양자장론

量子場論/Quantum Field Theory, QFT

---

1 소개

수식을 통한 접근방법론 중에서, 원자보다 더 작은 입자나 준입자를 표현하는 방법으로써 사용되는 도구이다. 전자는 고에너지 입자물리학(High energy Particle physics)에서, 후자는 응집물질물리학에서 해당 입자를 표현하는데 쓰인다.

양자역학과 양자장론사이의 가장 두드러진 차이는, 입자가 존재한다는 것을 이미 바닥상태에서 들떠 있는 상태로 치부한다는 점이다. 이것은 파동함수의 물리량의 정보를 끌어내기 위해 연산자를 사용한 양자역학과 달리, 입자를 지우고 만드는 개념으로 파동함수 자체를 연산자로 취급했다는 점이 원인이다.

따라서, 양자역학에서 다루는 양자화와 양자장론에서 다루는 양자화는 차이가 있다. 양자역학에서 다루는 양자화를 1차양자화(1st quantization, 물리량을 연산자로 다룸)라 부르고 양자장론에서 다루는 양자화를 이차양자화(2nd quantization, 파동함수를 연산자로 다룸)라고 구별해서 부른다. 2차 양자화에서는 (수학적으로) 입자를 만들고 지우기에 입자의 상태함수는 불변한 물리량이 아니다. 때문에 상태함수를 장(Field)이라고 구분하며 파동함수라 부르지 않는다.

양자장론은 양자역학에서 계산할 수 없는 비탄성충돌(두개가 서로 부딪친 후 처음것과 다른 것들이 날아가는 충돌과정)을 계산할 수 있다라는 강점이 있는데, 해당 과정을 나타내는 수식은 파인먼 도형(Feynmann diagram)을 통해 쉽게 결정 할 수 있다.

특히, 양자장론중에 전자기상호작용을 다룬 양자 QED(Quantum electrodynamics, QED)은 현재 인류가 가지고 있는 물리학 법칙중에서 정말 미칠듯한 정확도로 현상을 예측한다. 우리가 흔히 알고 있는 입자물리학의 표준모형이란 양자장론으로 구성되었다.

2 상대론적 양자장론

입자물리학에서 양자장론을 다룬다 하면, 100% 이거다. 입자물리학의 이론을 구성하는데 핵심적인 도구이다.

이름에서 보이는 것 같이 상대성 이론과 양자역학을 합친 것인데, 실은 어폐가 있는 것이 상대성 이론중에서도 특수 상대성 이론만을 적용했기 때문이다.

인과율 문제를 회피하기 위해서 새로운 방식으로 양자화를 결정하게 되는데 앞서 소개한 2차양자화가 이에 해당한다. 2차 양자화를 하기 위해서는 정준위치(Canonical position)와 그에 대응하는 정준운동량(Canonical momentum)을 찾아야하는데, 이것은 라그랑지언과 그것을 만족하는 오일러 라그랑주 방정식을 통해서 정할 수 있다.

오일러 라그랑주 방정식을 우리가 알고 있는 1차양자화로 표현한 공식으로 설정하여, 정준좌표에 대응 하는 물리량을 대입하게 된다. 이 과정에서 정준좌표는 우리가 알고 있는 시간-위치가 아니라 파동함수 자체가 정준 위치로써 작동한다는 점에서 고전적인 라그랑지언과 큰 차이를 나타나게 된다.

그리고 시간과 공간을 동시에 다뤄야하기 때문에 고전적인 라그랑지언을 변수로써 분리해 라그랑지언 밀도(Lagrangian density)라는 개념으로 해석해야 한다.

특히 장론에서는 그 무엇보다도 라그랑지언이 무엇이냐를 판단하는 것 자체가 매우 중요한데, 최소작용원리로부터 법칙은 광역대칭성을 항상 만족하며 각각의 광역대칭성에 연결되는 물리량들이 항상 보존된다는 것을 논리적으로 보장한다.

이것을 극명하게 나타낸 것이 뇌터의 정리이다. 뇌터의 정리를 통해서, 2차양자화에 적용해야 하는 연산자들이 어떤 꼴일지를 명확하게 보여준다. 또한, 라그랑지언으로부터 찾을 수 있는 정준위치와 정준운동량을 통해 인과율 문제가 깔끔하게 해결된 전파 연산자를 찾을 수 있다.

다만, 해당 논리들을 이용해 입자의 상태함수를 연산자로 채택하게 되면 필연적으로 조화진동자에서 등장하는 사다리 연산자(Raising operator, lowering operator)와 같은 성질을 가지는 연산자로 표현해야한다는 점을 알 수 있게 되는데, 이 해석은 입자가 아무것도 없는 진공상태는 없는 것이 아니라는 것을 지지한다.

다행히도 진공상태에 한해서는 양자역학에서 다뤄온 (Fock space에 속한)파동함수의 성질을 그대로 써 먹을 수 있다는 장점이 있지만, 만들어진 입자에 대해서 정규화를 설정할 때 정규화 계수를 1로 설정할 수 없다는 난점도 있다.

3 장(Field)

장이란, 위치와 시간에 대한 물리량을 가지고 있는 물리량이다. 파동함수와 같은 정의로 표현되되 이 둘이 명확하게 다른 것은, 바로 불변적이냐 아니냐이다. 물리계 자체를 나타내는 파동함수는 불변적이며 주어진 파동함수로부터 물리량을 끌어낼 수 있지만, 장은 불변적이지 않으며, 우리가 임의대로 만들고 지울 수 있다(양자역학에서 언급하는 파동함수가 불변일 것이란 가정을 진공상태가 가져간다).

이차양자화를 하기 앞서, 파동함수를 어떻게 결정할 것인가에 대해서 먼저 파악을 할 필요가 있다. 해당 내용은 양자역학에서 사용한 푸리에 변환을 사용한다. 코펜하겐 해석이 제시하는 명제들이 맞다는 가정하에, 임의의 파동함수는 파동의 중첩방정식(푸리에 변환식)으로 표현할 수 있게 된다. 다만, 상대론적 양자역학에서는 위치 뿐만 아니라 시간또한 고려해야 하기 때문에 파동함수는 다음과 같은 시공간 변수로써 나타내게 된다.

다음과 같이 4차원 벡터(내적곱을 할 것은 아니고 표현을 빌려온 것 뿐이다)를 규정하고,

[math] x^\mu =(t,x,y,z), \qquad X^\mu =(T,X,Y,Z)[/math]

다음과 같이 변수가 한정된 범위에서 나타난다고 하였을 때,

[math] x^\mu \in [-X^\mu, X^\mu][/math]

각 변수에 따른 확률들은 모두 독립적으로 작용할테니, 다음과 같이 표현할 수 있다.

[math]\displaystyle \phi(t,x,y,z) = \sum_{n=0}^\infty \left[ a_n \sin \left(\frac{n\pi}{X}x\right)+ b_n \cos\left(\frac{n\pi}{X}x \right) \right] \times \sum_{m=0}^\infty \left[ c_m \sin \left(\frac{m\pi}{Y}y \right)+ d_m \cos\left(\frac{m\pi}{Y}y \right) \right] [/math]

[math]\displaystyle \qquad\qquad\qquad \times \sum_{r=0}^\infty \left[ f_r \sin \left(\frac{r\pi}{Z}z\right)+ g_r \cos\left(\frac{r\pi}{Z}z \right) \right]\times \sum_{s=0}^\infty \left[ h_s \sin \left(\frac{s\pi}{T}t\right)+ j_s \cos\left(\frac{s\pi}{T}t \right) \right] [/math]

만약 [math] X^\mu[/math]의 크기를 무한대로 보내서, 위치, 시간의 변수가 존재할 수 있는 공간을 실수 전체 영역으로 확장하면, 우리가 익히 아는 푸리에 변환이 된다. 시간 변수를 제외한 위치변수에 대해서 푸리에 변환으로 나타내면 다음과 같이 표현된다.

[math]\displaystyle \phi(t,x,y,z)=\lim_{T\to \infty}\sum_{s=-\infty}^{\infty}\iiint \frac{d^3 \vec{p}}{(2\pi)^3}\phi(\vec p) D_s e^{\frac{i}{\hbar}\vec p\cdot \vec x} e^{-\frac{i}{\hbar} E_s t}[/math]

어디까지나 임의의 [math]\vec{p}[/math]와 [math]E[/math]에 관한 일반적인 푸리에 변환이기 때문에 , 구성된 (불완전한) 푸리에 변환식이 항상 아인슈타인의 에너지-운동량 관계식을 만족하는 것은 아니다.
[math]\displaystyle (-\hat H^2 +\hat P^2 +m^2)\phi(t,x,y,z) \neq 0 [/math]

하지만 우리가 알고 있는 한 상대성이론의 에너지-운동량 관계식은 법칙으로써 작동한다는 것을 알고 있고, 항상 만족하길 바라기 때문에 시간의 계수항([math] D_s [/math])이 [math] E^2 = \left(\vec P\right)^2 + m^2[/math]을 만족하도록 조정해 줄 수 있는 특수한 함수가 필요하다는 것을 알 수 있다. 어떤 [math]\vec P[/math]와 [math]E[/math]가 주어져도, 항상 에너지-운동량 관계식이 성립할 수 있도록 조정해 줄 수 있는 함수는 디락 델타 함수다.

[math]\displaystyle \lim_{T \to \infty}\sum_{s=-\infty}^{\infty} D_s e^{-\frac{i}{\hbar} E_s t} = \int dE\,\, \delta \left[E^2 - (\vec p^2 +m^2))\right] \phi_0(E) e^{-\frac{i}{\hbar} E t}[/math]

[math]\displaystyle \qquad\qquad\qquad \Longrightarrow \quad \phi(t,x,y,z) = \int \frac{d^3 p \, dE}{(2\pi)^3}\phi(\vec p)\phi(E) \delta (E^2 - \vec p^2 -m^2) e^{\frac{i}{\hbar} \left(\vec p\cdot \vec x- E t\right)}[/math]

여기서 [math]\phi(\vec p) \phi_0 (E)[/math]는 운동량 [math]\vec p[/math] 와 [math]E[/math] 를 가지는 평면파[math]\left(\exp(\frac{i}{\hbar}\left[\vec p \cdot \vec x - E t\right]\right)[/math] 의 진폭이다. 다음과 같이 묶어서 에너지,운동량에 따르는 함수로 표현할 것이다.

[math]\displaystyle \phi(\vec p) \phi_0 (E) = \phi(E, {\vec p})[/math]

그런데 아인슈타인의 에너지-운동량관계가 성립하도록 집어 넣은 디락 델타 함수의 꼴을 보면, 음의 에너지 값과 양의 에너지 값을 허용한다는 것을 알 수 있다. 따라서 디락 델타 함수를 지우고 운동량 적분의 관계식으로 나타내면 다음과 같이 두개의 항으로 쪼개지게 된다.([math]E_p =\sqrt{{\vec p}^2 +m^2}[/math])

[math]\displaystyle \phi(t,x,y,z) = \int \frac{d^3 \vec p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_p}\left[\phi(E_p, \vec p) e^{\frac{i}{\hbar}\left(\vec p \cdot \vec x - E_p t \right)} + \phi(-E_p, -\vec p) e^{-\frac{i}{\hbar}\left(\vec p \cdot \vec x - E_p t \right)}\right][/math]

위에서 선보인 방정식은 상대론적 양자장론에서 쓰이는 장의 (가장 단순하면서)일반적인 형태이다. 만약 클라인-고든 방정식만을 만족한다면 위의 방정식을 그대로 쓰게 되고, 디락 방정식을 만족하면 [math]\phi(E_p,\vec p)[/math]가 양자역학에서 봐온 스피너(같은 변환에 대해 다른 방향으로 변환되는 1/2 스피너 두개의 결합상태)로 바뀌게 되고, 전자기파의 경우, 맥스웰 방정식을 만족한다는 특징과 연결되어 편극벡터가 된다.

이차양자화를 고려하게 되면, 진폭[math]\phi(E_p, \vec p)[/math]가 연산자가 되어야 하며, 연산자의 특성이 사다리 연산자와 비슷하다는 것을 알 수 있다.

4 교육과정과의 연관

주로 물리학과 대학원 과정으로 개설된다.