증감표

증감표

함수의 증가와 감소를 나타낸 표.

1 개요

미분을 배우는 학생들이 가장 그리기 귀찮아하는 것들 중 하나
특정한 함수의 그래프의 개형을 파악하기 위하여 함수의 증가와 감소, 변곡점(위로 볼록에서 아래로 볼록 또는 아래로 볼록에서 위로 볼록으로 변하는 지점위로 볼록과 아래로 볼록은 말 그대로 그래프 모양이 그렇게 생겼다는 뜻)을 나타낸 표이다.
보통 왼쪽에서 첫 번째 열에는 위에서부터 차례로 x, f'(x)(도함수 기호), f"(x)(이계도함수 기호), f(x)를 쓰며, 그 오른쪽의 경우 첫 번째 행에는 x의 값을, 두 번째 행에는 f'(x)의 값(양일 경우 +, 음일 경우 -, 0일 경우 0으로 표기), 세 번째 행에는 f"(x)(양일 경우 +, 음일 경우 -, 0일 경우 0으로 표기), 마지막 네 번째 행에는 f(x)의 증가와 감소(보통 화살표로 나타냄)를 표시한다. 이때, f'(x) 또는 f"(x)의 값이 0이 되는 x의 값을 나열하는 것이 보통이다. 단, 변곡점(함수의 오목, 볼록)을 구할 필요가 없을 때에는 f"(x)를 생략하여 나타낸다.

2 예시

Ex: f(x)=2x^3-9x^2+12x의 경우를 예로 들자면
f(x)의 도함수(미분한 함수)는 f'(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)이고 f'(x)=0이 되는 x는 x=1, x=2
f'(x)의 도함수는 f(x)=12x-18이고 f(x)=0이 되는 x는 x=1.5
(단, f(x)의 화살표는 f(x)의 증가와 감소만을 고려함)

x	...	1	...	1.5	...	2	...
f'(x)	+	0	-	-	-	0	+
f(x)	-	-	-	0	+	+	+
f(x)	↗	5(극대)	↘	4.5(변곡점)	↘	4(극소)	↗

위 표를 통하여 f(x)의 그래프의 개형을 상상할 수 있다.

3 용도(고등학교 수학 내에서)

각 용도에 대하여 위 '예시' 의 함수를 대상으로 문제를 해결해 본다.
참고로, 극대, 극소란? f(x)의 값이 어떤 x를 기준으로 그 x의 좌우에서의 f(x)가 더 크면 극소, 더 작으면 극대이다. 이렇게 설명하면 어려우므로, 극대는 f(x)의 그래프가 '볼록 튀어나온' 부분 산 정상, 극소는 반대로 '아래로 튀어나온' 부분 산골짜기, 땅굴 바닥이라고 하면 쉬울 것 같다.

3.1 f(x)의 증가, 감소, 극대와 극소 조사하기

미분을 배운 학생이라면 익히 알고 있을 것이다. f(x)의 도함수 f'(x)가 +일 때 증가하고, -일 때 감소하고, 0일 때 극값을 갖는다는 것을.(단, f'(x)=0인 x의 좌우에서 f'(x)의 부호가 변하지 않을 때는 극값이 아니다) 위 예시에는 f'(x)>0인 x의 범위는 x<1, x>2이고, f'(x)<0인 x의 범위는 1<x<2이다. 따라서 함수 f(x)는 x<1, x>2에서 증가하고, 1<x<2에서 감소한다는 사실을 알 수 있다.
잘 생각해 보면, 증가와 감소만을 조사할 때는 증감표 없이도 f'(x)=0이 되는 x와 f'(x)가 0보다 큰지 작은지만을 이용하여 증가인지 감소인지 판단할 수 있다그러나 학교 수업에서는 무조건 증감표 그리라고 하는 게 현실. 그러나 극값(극대, 극소)을 구할 때는 f'(x)=0인 x 중에서 그 x의 좌우에서 f'(x)의 부호가 변해야지만 극값이므로, 증감표를 그리는 것을 추천한다.

3.2 f(x)의 그래프의 오목, 볼록, 변곡점 판단하기

여기서는 이계도함수(f(x)를 두 번 미분한 함수)를 이용해야 한다. 이계도함수 f"(x)에 대하여 f"(x)>0이면 f'(x), 즉 '기울기' 가 증가하므로 f(x)는 아래로 볼록(위로 오목)이고, f"(x)<0이면 f'(x), 즉 '기울기' 가 감소하므로 위로 볼록(아래로 오목)이다. 또한 오목, 볼록의 상태가 변하는 '변곡점' 에서 f"(x)=0이다. 단, f"(x)=0이어도 그 x의 값의 좌우에서 f"(x)의 부호가 변하지 않으면 '기울기' 가 증가(아래로 볼록, f"(x)>0)하거나 '기울기' 가 감소(위로 볼록, f"(x)<0)하는 상태가 유지되므로 변곡점이 아니다.
위 표에서는 f"(x)>0, 즉 아래로 볼록인 x의 범위는 x>1.5, f"(x)<0, 즉 위로 볼록인 x의 범위는 x<1.5이다. f"(x)=0인 x는 x=1.5인데, x=1.5의 좌우에서 f"(x)의 값이 -에서 +로 변하므로 x=1.5인 점, 즉 (1.5, 4.5)는 f(x)의 변곡점이다.
이때 f(x)의 증가, 감소, 극대, 극소 판단과 마찬가지로 오목, 볼록만을 판단할 때는 f"(x)가 0보다 큰지, 작은지, 0인지만 확인하면 되므로 증감표가 필요 없다그러나 시험 문제에서는 변곡점까지 다 구해야 할 때가 많음. 그러나 변곡점을 찾을 때는 f"(x)=0인 점의 좌우를 확인해야 하므로 증감표를 그리는 것을 추천한다.

3.3 함수의 그래프 그리기

증가, 감소, 오목, 볼록만을 판단하여 그래프를 그릴 수 있는 경우 증감표가 필요 없지만, 그 외에 극대, 극소, 변곡점을 찾아야 할 때는 증감표가 필요하다. 일반적으로 후자의 경우에 해당하므로, 함수의 그래프를 그릴 때 대부분 증감표를 활용한다.

3.4 그래프 그리기가 '혼란스러운' 경우

증감표 그리기가 원래 필요 없다고 여겨지는 증가, 감소, 오목, 볼록만을 판단하는 경우라도 함수가 복잡하거나(?)해서 그래프 그리기가 혼란스러울 때는f'(x)=0인 x는 어쩌고저쩌고... 멘붕증감표를 그려서 개형을 추측해 보는 것을 추천한다.

3.5 함수의 최대, 최솟값 찾기

일반적으로 연속함수(끊어지지 않은 함수라고 하면 이해 가능)의 최대, 최솟값을 구할 때는 주어진 범위의 경계점, f(x)의 극대, 극솟값 중 f(x)의 값이 가장 큰 것이 최대, 가장 작은 것이 최소이다. 예를 들어, 위 경우에서는 극대는 f(1)=5, 극소는 f(2)=4이다. 0 이상 3 이하인 x에 대해서는 f(0)=0, f(3)=9이므로 f(0), f(1), f(2), f(3) 중 최댓값은 f(3)=9, 최솟값은 f(0)=0이다.
최대, 최솟값을 구할 때는 극대, 극솟값을 먼저 구해야 하기 때문에 증감표가 필요하다고 생각할 수 있다. 그러나 함수가 어떤 구간에서 미분가능한 경우 해당 구간에서 극대, 극솟값은 f'(x)=0이라는 성질을 가지고 있으므로 f'(x)=0인 점을 모조리 찾아내고 주어진 범위의 경계점에서의 f(x)의 값을 조사하여 가장 큰 값이 최대, 가장 작은 값이 최소이다. 이렇게 하면 증감표가 필요 없다.그러나 학교에서는 절대 이렇게 가르치지 않는다

3.6 방정식의 실근의 개수 구하기

예시로 든 함수 f(x)=2x^3-9x^2+12x에 대하여 f(x)=0의 근의 개수를 구해 보자. f(x)가 (1, 5)에서 극대, (2, 4)에서 극소이므로, x<1인 어느 x에서 f(x)=0인 x가 1개 존재한다. 따라서 방정식의 실근의 개수는 1개이다. f(x)가 삼차함수이므로 x<1인 모든 x에 대해서 x>0일 수는 없음은 뻔할 뻔자

함수 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0의 실근의 개수를 구하려면실근 구하라고 하면 머리 터짐... 삼차방정식의 근의 공식이 뭐였더라...(실제로 매우 복잡함) f(x)의 극대, 극솟값을 모두 조사한 후 그것을 바탕으로 f(x)=0인 x의 개수를 추론해야 한다. 이때 단지 f'(x)=0인 x만을 구하려다가는 큰코 다친다.(극대, 극소인지 아니면 f'(x)의 부호가 변하지 않아서 아무것도 아닌지 알 길이 없다)따라서 증감표를 그리는 것을 추천한다.