방정식

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수학계의 만악의 근원
해를 구해야 하는 방정맞은 녀석
근혜 공식
Equation

1 개요

方程式. 일본 한자용어로 대다수의 일본식 한자어가 한국에선 일제강점기 때 들어와 방정식도 비슷하다고 생각할 지 모르지만 일제강점기 이전에도 방정식을 사용 한 학자들이 존재한다. 중국이나 다른 한자어권에선 그냥 방정(方程)으로 쓴다. 인도나 중동, 유럽과 다르게 중화권의 수학에서는 문자까지 사용한 발달이 이루어지지 못하였는데 그 이유는 중국에서는 고대부터 제곱근이나 세제곱근을 구하는 알고리즘을 확립하고, 고차방정식의 수치해법으로서 호너법(Horner's method)과 같은 방법들이 11 ~ 13세기에 걸쳐서 확립되었기 때문이다. 그래서 이차방정식의, 더욱이 고차방정식의 근의 공식을 구하는 방향으로 노력이 이루어지지 않았다. 방정식을 문자식으로 나타내는 것은 중국에서 고차방정식의 수치해법과 거의 동시에 등장을 하긴 했는데, 계수마저 완벽하게 문자로 된 일반방정식을 나타내는 문자식은 등장하지 않았다. 심지어 서양의 수학이 수입된 후기 중국 수학에서도 일반적인 문자식은 등장하지 않는다. 알고 있어도 쓰지를 않았다. 언제든지 원하는 정도(精度)로 방정식의 해를 구할 수 있었던 실용주의적인 중국 수학의 관점에서는 일반 방정식을 생각할 필요성이 없었기 때문이다. 사상 때문에 음수의 개념을 받아들이지 못하고 있었던 서양과 비교하면 참 재미있는 일이 아닐 수 없다. 현대 관점에서 보면 개념이 명확하지만 당시 사람들은 지금에 와서 보면 우스운 이유로 고민했다.

방정식에 '方程'이라는 이름이 붙은 것은 중국에서는 1차 연립방정식을 네모난 모양으로 상수들을 써놓고 풀었기 때문이다. 현대에도 계산기 등에서는 1차 연립방정식을 같은 방법으로 행렬을 이용해서 푼다.

'미지수나 미지함수가 1개 이상 존재하는 등식에서 이를 정하면 참 또는 거짓이 되는 식이다. 그 종류에 따라서 다항방정식, 미분방정식, 적분방정식 등으로 나눈다.

방정식은 조건명제라고 해서 그 자체로는 명제로 치지 않는다. 명제가 되려면, 그 문장 그대로를 누가 봐도 참거짓을 똑같이 판정할 수 있어야 하기 때문. 물론, 모든 상수를 대입해도 참인 방정식이 존재하는데, 이 방정식을 항등식이라 한다. 참이 되는 미지수를 해 혹은 근이라고 부른다.

복소수 범위에서 다항방정식은 닫혀있다. 즉 n차 방정식은 복소수 범위에서 n개의 해를 가진다. 이는 대수학의 기본정리 중 하나다. 그러나 절대 순수 대수학적 방법을 써서 증명할 수 없다는 것은 함정.

18세기 즈음엔 모든 방정식이 해가 존재하는지를 증명하는 대수학의 기본정리가 화두였다. 많은 사람이 증명을 시도했고, 사실 매우 근접한 경우도 꽤 많고 증명하는 방법도 매우 다양하게 나와있는 정리이다. 그렇기 때문에 카를 프리드리히 가우스가 증명했다는 것도 약간 애매한 사실이다.

수많은 어레인지가 있으며 문과에 가면 볼 일 없는 어레인지도 존재한다.

다항부등식은 학생들에게 악몽으로 작용하지만 사실은 쫄병 1(...)인 존재로, 모에화도 있을 법하다. 한국인이라면 초등학교 1학년 때 부터 이 녀석과 전투를 벌이게 되는데 승률은 상당히 낮다. 지수방정식같은 경우에는 그냥 죽고 싶을 정도이며 고차식의 복잡한 꼴의 방정식은 만든 사람을 마냥 죽이고 싶다는 살인충동을 느낀 사람도 있다고 한다. 결국 방정식을 정복하느냐 못하느냐에 따라 이과로 갈 것인가, 문과로 갈 것인가가 사실상 결정된다고 볼 수 있다. 특히 고1 수1에서 만나는 해괴망측한 곱셈 공식과 인수분해식들을 보고는 질색을 하곤 하는데, 나중에는 다들 조립제법 쓰게 되어있다. 하지만 미분할 때는 이 복잡한 공식들이 필요할 때가 있다.

미지수가 아니라 아예 미지함수를 찾는 미분방정식등의 진화형이 있다. 물리학의 시작과 끝, 알파에서 오메가라 할수 있는 것이 미분방정식. 잘 알려진 F=ma부터가 간단한 미분방정식이다. 공학에서도 자주 볼 수 있다. 수많은 공돌이들의 적.

경영/경제 계열 학생은 3차 이상을 볼일은 거의 없지만 다원 일차 연립방정식과 싸운다. 그리고 처참히 쓰러져간다. 대학원에 가게 되면 확률미분방정식이라는 괴수를 맞이하게 된다. 물리나 경제에서 최적화문제를 위해서 적분방정식(예를 들면 Lagrangian)을 마주하게 되면?

2차 방정식까지의 일반적 해법( [math] x \in \mathbb{Q}, x \notin \mathbb{Q}^C [/math] 인 해)은 이미 고대 그리스 시대에 발견된 것으로 전해진다. 하지만 3차 방정식 이후는 15세기에 가서야 발견되었다.

최근 EBS 다큐프라임 넘버스 3부 자유의 수 - x 편에서 방정식의 역사에 대한 내용으로 방영하였다.

2 해법

2.1 미지수가 하나인 다항방정식

[math]a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0=0 [/math]와 같이 하나의 미지수 [math]x [/math]에 대한 다항식의 꼴로 정리되는 방정식. 당연히 이 때 [math] a_n\neq 0[/math], [math]n [/math]은 자연수이다. 이 [math]n [/math]에 따라 [math]n [/math]차 다항방정식이라고 불린다.

방정식의 정리는 비교적 간단하다. 이항해서 한쪽에는 0만 남기고, 동류항끼리 묶어버리면 그만이다. 그러나 식 자체가 복잡하면 이것도 절대 간단한 일이 아니다.

2.1.1 일차방정식의 해법

[math] ax + b = 0 [/math] 의 꼴로 정리한 뒤 [math] x = -{b \over a} [/math] 로 나타낼 수 있다. 일차방정식의 정의에 의해 [math] a \neq 0 [/math] 이기 때문이다.

하지만 보이기에만 일차방정식일 뿐 [math] a=0 [/math] 인 경우도 존재한다. 이럴 때는 [math] a [/math] 로 (0으로) 나눌 수 없으므로 다음과 같이 [math] b \neq 0 [/math] 인 경우와 [math] b=0 [/math] 인 경우로 나누어 생각한다.

• [math] a=0 [/math] , [math] b \neq 0 [/math] 인 경우: 이를테면 [math] 0 x = 2 [/math] 의 꼴이므로 [math] x [/math] 에 어떤 값을 대입해도 성립하지 않는다. 따라서 해는 없고, 이를 간단히 불능(不能)이라고 한다.
• [math] a=0 [/math] , [math] b=0 [/math] 인 경우: [math] 0 x = 0 [/math] 의 꼴이므로 [math] x [/math] 에 어떤 값을 대입해도 항상 성립한다. 따라서 가능한 [math] x [/math] 는 수 전체이고, 이를 간단히 부정(不定)이라고 한다.

참고로 [math] a \neq 0 [/math] , [math] b=0 [/math] 인 경우 이를테면 [math] 2 x = 0 [/math] 의 해는 [math] x=0 [/math] , 단 하나 존재한다. 따라서 [math] a \neq 0 [/math] 일 때는 [math] b \neq 0 [/math] 이든 [math] b=0 [/math] 이든 관계없이 [math] x={b \over a} [/math] 이다.

또, 일차 방정식이 절댓값 기호를 포함하는 경우도 있다. 절댓값 기호를 포함한 방정식은 [math]\left|A\right|=\begin{cases}A & \phantom{\cdots}A\ge0\\-A & \phantom{\cdots}A\lt0\end{cases}[/math]을 이용하여 절댓값 기호를 없애는 것이 문제 해결의 핵심이다. 일반적으로 절댓값 기호를 포함한 방정식은 다음과 같은 순서로 푼다.

• 절댓값 기호 안의 식의 값이 [math]0[/math]이 되는 [math] x [/math] 의 값을 경계로 하여 [math] x [/math] 의 값의 범위를 나눈다.
• 각 범위에서 절댓값 기호를 없앤 후 식을 정리하여 [math] x [/math] 의 값을 구한다.
• 위에서 구한 [math] x [/math] 의 값 중 해당 범위에 속하는 것만 주어진 방정식의 해이다.

2.1.2 2차방정식의 해법

2차 방정식의 일반식을 이항정리하는 방법으로 도출한다.
좌면에 미지수와 상수항을 내림차순으로 정리하고, 우변을 [math]0[/math]으로 놓아 [math] ax^2 + bx + c = 0 [/math] 으로 정리한다. 이 때,[math] a\ne 0[/math]이다.
여기서부터 복소수가 나올 수 있는데, 복소수를 허용한다라는 조항이 없다면 [math] x^2 \geq 0 [/math] 이라는 조건이 붙는다.

• 정수 또는 간단한 유리수 범위 안에서 인수분해가 되는 꼴일 경우 [math] a \left(x - \alpha\right) \left(x - \beta\right) = 0 [/math] 의 형태로 정리한다. 이 때의 근은 [math]\alpha[/math] 혹은 [math] \beta[/math]. 즉 근이 2개 존재할 수 있게 되는 것. [math]\alpha [/math] 혹은 [math]\beta [/math]가 근인 이유는 실수가 체를 이루고 0이 덧셈에 대한 항등원이기 때문에 [math] AB=0 \Leftrightarrow A=0 \lor B=0[/math]이기 때문이다.

• 정수 또는 간단한 유리수 범위 안에서 인수분해가 되지 않는 꼴도 있다. 그럴 경우 근의 공식 [math] x = {-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac} \over 2a} [/math] 에 대입시키면 된다. (사실 "인수분해가 되지 않는 꼴"은 없다. 근의 공식 자체가 정형화된 알고리즘을 통해 인수분해를 시키는 것이기 때문. 진짜로 2차방정식이 인수분해가 되지 않는다면 근이 없어야 한다.) 즉 근이 2개.
  • 근의 공식을 유도하는 과정은 다음과 같다.

[math] ax^{2} + bx + c = 0 [/math]

상수항을 우변으로 이항하고, 양변을 [math]a[/math]로 나눈다.

[math] x^{2} + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} [/math]

좌변을 완전제곱식으로 만들기 위해 양변에 [math]\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}[/math]를 더한다.

[math] x^{2} + \frac{b}{a}x + \left ( \frac{b}{2a} \right )^{2} = -\frac{c}{a} + \left ( \frac{b}{2a} \right )^{2} [/math]

좌변을 완전제곱식으로 만들고, 우변을 정리한다.

[math] \left ( x + \frac{b}{2a} \right )^{2} = \frac{b^{2} - 4ac}{4a^{2}} [/math]

제곱근을 구한다.

[math] x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} [/math]

마지막으로 좌변의 [math]\frac{b}{2a}[/math]를 우변으로 이항하면 근의 공식이 나온다.

[math] x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} [/math]

• [math]b[/math]가 짝수인 경우 [math]b=2b'[/math]로 치환해서 약분하면 [math] x = {- b' \pm \sqrt{{b'}^{2} -ac} \over a} [/math] 가 나온다. 이것을 짝수 근의 공식이라고 한다. 한마디로 근의 공식 어레인지 버전.
• [math]a=1[/math]이고, [math]b[/math]가 짝수인 경우 더 간단하게 변형되어서 [math] x = b' \pm \sqrt{{b'}^{2} -c} [/math] 가 나온다.
• 여기서 ​b​² ​​−4ac​​​​​를 D라고 정하고 근의 판별식이라 하는 데 여기서 D > 0이면 서로 다른 두 실근을 가지고 D = 0 이면 실수 한 근만 가진다. 그리고 D < 0이면 서로 다른 두 허근을 가진다. 즉 두 근의 값이 복소수라는 이야기다. 이차함수나 이차부등식을 배울 때도 아주 잘 쓰이는 것이니 잘 익혀두자.

• 식 자체에 미분을 해서 구하는 방법도 있다.

2.1.3 3차방정식의 해법

[math] ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 [/math] 로 정리한 뒤 여러 가지 방법을 이용한다.

• 인수분해가 되는 꼴일 경우 [math] a \left(x - \alpha\right) \left(x - \beta\right) \left(x - \gamma\right) = 0 [/math] 혹은 [math] a \left(x - \alpha\right) \left(x^2 + \beta x + \gamma\right) = 0 [/math] 으로 정리한 뒤 근을 구한다. 2차방정식과 방법이 같다.

• 3차 방정식의 근의 공식을 이용한다. 이 공식은 S. 페로와 N. 타르탈리아가 발견했기 때문에 카르다노의 공식이라고 불린다. 응?
  [math]-\frac{b}{3a}+\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{q^{2}+4p^{3}}}{2}}\omega^{k}+\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{q^{2}+4p^{3}}}{2}}\omega^{2k}[/math]
  ([math]p:=\frac{c}{3a}-\frac{b^{2}}{9a^{2}}[/math], [math]q:=\frac{d}{a}+\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{cb}{3a^2}[/math], [math]\omega[/math]는 [math]x^3=1[/math]의 원시근([math]\omega^2+\omega+1=0[/math])이다.)
  정수 [math]k[/math]의 값에 따라 세 가지 값이 나오는데, 각각이 세 근이다.

다항식 챕터에서 인수분해 풀기 싫어서 공식 외우려는 고등학생은 그냥 인수분해 하는걸 추천한다. 수학과 교수도 (유도과정만 알면 충분히 구하므로) 안 외우는 식이다. 게다가 식에 [math]\sqrt[3]{\phantom{\cdots}}[/math]이 있기 때문에 종이랑 연필 만으로는 답이 안나오는 경우가 허다하다. 공학용 계산기쯤은 동원해야 되는데 공학용 계산기엔 이미 다항식 풀이 기능이 있다.

• 유도 과정은 [math]x=y-\frac{b}{3a}[/math]로 치환해 [math]x^2[/math] 의 계수를 없앤 뒤, [math]a'y^3+c'y+d'=0[/math]로 정리하고, 여기에서 [math]y=u+v[/math]로 다시 치환해서 정리하면 [math]\left(3a'uv+c'\right)\left(u+v\right)+a'\left(u^3+v^3\right)+d'=0[/math]임을 이용, [math]3a'uv+c'=0[/math] 과 [math]a'\left(u^3+v^3\right)+d'=0[/math]의 연립방정식을 통해 [math]u^3[/math], [math]v^3[/math] 값을 찾아서 그걸로 [math]y[/math]값을 구하고 다시 [math]x[/math]값을 계산한다.

• 단, 2차항이 없는 방정식같은 경우엔 이런 방법으로 답을 구하는 게 가능할 수도 있다.

2.1.4 4차방정식의 해법

• 인수분해를 해서 2, 3차 방정식과 같이 구한다.
• [math]ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0[/math]은 [math]cx^2[/math] 를 기준으로 거울처럼 나뉘는데, 이를 상반방정식이라 한다.
  1. [math]a \ne 0[/math]이고 [math]x \ne 0[/math]이므로 양변을 [math]ax^2[/math]로 나누면 [math]x^2 + \displaystyle {b \over a} x + \displaystyle {c \over a} + \displaystyle {b \over ax} + \displaystyle {1 \over x^2} = 0[/math]가 된다.
  2. [math]x^2 + \displaystyle {1 \over x^2} + \displaystyle {b \over a} x + \displaystyle {b \over ax} + \displaystyle {c \over a} = 0[/math]으로 묶어낸다.
  3. 여기서 양변에 2를 더해준 뒤 계수가 [math]\displaystyle {b \over a}[/math]인 항끼리 묶어낸다. 이러면 식은 [math]x^2 + 2 + \displaystyle {1 \over x^2} + \displaystyle {b \over a} \left({x + {1 \over x}} \right) + {c \over a} - 2 = 0[/math]이 된다.
  4. 그리고, [math]x^2 + 2 + \displaystyle {1 \over x^2}[/math]는 [math]\left({x + \displaystyle {1 \over x}} \right)^2[/math]로 묶어내지게 된다. 최종적으로는 [math]\left({x + \displaystyle {1 \over x}} \right)^2 + \displaystyle {b \over a} \left({x + \displaystyle {1 \over x}} \right) + \displaystyle {c \over a} - 2 = 0[/math]이 되는데,
  5. 이제 치환을 하여 [math]y = x + \displaystyle {1 \over x}[/math]로 놓으면, 이것은 [math]y[/math]에 관한 2차방정식이 되므로 [math]y^2 + \displaystyle {b \over a} y + \displaystyle {c \over a} - 2 = 0[/math]이라는 식을 얻는다.
  6. 마지막으로 두 근을 [math]y[/math], [math]y'[/math]라고 하면 각각 [math]y = x + \displaystyle {1 \over x}[/math]와 [math]y' = x + \displaystyle {1 \over x}[/math]에 대입하여 [math]x[/math]의 값 4개를 처음 4차방정식의 근으로 정한다.
• [math]ax^4 + bx^2 + c = 0[/math]과 같은 복이차식의 경우,
  1. [math]x^2[/math] 를 [math]X[/math]로 치환하여 [math]aX^2 + bX + c[/math]에 대한 방정식을 풀어내어 두 근 [math]X_1[/math], [math]X_2[/math]를 얻어낸다.
  2. 그리고 [math]X_1=x^2[/math], [math]X_2=x^2[/math]를 또 한번 풀어내어 4개의 근을 구하면 된다.
• 공식을 이용한다. 이 공식 역시 유도과정이 매우 어렵다. 그냥 있다는거 정도만 알아둬라. 증명자는 루도비코 페라리. 위에서 말한 카르다노의 제자다. 어?

死차 방정식
울프람알파에 익숙치 않은 사람들을 위해 덧붙이자면, 위 그림의 [math] \theta[/math]는 Heaviside Function(계단함수)이다.

2.1.5 5차 이상의 고차방정식의 해법

• 인수분해를 한다. 되지 않으면 포기한다. 쿨하다
  • 수학자 아벨이, [math]n\ge5[/math]일 때, [math]n[/math]차방정식은 주어진 field에서(유리수든 실수 든 복소수든 관계없다.) 유한 번의 제곱근 처리 및 사칙연산으로 답을 구할 수 있는 일반화된 해법이 존재하지 않는다는 사실을 증명했다.

대입법이 있다. 식이 좀 많이 복잡해진다면 인생을 거기에 투자해야할듯

• 수학자인 갈루아는 '5차 이상의 대수방정식이 해법이 구해질 수 있는 조건'에 대해 논문을 썼다. 뭔가를 밝혀냈다는 말 없이 "논문을 썼다" 하나로 서술이 끝났다는 것에서 감이 잡힐 듯 싶다.
• 브링 근호(Bring radical)를 사용하면 임의의 5차방정식의 해를 나타낼 수 있다. [math]x^5+x=a[/math]이 더 이상 유한 번의 제곱근 처리 및 사칙연산을 이용한 인수분해가 불가능할 때, 이 방정식의 근을 ultraradical a로 정의하고 이것을 이용해 5차방정식의 해를 나타낸다. 모든 5차방정식은 치환을 통해 [math]x^5+x=a[/math]의 꼴로 축약할 수 있다. 브링 근호는 타원곡선을 이용하여 나타낼 수 있다.

2.1.6 분수방정식과 무리방정식의 해법

좀 특수한 방정식이지만 2007 개정 교육과정까지 수학2에 들어있던 거라 같이 붙인다. 그런데 2009 개정 교육과정부터는 삭제했다.

• 분수방정식은 분모의 최소공배수를 곱하여 다항방정식으로 고친다. 잠깐, 분수방정식은 분모가 미지수일텐데? 다항식의 최소공배수도 있다.
• 무리방정식은 양변을 제곱하여 다항방정식으로 고친다.
• 그 이후로는 다항방정식의 풀이방법과 동일하다.
  • 주의! 이들 방정식은 무연근이라는게 있다. 분수방정식은 분모를 0이 되게하는 해가, 무리방정식은 해를 대입한 결과 양변의 값이 일치하지 않으면 무연근이다. (유리함수에서 2개의 점근선 중 x축 쪽에 있는 것이 무연근이다.

2.2 미지수가 둘 이상인 다항방정식

연립방정식 참조.

2.3 미지수가 각의 형태인 다항방정식

[math] \cos 2 \theta + 5 \cos \theta + 2 = 0 [/math]

삼각함수의 변형으로, 삼각방정식이라고 한다. 삼각함수가 두 종류 이상 나올 때도 있는데, 이 경우 한 종류의 삼각함수로 통일시켜야 하는데 어렵다.(...) 이런 형식은 미적분 2에서 배운다. 즉, 이과생만 배우는 것.
삼각함수가 주기함수인 관계로, 특수해와 일반해의 개념을 알고 있어야 한다. 일반해는 모든 미지수의 값을 함수의 형태로 응축한 형태이며, 특수해는 주치( [math] 0 \leq x \lt 2 \pi rad[/math] ) 내의 유일한 미지수 값이다.

2.4 미지수가 지수/로그의 형태인 다항방정식

[math] 9^{x} = 27^{2x - 4} [/math]
[math]\displaystyle \log_2 x + \log_2 \left(x - 2\right) = 3 [/math]

각각 지수방정식, 로그방정식이라고 한다. n차 방정식에 비해 좀 풀기가 번거로운 녀석으로, 지수와 로그의 성질을 알아둬야 풀기가 그나마 편해진다. 시험 문제로 나올 때에는 상용로그표가 첨부되곤 한다.
그것도 삼각함수와 같이 미적분 2에서 배운다. 즉 이과생만 배우는 것. 하지만 2015 개정 교육과정에서는 문과도 다시 배운다.
다만 주의할 것은 복소수가 나올 때. 특히 밑이 복소수인 방정식은 그냥 미적분이다.(...)

2.5 미지수가 미분되어 있는 형태인 방정식

미분방정식 참조.

2.6 미지수가 적분되어 있는 형태인 방정식

[math]\displaystyle g\left(s\right)=s\int_{0}^{\infty}K\left(st\right)f\left(t\right)dt[/math]

적분방정식이라고 한다. 부정적분의 경우 미분해 버리면 장땡이지만... 일반적인 적분방정식은 구간이 정의되어 있는 정적분/이상적분이라서 어지간한 미분방정식 뺨치게 어렵다는 것이 문제. 물론 아예 답이 안 보이다시피한 편미분방정식보다는 낫다는 것이 함정.

미적분의 특성상 미분방정식은 발산 정리와 스토크스 정리를 통해 적분방정식으로 상호 변환이 가능하다.

상당수의 초월함수는 정의 자체가 적분방정식의 꼴이다(대표적으로 감마 함수). 심지어는 타원의 둘레를 구하는 과정조차도 적분방정식이다.

2.7 미지수가 텐서 형태인 방정식

[math]\displaystyle G_{\mu\nu} + g_{\mu\nu}\Lambda = {8\pi G \over c^{4}}T_{\mu\nu}[/math]
진 최종보스
텐서방정식이라고 한다. 간단히 말하자면 최소 행렬, 혹은 그 이상이 통짜로 미지수인 방정식이다. 위 식은 대표적인 텐서방정식인 아인슈타인 방정식이며, 다름아닌 상대성 이론과 관련되어 있다.

2.8 일반적인 방정식의 해법

• 일단 기본적으로는, 치환을 한 다음 인수분해를 해서 주어진 방정식을 1차 방정식들의 곱으로 만든 다음, 그 1차 방정식들에 대해 [math]ab=0[/math] 이면 [math]a=0[/math] 또는 [math]b=0[/math]이란 사실을 이용하여 치환된 방정식의 해를 구하고 대입법과 치환된 방정식의 해를 이용해 원래 방정식의 해를 구하면 된다.
• 수치해석학적 알고리즘를 이용해 근사값을 구할 수도 있다. 보통 무한급수의 꼴이나 점화식으로 나타내어지는데, 원하는 오차가 아무리 작더라도 그 오차 이내의 근사값을 충분히 구할 수 있다. 뉴턴법, 보간법 등을 쓰는데, 이 기법들을 이용하면 연속함수로 이루어진 방정식의 대부분의 해의 근사값을 구할 수 있다.

3 사족

• 3차방정식의 해법을 발견한 타르탈리아는 카르다노한테 '절대 발설하지 마라'는 조건하에 비밀리에 이 해법을 가르쳐준다. 그러나 카르다노는 이 공식을 책으로 출판해서 세간에 발설하는 걸로도 모자라 그것도 자기 이름으로 내는 개드립을 친다. 이 사실을 알게 된 타르탈리아는 카르다노를 영원히 저주하게 된다...로피탈의 정리 카르다노는 수학계 사상 최대의 사기꾼이라는 평가가 많다.

그리고 오늘날에도 이 3차방정식의 해법은 '카르다노의 공식'으로 알려지고 있다. 지못미...

다만 타르탈리아의 3차 방정식의 풀잇법은 완전한 형태였던 것은 아니고 카르다노가 타르탈리아의 해법을 바탕으로 연구를 하여 완성한 것이다. 게다가 볼로냐에서 타르탈리아 이전에 페로가 알아낸 불완전한 삼차방정식의 해를 안 카르다노는 더 이상 약속을 지킬 필요가 없다고 생각해 자기 이름으로 3차 방정식의 풀잇법을 공개하게 된다.

• 처음부터 일반적인 삼차방정식 [math] ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 [/math]의 해를 구할 수 있는 것은 아니었고, 페로는 [math]ax^3 + cx + d = 0[/math]의 풀이법을 알아냈고 타르탈리아는 [math]ax^3+bx^2+d=0[/math]의 풀이법을 알아냈다. 그리고 타르탈리아는 페로의 제자와의 대결 과정에서 페로의 해법도 독자적으로 찾아냈다. 그런데 카르다노와 페라리가 알아낸 건 모든 삼차방정식은 [math]ax^3+cx+d=0[/math] 꼴로 쓸 수 있다는 것이었고, 페로의 풀이를 바탕으로 모든 삼차방정식을 풀 수 있다고 발표함으로서 타르탈리아와의 약속을 깨지 않고도 발표할 수 있었다.
• 그리고 이런 사기에 가까운 방법으로 3차 근의 공식의 주인이 된 카르다노도 결국 무사하지 못했다. 그의 아들은 자기 아내를 독살해버리고 사형을 당했으며, 그 역시 후에 이단으로 몰려 빵에 간 걸로도 모자라 자기 책을 출판하는 걸 금지당한다. 타르탈리아의 저주... 그리고 카르다노는 자신이 죽을거라 예언한 날에 맞춰 자살한다.
• 4차방정식의 해법을 발견한 루도비코 페라리는 이후 틈만 나면 술마시고 싸움질하며 도박을 서슴지 않는 막장인생을 살다가 결국 자기 여동생한테 독살당한다. 흠좀무
• 5차방정식의 해법이 존재하지 않는다는 사실을 발견한 닐스 헨리크 아벨은 철저히 가난에 찌든 안습한 인생을 살다가 결국 가난과 질병으로 영양실조와 같이 병으로죽었다.(비극은 죽은 지 얼마안돼 대학교수 채용임명서가 집에 왔다는 것...)
• 게다가 5차방정식을 풀 수 있기 위한 조건을 발표한 에바리스트 갈루아는 철저히 투쟁으로 가득찬 처참한 인생을 살다가 결국 여자를 가지고 권총으로 결투 중 사망한다. 더욱 안습한 건, 이 결투가 주작이라는 의혹이 있다.

이쯤 되면 방정식에 대한 학생들의 원한이 과거로 시간이동이라도 한게 아닌가 싶다.
[1]

한편 드레이크 방정식(Drake equation)이라고 인간과 교신이 가능한 지적인 외계인의 수를 계산하는 방정식이 있다. SETI 프로그램의 창시자인 프랑크 드레이크 박사가 고안한 식이라서 이렇게 불린다. 어떤 이는 드레이크 방정식을 응용해서 특정 인물에게 여자친구가 생길 확률을 계산하기도 했다. 그런데 명문대 대학생이자 여친이 이미 존재한다고...

4 나무위키에 항목이 있는 방정식

극히 일부를 제외하고는 일반인이 이해할 영역은 아니다.

• 나비에-스톡스 방정식
• 드레이크 방정식
• 디랙 방정식
• 디오판토스 방정식
• 라플라스 방정식
• 로지스틱 방정식
• 로트카-볼테라 방정식
• 맥스웰 방정식
• 미분방정식
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• 베르누이 미분방정식 - 위의 베르누이의 큰아버지의 업적이다. 뭔 베르누이가 이리 많아!
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