벡터

1 수학 및 물리학에 등장하는 개념

Vector

기초적인 의미에서 벡터는 도형이 아니라 방향과 크기로 결정되는 양으로 정의한다. 물론 이것조차도 수학적으로 엄밀한 정의는 아니다. '방향'과 '크기'로 정의하는 것은 '물리학'적인 의미에 가깝다. 여기서 벡터라 함은, 공간이란 벡터공간 내부에 정의된 벡터, 즉 기하학적인 벡터. 일반적으로 표기 기호로는 볼드체를 사용하여 [math]\mathbf{V}[/math]로 많이 쓴다. 화살표를 사용하여 [math] \vec{a} [/math] 라 쓰기도 하는데, 고급 이론으로 갈수록 이런 기호를 보기 힘들다.[1] 선형대수학하면서 이런 기호 쓰면 존내 까인다. <s>아니 그럼 어떻게 표시하라는거야.. </s> 교수님마다 표현방식이 달라진다. 화살표, 볼드체, 글자 아래에 물결표등등

수학에서는 그저 '벡터 공간'(Vector space)[2]의 원소가 바로 벡터다. 참고로 벡터 공간의 종류가 엄청나게 다양하기 때문에 물리적 직관을 함부로 적용하기가 힘들다. 함수들로 이루어진 벡터공간도 존재하고,[3] 벡터 공간으로 이루어진 벡터 공간도 존재한다. 즉, 이런경우 함수가 곧 벡터가 되고 벡터공간이 곧 벡터가 된다. 그냥 내가 벡터라고 부르면 벡터가 되는 것이다. 물리학은 그나마 현실세계의 끈을 부여잡고 있기때문에 어느정도 직관이 통하지만, 그런게 없는 수학에서는 상식이란게 전혀 통하지 않는다… 확장 개념으로 텐서가 존재한다. 사실 벡터 자체가 행렬의 일부분으로 행벡터,열벡터로 나뉘어 있다.

벡터공간의 수학적인 정의는 아래와 같으며, 이 벡터공간의 원소를 벡터라 한다.


체(field)[4] [math] F [/math]에 대해, 집합 [math] V [/math]가 "체 [math]F[/math]위의 벡터 공간(vector space)"이라 함은, [math] V [/math]가 [math] F [/math]의 [math] F [/math]-가군(module)인 것이다. 이를 풀어쓰면 다음과 같다. 그리고 이 때, [math]F[/math]를 [math]V[/math]의 스칼라라고 한다.

* (가환군)[math] V [/math] 위에 [math] + [/math]가 정의[5]되어 있으며, [math] \left( V,+\right) [/math]는 가환군(아벨군)이다. 즉 다음의 4가지 성질을 만족한다.
임의의 [math] u , v, w\in V [/math]에 대하여
* 덧셈에 대한 항등원 존재 : [math] V [/math]에는 특정한 원소 [math] 0 [/math]이 존재하여 모든 [math] v \in V [/math]에 대하여 [math] v + 0 = 0 + v = v [/math]
* 덧셈에 대한 역원 존재 : [math] V [/math]의 임의의 원소 [math] v [/math]에 대하여 [math] v + u = u + v = 0 [/math]을 만족하는 [math] u \in V [/math]가 존재한다.
* 교환법칙 성립 : [math] u + v = v + u [/math]
* 결합법칙 성립 : [math] \left( u + v \right) + w = u + \left( v + w \right) [/math]


* (스칼라 배)임의의 체 F에 대하여 함수 [math] f:F\times V\rightarrow V, f(a, v)=:a\cdot v[/math](스칼라 배)가 존재하고 임의의 [math]a,b\in F[/math], [math]u, v\in V[/math]에 대해 다음이 성립한다.
* [math] a\cdot\left(u+v\right)=a\cdot u+a\cdot v [/math]
* [math] \left(a+b\right)\cdot v=a\cdot v+b\cdot v [/math]
* [math] \left(ab \right)\cdot v=a\cdot\left(b\cdot v \right)[/math]
* [math] 1\cdot v=v [/math]

벡터공간 [math]V[/math]의 원소를 벡터(vector)라고 하는데 특히 덧셈 항등원[math]0[/math] 영벡터(zero vector)라고 한다.

참 쉽죠?

문과는 흠많무
이과도 흠좀무

다시 말해 '어떤 상수들의 집합'과 '벡터공간으로 정의할 집합'이 있는데 '어떤 상수들' 간에 덧셈과 곱셈이 잘 정의되고, 이들에 대해 결합법칙과 교환법칙이 성립하고, 항등원과 역원이 있으며,(다만 0에 대한 역원은 제외) '벡터공간으로 정의할 집합' 내에서 덧셈이 잘 정의되고, 이에 대해 결합법칙과 교환법칙이 성립하고, 항등원과 역원이 있으며, 상수들과의 곱셈이 잘 정의 되고, 이에 대해 분배법칙과 결합법칙이 성립하면 모조리 벡터 공간이 된다. 더 쉽게 줄이면, 집합인데, 수 집합은 아니고, 수집합과 관계는 잘 정의되어 있는 집합. 그 집합의 원소가 벡터다.

의외로 초등학교 수학에서 물리학의 벡터와 비슷한 개념이 나오는데, 선분과 직선의 구별이 그렇다. 선분은 크기만을 가지는 양(스칼라)과, 직선과 반직선은 방향성이 있는 양(벡터)와 개념이 얼추 들어맞는다.

이런 장난도 가능하다. (손가락 두 개를 펼쳐 보이며) 이건 양만 있으니 스칼라, (그 손가락으로 상대의 눈을 찌르며) 이건 방향도 있으니 벡터.

1.1 연산

1.1.1 덧셈

대응되는 스칼라 값끼리 더해서 새로운 벡터를 만들 수 있다.
[math] \mathbf{ A } + \mathbf{ B } = \left( a_{ 1 } + b_{ 1 },\ a_{ 2 } + b_{ 2 },\ a_{ 3 } + b_{ 3 } \right) [/math]

1.1.2 상수배

일반적인 곱셈. 그냥 각 항에 스칼라를 곱해주면 된다.
[math] k \mathbf{ A } = \left( ka_{ 1 }, k\ a_{ 2 }, k\ a_{ 3 } \right) [/math]

1.1.3 스칼라곱

[math] \mathbf{ A } \cdot \mathbf{ B } = a_{ 1 }b_{ 1 } + a_{ 2 }b_{ 2 } + a_{ 3 }b_{ 3 } [/math]
두 벡터를 연산했을 때, 결과가 스칼라이다. 학부 수준에서의 내용은 내적 문서 참조. < , > 로 표기하기도 한다.

1.1.4 벡터곱

달리 외적이라고 불리며, 연산결과가 벡터[6]다. 연산 과정에서 뺄셈이 들어가므로 교환법칙 따윈 성립 안 하며, 굳이 자리를 바꾸고 싶으면 벡터 하나의 부호를 바꿔야 한다.
[math] \mathbf{A} \times \mathbf{B} = - \mathbf{B} \times \mathbf{A} = ( a_2 b_3 - a_3 b_2 , a_3 b_1 - a_1 b_3 , a_1 b_2 - a_2 b_1 ) [/math]
여담으로, 성분 개수에 구애받지 않는 스칼라곱과는 달리 성분이 3개인 3차원 벡터에서 깔끔하게 계산이 되므로[7] 보통 3차원 벡터에서 많이 쓰인다. 3차원에서 벡터곱을 통해 나온 결과벡터는 곱하기된 벡터 A, B 모두에 수직이다. 이걸 사용하는 가장 대표적인 개념이 역학에서의 토크(회전력)과 전자기학에서의 자기력.[8][9]
또한 벡터곱의 특성상 동일한 벡터끼리의 연산결과로 영벡터가 나온다.
[math]\mathbf{A} \times \mathbf{A} = \mathbf{0} [/math]

1.1.5 텐서곱

(기호 ⊗, outer product/kronecker product/tensor product)

연산결과가 텐서이며, 두 벡터 간의 행렬곱셈이다. 행렬곱셈의 특성상 당연히 이것도 교환법칙을 씹어먹는다. 만약 두 벡터 간의 순서가 바뀌면 원래 텐서의 전치행렬이 된다. 주의할 점은, 앞쪽 항의 행렬을 시계 방향으로 90도 돌려서 계산해야 한다는 것이다.[10] 물론 텐서 개념이 등장한 뒤에야 다루거나, 텐서의 수학적이고 엄밀한 정의에서 나오거나, 많이 추상화된 대수학에서 쓰이는 개념이다.
[math]\mathbf{A} \otimes \mathbf{B} = \begin{bmatrix} a_1 \ a_2 \ a_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 b_1 & a_1 b_2 & a_1 b_3\ a_2 b_1 & a_2 b_2 & a_2 b_3 \ a_3 b_1 & a_3 b_2 & a_3 b_3 \end{bmatrix}[/math]

1.1.6 델

벡터의 미분 연산이다. 델(연산자) 문서 참조.

1.1.7 여담

자연계 과목을 선택한 고등학생들을 괴롭히는 수학 중 하나지만, 배운 후에는 사기 스킬유용한 개념. 힘들게 풀었던 기하문제들을 단숨에 풀 수 있다. 내적 역시 두 선이 이루는 각을 구할 때 사용하면 너무도 편하다.

특히 (고교 교육 과정 밖이지만) 외적을 배우면 벡터 문제가 아닌 공간도형이나 기하 문제 등에서 유용하게 쓸 수 있다. 예를 들어 이 삼각형의 면적을 구하는 문제는 외적을 계산할 줄 안다면 한 모서리를 기준으로 두 변을 벡터로 만들어 외적을 한 후 크기만 구해주면 끝난다.[11] 이 외에도 한 평면에 존재하는 두 벡터를 던져주고 그 평면의 법선벡터를 빠르게 구하거나 3차원에서 한 점으로부터 직선까지의 거리를 구할 수도 있다. 두 꼬인 직선 사이의 거리도 구하는 방법이 있다.

대학 과정의 수학, 물리학, 공학에서 자주 이용되는 선형대수학이 벡터를 다루는 과목이나, 그 때의 벡터는 기하학적인 것이 아니라 위에서 말했듯이 좀 더 일반화된 것이다. 당장 학부 수준의 물리학이나 미분방정식에서부터 함수를 벡터로 다루는 법을 배우게 된다. 이는 편미분방정식과 푸리에 해석에서 매우 중요한 역할을 하니 이공계열 대학생들이라면 확실히 익혀두자. 특히나 물리학의 경우 양자역학이란게 힐베르트 공간에서 함수를 벡터 취급해서 이러저러한 걸 하는 방식으로 이뤄져있기 때문에 일반화된 벡터라는 개념을 확실히 몸에 익혀놓아야 된다.

대학교 미적분학이나 그 이상의 과정에서는 벡터를 미분하거나 적분하는 일도 많이 있다.

이과생들만의 가장 자주보게되는 용어라고도 한다.

1.2 대중매체에서의 등장

지구용사 벡터맨과는 아무런 관련이 없다고 알려져 있으나, 실은 위의 뜻을 사용한 것이다. 해당 문서 참조.

라이트 노벨 어떤 마술의 금서목록 액셀러레이터는 '자기 몸에 닿는 벡터(방향)를 자유자재로 조종할 수 있다'는 설정이다. 이 때문에 간혹 과학 갤러리 등에 액셀러레이터의 능력에 대해 과학적 해석 같은 걸 질문하는 경우가 있는데, 소설은 소설일 뿐이다.링크 드립이 찰지다 그리고, "벡터(방향)"이라는 말은 마치 '벡터 = 방향' 인 것 같은 착각을 불러일으키는데 그렇지 않다. 위에 있듯이 벡터는 크기와 방향을 '모두' 가진 양이라고 할 수 있기 때문이다.
이에 대해서 벡터의 '크기'는 스칼라이므로, 스칼라들은 그대로 둔 채 벡터만 조종한다면 방향만 바꿀 수밖에 없다고 반론을 제기할 수도 있겠다. 그렇다면 다음을 생각해 보자. '자기 몸에 닿은 어떤 물리량 1'과 '자기 몸에 닿지 않은 어떤 물리량 2'가 있고 두 양이 벡터량일 때, 액셀러레이터는 물리량 1을 변화시키고 물리량 2는 그대로 둘 것이다. 그리고 여기서 액셀러레이터의 조종은 '스칼라인 것'은 유지시킨다고 하자. 그러면 물리량 1과 물리량 2 사이의 각도의 코사인값도 대표적인 스칼라이다.[12] 그러면 물리량 1과 물리량 2의 각은 유지시켜야 하는가? 만약 그렇다고 하자. 그러면 물리량 1의 크기도 스칼라이므로 물리량 1의 크기도 유지시켰을 것이다. 이런 식이라면, 물리량 1 자체가 변하지 않았다는 결론이 나온다. 따라서 '자유자재로 조종한다'와 '스칼라는 그대로 둔다' 모두를 기존의 수학을 준수하면서 고수하기는 어렵다. 기존의 수학으로 어떻게 이유를 대려고 하지 않는 것이 좋을 듯하다.[13]

그리고 무엇보다 하는 행동을보면 그냥 애너지 변환같다

2 벡터 그래픽

Vector graphic. 컴퓨터에서 그림을 표시하는 방식 중 하나. 이름의 유래는 1번 문단의 수학 용어이다.

우리가 흔히 알고 있는 디지털 매체에서 이미지를 표시하는 방식은 비트맵, 혹은 래스터(raster) 이미지라고 부른다. 비트맵은 영어 단어가 의미하는 대로(Bitmap) 한 화소 크기의 점에다 색 정보를 담아서 그림을 표시하지만, 벡터는 그림 자체가 가진 정보를 바탕으로 정점과 정점 사이를 수학적으로 계산하여 그림을 표시한다. 수학시간에 방정식으로 그래프 그리는 것과 비슷하다고 생각하면 된다. 물론 2차 방정식 곡선처럼 단순한 것이 아니라 베지어 곡선이나 NURBS 같은 복잡한 계산을 요구하는 것들이 많지만 어쨌거나 도형을 이루는 개개의 점을 저장하는 것이 아니라 수학식으로 도형을 만들어내기 때문에 이미지 파일 크기가 비트맵에 비해 작으며 확대나 축소를 거쳐도 이미지가 가지고 있는 정보에는 변화가 없다. 당연히 비트맵에서의 고질병인 '계단 현상'이 일어나지 않고 깨끗하다. 이러한 특성 덕에 대형 출력을 요하는 이미지를 만들 때 벡터 이미지를 많이 사용하며 트루타입 폰트 같은 글꼴 파일들도 본질적으로는 벡터 방식을 이용한다. 일반 사용자가 벡터 이미지를 다룰 일은 래스터 이미지에 비해 별로 없는 편이지만 디자인 분야, 특히 인쇄물 제작을 전제로 하는 시각디자인 분야에서는 래스터보다 벡터를 더 많이 다룬다고 해도 과언이 아닐 정도이다.

단점이라면 이미지의 크기에는 큰 영향을 받지 않는 대신 수학적 연산을 기반으로 하기 때문에 이미지의 형태가 '복잡해질수록' 연산속도에 부하가 걸리게 된다. 비트맵이 이미지 크기(픽셀의 수)와 색심도(color depth)에 따라 메모리 부하가 커지는 대신 크기나 복잡도에 따른 연산 부하는 크게 상관관계가 없는 것과 대조적. 따라서 실사 사진과 같이 복잡하고 색조의 변화를 수학적으로 도출하기 어려운 이미지는 벡터보다는 비트맵이 적합하며 반대로 이미지가 수학적 연산으로 만들어내기 쉽고 색조의 변화가 규칙적일 수록 벡터가 유리하다. 하지만 지금은 CPU의 성능이 비약적으로 좋아진데다 GPGPU 같은 기술의 도입으로 인해 연산속도에 버프를 받을 수 있어서 상당히 복잡한 이미지도 벡터로 변환해서 표현하는 것이 가능해졌다. 말 그대로 그냥 계산능력 빨로 밀어붙여버리는 것.

어도비 일러스트레이터와 플래시가 벡터 드로잉을 이용한 대표적인 프로그램. 셀시스의 코믹 스튜디오와 레타스 같은 만화/애니메이션 관련 프로그램들에도 벡터 드로잉 기능은 긴요한 역할을 한다. 만화 작업에서도 외곽선을 확대하거나 하는 경우가 종종 있는데 이럴 때 이미지를 깨끗하게 처리할 수 있기 때문.

오늘날 게임에서는 잘 사용되지는 않으나 아케이드 게임시장의 극초기, 1980년대 초반도 안되던 시절에서 80년대 중반 사이에, 아타리 등 몇몇 북미 아케이드 게임 제작사들은 이러한 벡터 그래픽을 활용한 게임들을 출시한적이 있었다. 대표적으로 애스트로이즈와 레드 바론이 있다. 1982년에는 벡트렉스(Vectrex)라는 벡터 그래픽 기반 콘솔이 출시 되기도 하였다. 이 시절에는 메모리의 가격이 비쌌기 때문에 비트맵 그래픽으로 큰 오브젝트를 표현하기 어려워서 게임에서 벡터 그래픽을 도입했던 것인데, 이런 게임들은 디스플레이도 아예 디스플레이 자체가 벡터만을 표시하기 위한 구조의 디스플레이였다. 참고로 역사적으로 보면 벡터 디스플레이의 유래가 더 오래되었으며 오늘날의 컴퓨터에서는 기본적으로 비트맵 방식으로만 화면을 출력하므로 벡터 그래픽도 화면에 출력될 때는 비트맵 데이터로 변환해서 프레임 버퍼에 올려 화면에 표시하는 것이다.

저런 순수한 의미의 벡터 그래픽 게임은 시간이 지나면서 없어졌지만 8비트 컴퓨터 시절에 일부 게임들이 낮은 CPU 성능으로 3D 그래픽을 표현하기 위해 와이어 프레임으로 3D 표현을 한 경우가 제법 있었는데 이런 것들도 벡터 그래픽 기반의 게임의 연장선상에 있다고 볼 수 있을 것이다. 16비트 시대가 되며 폴리곤이 게임에 사용되면서 이런 와이어프레임 표현은 사라졌지만[14] 실은 3D 그래픽, 특히 폴리곤이나 NURBS를 기반으로 하는 3D 그래픽도 특성상 본질적으로는 벡터 그래픽에 속한다.[15] 비트맵 이미지를 입히는 텍스처 매핑이라는 개념 때문에 완전히 벡터 이미지라고 말하기 애매한 부분이 있으나 수학적으로 이미지를 만들어낸다는 정의를 따르면 확실히 벡터에 가깝다고 볼 수 있다.

선으로만 구성된 벡터 이미지(와이어프레임)에는 도트 그래픽과는 또 다른 클래식한 느낌이 있고 와이어프레임은 80년대 SF 영화 등에서 가상현실을 표현할 때 많이 써먹은 표현 기법이라 독특한 미장센을 연출하기 때문에 근래에도 이를 의도적으로 사용하는 경우도 있는데, ABA Games의 쵸 켄타가 벡터 그래픽을 애용하는 제작자로 유명하다. 정작 본인은 그림을 못그려서 그렇다고 하지만 독특한 미감으로 호평받는 사례.

3 벡터(생물학)

생물학이나 기생충학, 감염학, 전염병학에서 말하는 벡터는 특정 질병을 유발하는 병원체를 운반하는 생물을 뜻한다. 영어로 철자도 1, 2번과 똑같이 vector.

벡터 역할을 하는 생물은 곤충류를 비롯한 절지동물이 많다. 예를 들어 말라리아의 병원체인 플라스모듐 비박스는 척추동물의 적혈구 속에 기생하는 아메바의 일종인데, 다른 동물로 퍼져나가기 위해 곤충인 모기를 벡터로 이용한다. 악명 높은 흑사병의 병원체인 예르시니아 페스티스라는 간균(세균의 일종)은 쥐에서 쥐로 퍼져나가기 위해 벼룩을 이용한다. 그 외에도 유행성 출혈열, 뎅기열 등 골치아픈 질병들이 벡터에 의해 퍼져나간다.

이게 워낙 미세한 세계의 일이다보니 병원체와 벡터 사이의 관계에 대해서는 아직도 연구가 충분하지 않다. 예를 들어 플라스모듐 비박스(말라리아)같은 놈은 모기를 자가용으로 사용할 뿐더러 생식의 장소로도 사용하는 등 철저하게 모기를 부려먹고 있는 것으로 보이는 반면, 기생말벌(디노캄푸스 콕시넬래)이 옮기는 바이러스는 다른 곤충(무당벌레)을 반쯤 마비시키기 때문에 말벌이 무당벌레의 몸 아래에 알을 낳을 수 있게 해준다. 즉 말벌은 이 바이러스의 벡터지만, 바이러스도 말벌의 알을 포식자로부터 지키는 데 도움을 준다. 이렇게 병원체와 벡터가 공생관계를 갖는 경우도 자연계에 많이 존재할지도 모르는 일이다.

4 STL의 표준 컨테이너인 std::vector

선언문은 다음과 같다.

template <class Type, class Allocator = allocator<Type> > class vector

템플릿 기반이므로 당연히 같은 타입의 변수들을 여러개 넣는 자동 동적 할당 배열 역할을 할 수 있다.
주의 할 점은 STL 컨테이너들은 거의다 복사에 의한 대입이다. 문자열 포인터 따위를 넣어서 std::vector안의 모든 문자열 값이 똑같아지는 미친 실수따위는 하지 말자.

5 소닉 더 헤지혹 시리즈의 등장 캐릭터

벡터 더 크로커다일 문서 참조.

6 유전자 재조합 기술에서 유전자를 운반하는 역할을 하는 DNA 분자

엘펜리트의 루시가 쓰는 능력명이 벡터다. 생물학의 벡터에서 따온 듯.

7 총몽의 등장인물

벡터(총몽) 문서 참조.

8 TDI사에서 개발한 기관단총

TDI Vector 문서 참조.

9 스타 글라디에이터의 등장 캐릭터

벡터(스타 글라디에이터) 참조.

10 유희왕 ZEXAL의 등장인물

벡터(유희왕) 문서 참고.

11 미니어처 게임 워머신의 진영 사이리스 집합이 운용하는 전투용 로봇

다른 진영들[16] 의 워잭[17]과 유사하나 코르텍스[18]가 아닌 인터페이스 노드를 사용하고 다리가 더 많다는 차이점이 있다.

12 스래쉬 메탈 밴드


Earache소속의 뉴스쿨 계열의 테크니컬 스래쉬 메탈밴드이다. 아스피드, 보이보이드의 영향이 짙게 느껴진다.
곡 내적인 완성도나 테크닉, 실험성 모든 면에서 우수한편. 2016년 나온 앨범인 Terminal Redux가 주목받고 있다.

Black Future (2009년)
Outer Isolation (2011년)

Terminal Redux (2016년)
  1. ↑ 왜냐하면 이런 기호는 방향이 존재한다는 것을 암시하는데, 방향은 내적 공간에서나 말할수 있기 때문.
  2. ↑ 벡터에 대해 정의된 각종 연산법칙(벡터 간의 덧셈과 상수배)이 정의되는 공간.
  3. ↑ 그래도 물리에서 쓰이기는 한다. 양자역학 등에서.
  4. ↑ 아주 간단히 말해 사칙연산이 상식대로 성립하는 것.
  5. ↑ [math]u, v \in V \Rightarrow u + v \in V[/math]
  6. ↑ 이건 문제가 있는데, 제대로 된 벡터 둘을 외적하면 유사벡터(Pseudovector)가 나온다. 차이점은 유사벡터는 선대칭시키면 무조건 방향이 뒤집힌다.
  7. ↑ 이 경우 결과값도 3차원 벡터가 나온다. 서로 다른 n개에서 2개를 뽑는 경우를 생각해보면 n이 3일때만 3가지가 나온다.
  8. ↑ 플레밍의 왼손법칙에서, F, B, I의 방향이 모두 수직인 걸 알 수 있다. 실제로 F의 방향은 B와 I의 외적으로 정의된다.
  9. ↑ 내적과 외적이라는 이름은 사원수군에서 왔다. 실수부가 0인 두 사원수를 곱해서 실수부와 허수부를 각각 구해 보면, 실수부의 모양은 내적과 거의 비슷하고, 허수부의 모양은 외적과 거의 비슷하다. 이에 대해 내적과 외적이라는 이름이 각각 붙었는데, 그것이 벡터의 경우로도 전파되어 지금까지 내려 온 것. 어째 먼저 발전했던 사원수 자체는 지금 별로 쓰이지 않고 그와 관련된 명칭들만이 의미가 조금 달라진 채 지금 많이 쓰이는 모양이다.
  10. ↑ 앞쪽 벡터를 90도로 돌리지 않고 계산하는 것은 위에 나온 스칼라곱이다.
  11. ↑ 물론 이 경우에는 행렬식계산이 익숙하지 않다면 시간이 더 걸릴 수 있다. 차라리 코사인법칙을 이용하거나 이미 만들어져있는 공식을 사용하자.
  12. ↑ 각각의 크기도 스칼라, 두 벡터의 내적도 스칼라, 따라서 그 비율인 코사인값도 스칼라
  13. ↑ 애초에 엑셀러레이터의 능력은 연산능력이고 백터변환은 그 응용일뿐이다. 그리고 엄밀히 말하면 엑설러레이터가 자신이 조종 하는것을 백터라고 인식하기 때문에 백터변환이라고 하는것, 그러므로 엑셀러레이터의 백터변환은 힘 자체를 조종하는것이라고 생각하는것이 이해하기 편하다 자세한것은 엑셀러레이터(어떤 마술의 금서목록) 문서 참조
  14. ↑ 1990년대에 이르러 벡터 그래픽을 사용한 버추얼 보이용 게임이 몇 개 출시된 적은 있었다.
  15. ↑ 복셀 기반의 3D 이미지는 벡터라고 말하기가 좀 애매하다.
  16. ↑ 시그나, 메노스 보호령, 카도르 제국, 크릭스, 사이라의 징벌, 대다수의 용병들.
  17. ↑ 사이라의 징벌의 경우에는 미르미돈.
  18. ↑ 워잭의 두뇌에 해당하는 장치.