카를 바이어슈트라스



카를 바이어슈트라스 Karl Weierstraß.(1815~1897)

1 개요

풀네임은 카를 테오도어 빌헬름 바이어슈트라스(Karl Theodor Wilhelm Weierstraß)이며 독일의 수학자이다.

2 업적

2.1 엡실론 - 델타 논법

2.2 균등 수렴

Uniform Convergence. 고른 수렴 또는 평등 수렴이라고도 한다.

함수들의 수열 [math] \left\{ f_n \right\} [/math]을 생각해보자.[1] 이 때, 일반적인 수열과 마찬가지로 [math] \left\{ f_n \right\} [/math]이 "수렴"하는 경우를 생각해볼 수 있을 것이다.
수렴한다면 무엇에 수렴할까? 어떤 실수? 그것도 가능하겠지만, 함수들의 수열이니 어떤 함수에 수렴하는 경우도 생각해볼 수 있을 것 같다. 그렇다면, 함수에 수렴하는 것이 도대체 무엇일까?
[math] { f_n(x) } [/math]는 [math] { n } [/math]을 고정시키면 X에서 정의된 함수로 볼 수 있지만 [math] { x } [/math]를 고정시키면 [math] { f_n(x) } [/math]이 [math] { n } [/math]에 따라 변하는 "값"의 수열이 된다. 그렇다면 실수에서 정의된 수열과 마찬가지로 각각의 수열이 수렴하는 경우를 생각해볼 수 있다. 따라서 [math] { x } [/math]에 대응되는 수렴값이 존재하고, 우리는 그것을 [math] { f(x) } [/math]라고 부를 수 있을 것이다. 즉, [math] \left\{ f_n(x) \right\} \rightarrow {f(x)} [/math]이다. 그렇다면, 정의역에 있는 모든 [math] { x } [/math]에서 수열 [math] { f_n(x) } [/math]가 수렴할 때 아예 [math] { x } [/math]를 떼버리고 [math] \left\{ f_n \right\} \rightarrow {f} [/math]라고 쓸 수 있을 것이다. 이렇게 생각해보면 함수의 수열 [math] \left\{ f_n \right\} [/math]은 [math] { f } [/math]에 수렴하는 것이다. 이런 방식으로 함수가 수렴하는 것은 각각의 점 [math] {x} [/math]마다 수열 [math] \left\{ f_n(x) \right\} [/math]가 수렴하는 것이기 때문에 점마다 수렴 또는 점별 수렴(Pointwise Convergence)라고 한다.

이렇게 하면 함수의 수열이 수렴하는 것이 완벽하게 정의된다. 이겼다! 3부 끝! 이면 좋았겠지만... 점별 수렴할 때는 [math] \left\{ f_n \right\} [/math]의 중요한 성질이 [math]{f}[/math]에 보존되지 않는다는 심각한 문제점이 발견되었다.
예를 들어보자. [math] f_n(x) = \cos^{2n}(\pi x) [/math][2]라고 할 때, [math] f(x) = 1 \left(x \in \mathbb{Z} \right),\ f(x) = 0 \left(x \notin \mathbb{Z} \right) [/math][3]이다. 즉, [math] {f_n(x)} [/math]는 모두 연속 함수인데 [math] f(x) [/math]는 [math] x \in \mathbb{Z} [/math]에서 불연속이다! 그 외에도 미분 가능성, 적분 가능성 등등이 전혀 보존되지 않는다는 사실이 밝혀졌다.[4] 따라서 더 강력한 조건이 필요한데... 이 때 나타난 것이 바로 바이어슈트라스가 제안한 균등 수렴의 개념이다.

균등 수렴의 개념을 생각하기에 앞서 점별 수렴의 개념을 다시 생각해보자. 점별 수렴은 원래 수열을 정의역의 각각의 점에 대한 수열로 나눠서 각 수열이 수렴하면 원래 수열이 수렴값의 함수에 수렴한다고 생각하는 개념이다. 너무나도 우회하는 개념이 아닌가? 우리가 원하는 것은 각각의 수열의 수렴이 아니라 함수 자체의 수렴이었다. 실수열이 수렴하는 것의 정의는 무엇인가? [math] \left\{a_n\right\} [/math]이 있을 때, 임의의 양수 [math] \epsilon [/math]이 주어지면 충분히 큰 자연수 [math] N [/math]이 있어서 [math] n\ge N [/math]일 때 [math] \left\vert {a_n}-\alpha \right\vert \lt \epsilon [/math]이라는 것이었다. 균등 수렴도 이와 비슷한 방식으로 정의한다. 즉, 정의역 X에 있는 모든 [math] x [/math]에 대해 [math] \left\vert {f_n(x)}-f(x) \right\vert \lt \epsilon [/math][5]일 때, [math] \left\{f_n\right\} [/math]이 [math] f [/math]에 균등 수렴한다고 정의한다.
[math] Sup\left\vert {f_n(x)}-f(x) \right\vert [/math]가 0으로 수렴하면 [math] {f_n(x)} [/math]가 [math] f(x) [/math]로 평등수렴한다.는 정리를 이용해 더욱 쉽게 평등수렴성을 밝힐 수 있다.

놀랍게도, 균등 수렴하는 함수열은 각 항이 연속 함수일 때 극한 함수도 연속 함수이며, 각 항이 적분 가능하면 극한 함수도 적분 가능하고, 심지어 이 경우에는 각 항의 적분의 극한이 극한 함수의 적분이라는 것까지도 알려져 있다! 다만, 미분가능성의 경우에는 좀 상황이 다르게 돌아가는데, 다른 성질과 비슷하게 조건을 줘도 극한 함수가 미분 가능하지 않을 경우가 생긴다. [6]

2.3 기타

철학쪽으로는 연속성 개념이 무한소 개념을 포함하지 않는다는 것을 증명하여 영향을 주었다.

전구간 미분불가능한 연속함수를 발견하기도 했다. 당연히 그의 이름을 따서 바이어슈트라스 함수라고 명명되었다.
  1. ↑ [math] {f_n} : X \rightarrow Y [/math]라고 하고, 편의상 X와 Y는 거리 공간이라고 하자.
  2. ↑ 편의 상 [math] f_n : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} [/math]라고 하자.
  3. ↑ [math] { x } [/math]가 정수이면 [math] \cos^2(\pi x) = 1 [/math]이지만, 정수가 아니면 [math] 0 \le \cos^2(\pi x) \lt 1 [/math]이다.
  4. ↑ 자세한 예시는 해석학 교재를 찾아보자.
  5. ↑ 당연하지만 충분히 큰 [math] N [/math]에 대해 [math] n\ge N [/math]일 때
  6. ↑ 하지만 비슷한 정리는 있다. 이 정리는 요구하는 것이 원래 수열이 균등 수렴할 것이 아니라 각 항의 미분이 균등수렴할 것이며, 여기에 정의역의 한 점 [math] x_0 [/math]에서 [math] \left\{f_n(x_0)\right\} [/math]이 수렴할 것까지 조건으로 요구한다. 이 모든 조건을 만족할 경우 [math] \left\{f_n \right\} [/math]가 균등 수렴하고 각 항의 미분의 극한이 극한 함수의 미분이다.